现代控制理论(第二章)

2.1线性定常齐次状态方程的解(自由解)2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵2.3线性定常系统非齐次方程的解2.4*线性时变系统的解2.5*离散时间系统状态方程的解2.6*连续时间状态空间表达式的离散化第二章控制系统状态空间表达式的解现在是1页\一共有55页\编辑于星期三2.1线性定常齐次状态方程的解(自由解)

所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。此时，状态方程为齐次微分方程：(1)若初始时刻

时的状态给定为则式(1)有唯一确定解：(2)若初始时刻从开始，即则其解为：(3)

证明：

和标量微分方程求解类似，先假设式(1)的解为的矢量幂级数形式现在是2页\一共有55页\编辑于星期三(4)代入式(1)得：(5)

既然式(4)是式(1)的解，则式(5)对任意时刻都成立，故的同次幂项的系数应相等，有：现在是3页\一共有55页\编辑于星期三在式(4)中，令，可得：将以上结果代入式(4)，故得：(6)现在是4页\一共有55页\编辑于星期三

等式右边括号内的展开式是矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为，即(7)于是式(6)可表示为：

再用代替即在代替的情况下，同样可以证明式2)的正确性。现在是5页\一共有55页\编辑于星期三2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵2.2.1状态转移矩阵齐次微分方程(1)的自由解为：或该式反应了状态矢量由初始状态到任意时刻的矢量变换关系，反应了状态矢量在空间随时间转移的规律，因此称为状态转移矩阵。现在是6页\一共有55页\编辑于星期三2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵注：状态矩阵一般不是常数，而是时间的函数

起始矢量可以任意取，系统求解区间可任意选定—状态空间法的优点

满足初始状态的解是：满足初始状态的解是：令：则有：线性定常系统的状态转移矩阵现在是7页\一共有55页\编辑于星期三2.性质二或(2)3.性质三或(3)1．性质一这就是组合性质，它意味着从转移到0，再从0转移到的组合。或(1)2.2.2状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质注：本性质可用于判断矩阵是否符合状态转移矩阵的条件现在是8页\一共有55页\编辑于星期三或(4)这个性质说明，矩阵与A矩阵是可以交换的。注：本性质还表明，由状态转移矩阵可反推A！5.性质五

对于方阵A和B，当且仅当AB=BA时，有而当AB≠BA是，则

这个性质说明，除非距阵A与B是可交换的，它们各目的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数函数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的。4.性质四现在是9页\一共有55页\编辑于星期三1．若A为对角线矩阵，即(5)则(6)2.若A能够通过非奇异变换予以对角线化，即2.2.3几个特殊的矩阵指数函数现在是10页\一共有55页\编辑于星期三则(7)3.若A为约旦矩阵现在是11页\一共有55页\编辑于星期三则(8)4.若(9)现在是12页\一共有55页\编辑于星期三1.根据的定义直接计算2.变换A为约旦标准型（1）A特征根互异其中T是使A

变换为对角线矩阵的变换阵。由式（7），有：2.2.4

的计算编程，用计算机算，最终能得到收敛解。但很难得到解析解。例2-1现在是13页\一共有55页\编辑于星期三3.利用拉氏反变换法求(10)证明齐次微分方程两边取拉氏变换即故现在是14页\一共有55页\编辑于星期三4.应用凯莱—哈密顿定理求对上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解：（1）由凯莱—哈密顿定理，方阵A满足其自身的特征方程，即所以有它是的线性组合。同理现在是15页\一共有55页\编辑于星期三以此类推，都可用线性表示。(2)在定义中，用上面的方法可以消去A的n及n以上的幂次项，即（11）（3）的计算公式现在是16页\一共有55页\编辑于星期三A的特征值互异时，则

