模糊数学的教案

模糊数学的教案第1页/共172页什么是模糊数学？用数学方法研究和处理具有模糊性的现象理论基础模糊集合论第2页/共172页研究对象确定性数学模型：y=f(x)随机性数学模型:y=0,1;p(y)已知模糊性数学模型：y很小，

0，0.1，0.2

没有一个明确的分界第3页/共172页模糊有什么用？第4页/共172页模糊数学的应用领域农业、林业、气象、环境、地质勘探、军事、经济、生物、心理学、结构力学，等等第5页/共172页家用电器与模糊数学模糊控制技术空调、电冰箱、洗衣机微波炉、电饭煲第6页/共172页模糊洗衣机第一个应用模糊系统的消费产品日本松下电子工业公司，1990根据污物的种类、数量、机器负载量，运用模糊系统，自动设定正确的洗衣周期。第7页/共172页仙台地铁模糊系统最显著的应用南北线全长13.6公里，途径16个站点，运行非常平稳模糊控制系统同时考虑4个性能指标安全性、乘坐舒服性、目标速度的可跟踪性、停车距离的准确性第8页/共172页模糊数学方法的范例模糊聚类分析——土壤分类、市场分析模糊模型识别——识别当前的通货膨胀程度、害虫危害程度模糊决策——评选先进工作者模糊线性规划——生产规划第9页/共172页论域我们讨论具体问题时，要知道是在什么范围上进行讨论要有论域（议题限制在一定范围内）例如：在论域“human”上，讨论概念“male”在论域“monkey”上，讨论概念“male”第10页/共172页集合与特征函数经典集合论中，给定论域X，子集A可由其特征函数XA(x)来唯一确定特征函数是论域X到{0,1}上的一个映射：第11页/共172页特征函数—隶属程度XA(x)指明x对A的隶属程度隶属程度只有两个值：0，1经典集合只能表示什么样的概念？“非此即彼”

确切概念第12页/共172页非此即彼？“高个子”“年轻”现实世界中的很多概念具有模糊性模糊性：客观事物差异的中间过渡中的不分明性，难以划定界限。非此即彼？亦此亦彼，模糊概念第13页/共172页模糊概念源自于实践模糊概念（现象）无处不在薄、厚；高、矮；强、弱；中雨、大雨、暴雨、大暴雨；第14页/共172页如何亦此亦彼？经典子集的隶属程度只能取0或1如何亦此亦彼？打破这个限制表现“亦此亦彼”的模糊概念第15页/共172页第一章模糊集合的基本概念第16页/共172页1-1模糊子集与隶属函数第17页/共172页经典集合与模糊集合经典集合——特征函数刻画模糊集合——隶属函数刻画隶属函数是将特征函数的值域从{0，1}推广到[0，1]第18页/共172页模糊子集与隶属函数的定义定义：给出映射μA

：X

[0,1]，x|μA(x)

，我们说μA确定一个X的模糊子集A，μA称为A的隶属函数，μA(x)表示x隶属于模糊子集A的程度，称为x对A的隶属度。第19页/共172页模糊集合vs.普通集合模糊集合A由隶属函数μA刻画普通集合A由特征函数XA刻画第20页/共172页隶属函数vs.概率第21页/共172页共同点&区别共同点均在[0,1]闭区间上取值区别概率：研究“随机性”，虽然事件的发生与否不确定，但是事件是确定的。隶属函数：研究“模糊性”，研究对象本身就是不分明的。以下雨为例第22页/共172页三大数学模型处理现实对象的数学模型可分为三大类：确定性数学模型。背景对象具有确定性or固定性；随机性数学模型。背景对象的发生具有或然性or随机性；模糊性数学模型。背景对象及其关系均具有模糊性。第23页/共172页1-2模糊子集的表示方法第24页/共172页模糊集合的表示方法论域论域——有限集例如：X={x1

,x2

,

x3

,x4

,,x5}论域——无限集例如：X=[0,100]第25页/共172页模糊集合表示方法（有限论域）有限论域X={x1,x2,

…,

xn}设X上的模糊子集A的隶属函数为μA，μi=μA(xi)模糊子集A如何表示？三种表示方法第26页/共172页表示方法1“查德记法”：模糊子集A记作A=∑i=1n