证明根据A满足其自身特征方程的定理，可知特征值和A

是可以互换的，因此，也必须满足式（11），从而有：（12）现在是17页\一共有55页\编辑于星期三上式对求解，即得式（12）。A的特征值均相同，为时，则证明同上，有：(13)现在是18页\一共有55页\编辑于星期三上式对，求异数，有：再对求异数，有：重复以上步骤，最后有：由上面的n个方程，对求解，记得公式（13）。现在是19页\一共有55页\编辑于星期三2）用标准型法求解特征值互异，转化成对角标准型，且A为友矩阵特征值：例2-1，2-2，2-4：求以下矩阵A的状态转移矩阵[解]：1）直接算法（略）现在是20页\一共有55页\编辑于星期三3）用拉氏变换法求解

例2-6，利用凯莱-哈密顿定理—-----------------自学！例2-3与例2-7也请注意自学！现在是21页\一共有55页\编辑于星期三2.3线性定常系统非齐次方程的解

现在讨论线性定常系统在控制作用作用下的强制运动。此时状态方程为非齐次矩阵微分方程：当初始时刻

初始状态时，其解为：式中，。（1）（2）当初始时刻为，初始状态为时，其解为：现在是22页\一共有55页\编辑于星期三式中，。（3）证明采用类似标量微分方程求解的方法，将式（1）写成：等式两边同左乘，得：即（4）现在是23页\一共有55页\编辑于星期三对式（4）在上间积分，有：整理后可得式（2）：同理，若对式（4）在上积分，即可证明式（3）。式（2）也可从拉氏变换法求得，对式（1）进行拉氏变换，有：即现在是24页\一共有55页\编辑于星期三上式左乘，得：（5）注意式（5）等式右边第二项，其中：两个拉氏变换函数的积是一个卷积的拉氏变换，即以此代入式（5），并取拉氏反变换，即得：现在是25页\一共有55页\编辑于星期三

在特定控制作用下，如脉冲函数、阶跃函数和斜坡函数的激励下，则系统的解式（2）可以简化为以下公式：1.脉冲响应即当时2.阶跃响应即当时3.斜坡响应即当时（6）（7）（8）例2-8要求掌握！现在是26页\一共有55页\编辑于星期三例2-8：已知系统状态方程中试求解该系统的单位阶跃响应。解法一：积分法现在是27页\一共有55页\编辑于星期三现在是28页\一共有55页\编辑于星期三例2-8：已知系统状态方程中试求解该系统的单位阶跃响应。解法二：拉氏变换法现在是29页\一共有55页\编辑于星期三现在是30页\一共有55页\编辑于星期三2.4*线性时变系统的解2.4.1时变系统状态方程解的特点为了讨论时变系统状态方程的求解方法，现在先讨论一个标量时变系统：采用分离变量法，将上式写成：对上式两边积分得：（1）现在是31页\一共有55页\编辑于星期三因此（2）或者写成：

仿照定常系统齐次状态方程的求解公式，式(2)中的也可以表示为状态转移矩阵，不过这时状态转移矩阵不仅是时间t的函数，而且也是初始时刻t。的函数。故采用符号来表示这个二元函数：（3）于是式(2)可写成：（4）现在是32页\一共有55页\编辑于星期三能否将式(3)这个关系式也推广到矢量方程：

遗憾的是，只有当满足乘法可交换条件，上述关系才能成立。现证明如下：使之有（5）

如果是齐次方程的解，那么必须满足：（6）现在是33页\一共有55页\编辑于星期三把展开成幂级数：上式两边对时间取导数：(7)(8)(9)把式(7)两边左乘有：比较式(8)和式(9)，可以看出，要使现在是34页\一共有55页\编辑于星期三成立，其必要和充分条件是：（10）

即是乘法可交换的。但是，这个条件是很苛刻的一般是不成立的。从而时变系统的自由解，通常不能像定常系统那样写成一个封闭形式。2.4.2线性时变齐次矩阵微分方程的解

尽管线性时变系统的自由解不能像定常系统那样写成一个封闭的解析形式，但仍然能表示为状态转移的形式。对于齐次矩阵微方程：现在是35页\一共有55页\编辑于星期三（11）其解为：（12）