μi/xi不是分式求和，只是一个符号“分母”是论域X的元素“分子”是相应元素的隶属度当隶属度为0时，该项可以不写入第27页/共172页例子（有限论域）例.论域={BillGates,BarackHusseinObama,AlbertEinstein,StevenAllanSpielberg}模糊概念：“smart”smart程度：0.85，0.75，0.98，0.60第28页/共172页模糊集合“smart”论域中元素对“smart”这模糊概念的符合程度可以用模糊子集A来表示

A=0.85/Gates+0.75/Obama+0.98/Einstein+0.60/Spielberg第29页/共172页表示方法2，3表示方法2：A={(0.85,Bill),(0.75,Obama),(0.98,Einstein),(0.60,Spielberg)}表示方法3：A=(0.85,0.75,0.98,0.60)要求事先对论域中元素排序第30页/共172页模糊集合表示方法（无限论域）当论域X为无限集时，上面的记法失效将查德记法推广到一般情况，即论域是：无限的、连续的、或者其他情况，论域X上的模糊集合A都可以表示为A=∫x∈XμA(x)/x第31页/共172页表示方法说明A=∫x∈XμA(x)/x这里的积分号不表示积分，也不表示求和，而是表示各个元素与隶属度对应关系的一个总括第32页/共172页1-3模糊集的运算第33页/共172页模糊集合的运算经典集合有哪些运算？将经典集合的运算推广至模糊集合逐点对隶属度作相应的运算第34页/共172页空模糊集合&相等模糊集合设A、B为论域X上的模糊集定义1：若对任何

x∈X，有μA(x)

=0，则称模糊集A为空集，记为A=φ；定义2：若对任何

x∈X，μA(x)

=μB(x)

，则称模糊集A和B相等，记为A=B；第35页/共172页模糊集合的包含⊆定义3：若对任何

x∈X，μA(x)

≤μB(x)

，则称模糊集A包含于模糊集B，记为A⊆B第36页/共172页模糊集合的并集定义4：两个模糊集合的并集A∪B

的隶属函数定义为μA∪B(x)

=μA(x)

∨μB(x)

=max(μA(x),μB(x))第37页/共172页模糊集合的交集定义5：两个模糊集合的交集A∩B的隶属函数定义为μA∩B(x)

=μA(x)

∧μB(x)

=min(μA(x)

,μB(x))第38页/共172页模糊集合的余集定义6：模糊集合A的余集Ac的隶属函数定义为第39页/共172页Example1论域X={x1

,x2

,

x3

,x4

,,x5}A,B是论域X上的两个模糊子集，A=0.5/x1+0.3/x2+0.4/x3+0.2/x4B=0.2/x1+0.6/x4+1/x5请计算A,B的余集：A∩B，A∪B第40页/共172页模糊集合运算性质（幂等律）A∪A＝?,A∩A=?性质1.幂等律：A∪A=A，A∩A=A第41页/共172页模糊集合运算性质（交换律）性质2.A∪B=?B∪AA∩B=?B∩A第42页/共172页模糊集合运算性质（结合律）性质3.(A∪B)∪C=?A∪(B∪C)(A∩B)∩C=?A∩(B∩C)第43页/共172页模糊集合运算性质（吸收律）性质4.A∩(A∪B)=?AA∪(A∩B)=？A第44页/共172页模糊集合运算性质（分配律）性质5.(A∪B)∩C=？(A∩C)∪(B∩C)(A∩B)∪C=？(A∪C)∩(B∪C)第45页/共172页模糊集合运算性质（0-1律）性质6.A∪Φ＝?,A∩Φ＝?A,ΦX∪A=?,X∩A=?X,A第46页/共172页模糊集合运算性质（还原律）性质7.(Ac)c=?(Ac)c=A第47页/共172页模糊集合运算性质（对偶律）性质8.(A∪B)c=？Ac∩Bc(A∩B)c=？Ac∪Bc第48页/共172页经典集合的其他性质经典集合的运算中，还有“排中律”Ac∪A=X,A∩Ac

=ΦQuestion.

模糊集合运算中，“排中律”是否成立？第49页/共172页排中律不成立排中律不成立表明：模糊集不再具有“非彼即此”的特点，这正是模糊性带来的本质特征第50页/共172页第二章模糊模型识别第51页/共172页何谓模式识别？对某个具体对象，识别它属于何类。这类问题称为模式识别。第52页/共172页模糊模式识别的方法直接方法识别对象为单个论域中的元素最大隶属原则、阈值原则间接方法识别对象为论域上的一个模糊集择近原则、贴近度第53页/共172页最大隶属原则设Ai∈F(U)(i=1,2,…,n)对于u0∈U，若存在i0，使得则认为u0相对地隶属于第54页/共172页最大隶属原则——例例1.设论域U=[0,100]上确定三个模糊集A=“优”，B=“良”，C=“差”,考虑成绩88应该评为什么等级？他们的隶属函数分别为第55页/共172页最大隶属原则——例第56页/共172页最大隶属原则——例A(88)=0.8B(88)=0.7C(88)=0A(88)=max{A(88),B(88),C(88)}88应评为“优”第57页/共172页阈值原则设论域U={u1,u2,…,un}上有m个模糊集合A1,A2,…,Am

（即m个模型）构成一个标准模型库,设定一个阈值α∈[0,1],

对任一x0∈U，若存在i=i1,i2,..,ik,使Ai(x0)≥α，则判决为：x0相对隶属于Ai1∩Ai2∩…∩AiK第58页/共172页阈值原则否则对于任何i=1,…,m,均有Ai(x0)<

α

则说不能识别x0相对隶属于谁第59页/共172页2-1.隶属函数的确定第60页/共172页隶属度从何而来？模糊数学的基本思想：隶属度（隶属程度）Question.

元素属于模糊集合的隶属度从何而来？主观臆造？客观存在？隶属度是客观存在的！！！第61页/共172页模糊数学的关键问题如何确定隶属函数第62页/共172页隶属函数的确定主要方法：模糊统计法模糊分布三分法第63页/共172页隶属函数确定方法之二模糊分布第64页/共172页什么是模糊分布？最常见的论域实数集R实数集R上的模糊集合的隶属函数称为模糊分布第65页/共172页模糊分布的三种类型偏小型：小、冷、年轻偏大型：大、热、年老中间型：中、暖、中年第66页/共172页偏小型模糊分布偏向小的一方的模糊现象小、冷、年轻隶属函数的一般形式如下，其中a为常数，f(x)为非递增函数第67页/共172页偏大型模糊分布偏向大的一方的模糊现象大、热、年老隶属函数的一般形式如下，其中a为常数，f(x)为非递减函数第68页/共172页中间型模糊分布处于中间状态的模糊现象中、暖、中年隶属函数的一般形式如下，其中a,b为常数第69页/共172页常用的分布类型矩形梯形K次抛物型正态分布柯西分布岭形分布第70页/共172页1.矩形分布（曲线）第71页/共172页1.矩形分布（隶属函数）第72页/共172页2.梯形分布第73页/共172页2.偏小型梯形分布第74页/共172页2.偏大型梯形分布第75页/共172页2.中间型梯形分布请写出中间型的隶属函数第76页/共172页3.抛物型第77页/共172页3.抛物型（偏小型）第78页/共172页3.抛物型（偏大型）第79页/共172页3.抛物型（中间型）第80页/共172页4.正态分布第81页/共172页4.正态分布（中间型）第82页/共172页4.正态分布（偏小型）第83页/共172页4.正态分布（偏大型）第84页/共172页4.正态分布（另一种中间型）第85页/共172页5.柯西分布第86页/共172页5.柯西分布（中间型）第87页/共172页5.柯西分布（偏小型）第88页/共172页5.柯西分布（偏大型）第89页/共172页正态分布与柯西分布正态分布柯西分布柯西分布下降比正态分布下降要慢很多第90页/共172页6.岭型分布第91页/共172页如何选取模糊分布？第92页/共172页选择模糊分布的两种方式直接根据讨论对象的特点选择利用模糊统计通过统计资料得到大致曲线与模糊分布做比较，选择最相似分布根据实验确定较符合实际的参数得到隶属函数表达式第93页/共172页确定隶属函数的例子模糊概念：“年轻人”进行统计，发现曲线与柯西分布的偏小型相似第94页/共172页确定三个参数a=25β=2α=？考虑最模糊的点（30岁，隶属度应该是0.5）α=1/25第95页/共172页择近原则识别问题一个模糊集对标准模糊集的识别实质：求两个模糊集的贴近程度第96页/共172页什么是择近原则？第97页/共172页择近原则所谓择近原则，就是要从一群模糊集合A1,A2,…,An,B中判定B归于的Ai的哪一类计算B与Ai(i=1,…,n)的贴近度，若N(B,Ak)最大，则B与Ak为一类第98页/共172页模糊集的贴近度第99页/共172页贴近度贴近度是对两个模糊集合接近程度的一种度量。第100页/共172页贴近度的定义设A,B,C∈F(U),若映射N:F(U)×F(U)[0,1]满足条件：N(A,B)=N(B,A)N(A,A)=1,N(U,Ф)=0若A⊆B⊆C,则N(A,C)≤N(A,B)∧N(B,C)则称N(A,B)为模糊集合A与B的贴近度，N称为F(U)上的贴近度函数。第101页/共172页格贴近度第102页/共172页模糊向量有限论域上的模糊集合可以表示成模糊向量的形式模糊集合的第三种记法例如：X={x1