式中，类似于前述线性定常系统中的，它也是非奇异方阵，并满足如下的矩阵微分方程和初始条件：（13）（14）证明将解式(12)代入式(11)，有现在是36页\一共有55页\编辑于星期三即又在解式(12)中令，有：即

这就证明了，满足式(13)、式(14)的,按式(12)所求得的是齐次微分方程(11)的解。2.4.3状态转移矩阵基本性质现在是37页\一共有55页\编辑于星期三与线性定常系统的转移矩阵类似，同样有：因为：且故式(15)成立。2），见式（14）。（15）1）3）（16）现在是38页\一共有55页\编辑于星期三因为从式(14)和式(15)可得：或

那么无论右乘，或左乘，式(16)都成立，故是非奇异阵，其逆存在，且等于。4）见式（13）。在这里，一般是不能交换的。2.4.4线性时变系统非齐次状态方程式的解现在是39页\一共有55页\编辑于星期三线性时变系统的非齐次状态方程为：且的元素在时间区间内分段连续，则其解为：（17）（18）

证明线性系统满足叠加原理，故可将式(17)的解看成由初始状态的转移和控制作用激励的状态的转移两部分组成。即（19）代入式(17)，有：现在是40页\一共有55页\编辑于星期三即可知：在t。～t区间积分，有：于是现在是41页\一共有55页\编辑于星期三

在式(19)中令，并注意到中，可知，这样由上式即可得到式(18)。2.4.5状态转移矩阵的计算因为A是常数矩阵，所以上式直接表示为：在定常系统中，齐次状态方程的解是：式中，，只与有关。现在是42页\一共有55页\编辑于星期三在时变系统中，齐次状态方程的解，一般的表示为：前已证明，只有当是可交换时，即（20）才有：在一般情况下

对于不满足式(20)的时变系统，的计算，一般采用级数近似法，即现在是43页\一共有55页\编辑于星期三（21）

这个关系式的证明是十分简单的，只需验证它满足式(13)的矩阵方程和式(14)的起始条件即可。可知式(21)满足式(13)和式(14)。现在是44页\一共有55页\编辑于星期三2.5*离散时间系统状态方程的解2.5.1递推法线性定常离散时问控制系统的状态方程为：这个一阵差分方程的解为：或（1）现在是45页\一共有55页\编辑于星期三即（2）2.5.2Z变换法对于线性定常离散系统的状态方程，也可以来用Z变换法来求解。

设定常离散系统的状态方程是：对上式两端进行Z变换，有：或现在是46页\一共有55页\编辑于星期三所以：对上式两端取Z的反变换，得：(3)对式2)和式(3)比较，有：（4）（5）

如果要获得采样瞬时之问的状态和输出，只需在此采样周期内，即在内，利用连续状态方程解的表达式：现在是47页\一共有55页\编辑于星期三

为了突出地表示f的有效期在，可以令(这里0≤△≤1)于是上式变成：（6）

显然，这个公式的形式和离散状态方程是完全一致的，如果使△的值在0和1之间变动，那么便可获得采样瞬时之间全部的状态和输出信息。将式(2)和式(3)比较，有（7）（8）二者形式上虽有不同，但实际上是完全一样的。现在是48页\一共有55页\编辑于星期三2.6*连续时间状态空间表达式的离散化2.6.1离散化方法对于连续时间的状态空间表达式：将其离散化之后．则得离散时间状态空问表达式为：C和D则仍与式(1)中的一样。（1）（2）式中（4）（3）现在是49页\一共有55页\编辑于星期三2.6.2近似离散化

在采样周期T较小时，一般当其为系统最小时间常数的l/10左右时，离散化的状态方程可近似表示为：（5）也就是说：（6）（7）证明根据导数的定义