,x2

,

x3

,x4

,,x5}上的模糊集合A=(μ1

,μ2

,

μ3

,μ4

,,μ5)第103页/共172页模糊向量的内积（有限论域）第104页/共172页内积例子A=(0.1,0.5,0,0.6)B=(0.2,0,0.7,0.3)求向量a和b的内积第105页/共172页模糊集合的内积（任意论域）第106页/共172页外积（内积对偶运算）第107页/共172页外积例子A=(0.1,0.5,0,0.6)B=(0.2,0,0.7,0.3)求向量a和b的外积第108页/共172页余运算在闭区间[0,1]上定义余运算：∀a∈[0,1],ac=1-a第109页/共172页性质1第110页/共172页内外积-例设论域U为实数域，其上有两个正态模糊集A,B,它们的隶属函数如下，试求A、B的内外积。第111页/共172页内积第112页/共172页A、B的外积是什么？0第113页/共172页下图的内积表示什么？两个模糊集A、B交点纵坐标其值越大，A、B越靠近；第114页/共172页下图的外积表示什么？两个模糊集A、B交点纵坐标其值越小，A、B越靠近；第115页/共172页内外积与靠近程度两个模糊集有时：内积越大，这两个模糊集越靠近；有时：外积越小，这两个模糊集越靠近；第116页/共172页贴近度单独的内积或外积，足以刻画两个模糊集合的贴近程度吗？不能！考虑用二者相结合的“格贴近度”刻画两个模糊集的贴近程度。第117页/共172页定理1第118页/共172页求格贴近度的例子A=(0.1,0.5,0,0.6)B=(0.2,0,0.7,0.3)求A和B的格贴近度第119页/共172页格贴近度－例设论域U为实数域，其上有两个正态模糊集A,B,它们的隶属函数分别如下，试求A、B的格贴近度。第120页/共172页择近原则——例茶叶等级标准样品五种：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ论域U={条索,色泽,净度,香气,滋味}论域中的每个元素都是反应茶叶质量的因素之一第121页/共172页择近原则——例Ⅰ=(0.5,0.4,0.3,0.6,0.5,0.4)Ⅱ=(0.3,0.2,0.2,0.1,0.2,0.2)Ⅲ=(0.2,0.2,0.2,0.1,0.1,0.2)Ⅳ=(0,0.1,0.2,0.1,0.1,0.1)Ⅴ=(0,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1)给出一种茶叶样品，可用模糊集A表示：A=(0.4,0.2,0.1,0.4,0.5,0.6)，问：茶叶A是哪个等级？（用格贴近度）第122页/共172页用格贴近度计算N(A,Ⅰ)=0.5N(A,Ⅱ)=0.3N(A,Ⅲ)=0.2N(A,Ⅳ)=0.2N(A,Ⅴ)=0.1根据择近原则，A为什么等级？第123页/共172页几何图形识别第124页/共172页什么是几何图形识别？许多模式识别，归结为几何图形识别。例如：机器自动识别染色体几何图形常划分为若干三角形第125页/共172页三角形类型等腰三角形I直角三角形R等腰直角三角形R∩I等边三角形E非典型三角形T第126页/共172页三角形vs.模糊集以等腰三角形为例现实问题中的等腰三角形=标准等腰三角形?具有模糊性若用模糊集表示等腰三角形,论域是什么?第127页/共172页等腰三角形的论域设论域为全体三角形，即U={三角形(A,B,C)|A+B+C=180,A≥B≥C≥0}第128页/共172页等腰三角形的隶属函数设u=(A,B,C)为任意一个三角形,u对于模糊集合“等腰三角形”的隶属度为I(u)=1-min{A-B,B-C}/60Why？AB角度或BC角度越接近，u越接近等腰三角形何时隶属度最大？何时隶属度最小？第129页/共172页其他三角形的隶属函数直角三角形：R(u)=1-|A-90|/90等腰直角三角形：I∩R等边三角形：E(u)=1-(A-C)/180任意三角形：T=Rc∩Ec∩Ic第130页/共172页请计算利用最大隶属原则，请问u=(87,51,42)是什么三角形？第131页/共172页手写文字的识别第132页/共172页文字识别简单的情况英文数字（1-9）、字母（26个）两种方法方格矩阵法（印刷体）模糊方位转换技术（手写）第133页/共172页方格矩阵法印刷体的字母或数字局限在一个框内框分成若干小方格矩阵表示第134页/共172页方格矩阵法第135页/共172页标准矩阵第136页/共172页内存中的标准向量7×5的矩阵，可变成1×35的向量第137页/共172页待识别的打印文字将待识别的印刷体文字表示成7×5阶的模糊矩阵信息未必清晰，与标准矩阵未必一致转化为1×35的模糊向量择近原则贴近度的选取第138页/共172页第139页/共172页实验结果噪声打印缺陷等偶然因素实验结果噪声31.43%正确识别率>90%第140页/共172页印刷体手写体手写体vs.印刷体复杂的多用方格矩阵法，则需要更多小方格向量的维数大计算困难寻求适用于手写体的简便方法第141页/共172页模糊方位转换技术第142页/共172页模糊现象文字的方向，与事先给定的8个方向不完全一致，只能说是大致这个方向。第143页/共172页图中1的方向相同吗？第144页/共172页8个方向——8个模糊集论域U是什么？与方向0的角度[-22.5,337.5]第145页/共172页方向0的隶属函数第146页/共172页方向1,2的隶属函数第147页/共172页第148页/共172页方向6,7的隶属函数第149页/共172页任务：识别手写数字确定标准数字将手写数字与标准数字做比较第150页/共172页确定数字的标准向量0,1,2,…,9——共10个数字以数字3为例号码串向量(3,2,2,7,7,1,1,0,7,7,6,6,5)确定各方向关于标准方向的隶属程度得到“3”的号码串模糊向量存储至计算机作为“3”的标准向量第151页/共172页识别数字确定待识别数字的号码串模糊向量与计算机中的标准向量逐一比较择近原则实现数字识别第152页/共172页程序实现真正应用，更加复杂。每个数字的标准向量都不止一个第153页/共172页综合评判第154页/共172页综合评判综合决策——是在考虑多种因素的影响下，对某事物做出的综合决断综合评判是综合决策的数学模型第155页/共172页数学模型设U={u1,u2,…,un}为评判需要考虑的n种因素V={v1,v2,…,vm}为m种决断例如：对服装进行评判评判因素集合U={款式，质量，价格}决断集合V={很欢迎，较欢迎，不太欢迎，不欢迎}第156页/共172页数学模型不同的人对各种因素看重程度不同（对各种因素赋予的权重不同）决断自然不同对m种决断，人们的态度并非绝对肯定或否定综合决断——V上的一个模糊子集第157页/共172页数学模型综合决断——V上的一个模糊子集B=(b1,b2,…,bm)∈F(V)bi反映第i种决断vi在综合决断中所占的地位综合评判就是要得到B，并根据最大隶属原则，给出最终决断第158页/共172页综合决断数学模型的三要素1.因素集U={u1,u2,…,un}2.决断集V={v1,v2,…,vm}3.单因素决断f:UF(V)由f诱导出模糊变换Tf,即模糊关系Rf得到对应的模糊矩阵R对权重分配A=(a1,a2,…,an),可得综合评判B=AоR第159页/共172页综合决策模型(U,V,R)构成一个综合决策模型转换器输入一个权重分配，输出一个综合决断第160页/共172页对服装进行评判评判因素集合U={款式，质量，价格}决断集合V={很欢迎，较欢迎，不太欢迎，不欢迎}对某种服