全称量词命题和存在量词命题的否定【高效备课精研+知识精讲提升】高一上学期数学人教A版2019必修第一册

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CONTENT全称量词命题存在量词命题量词

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命题含有

的命题叫全称量词命题含有

的命题叫存在量词命题命题形式“对M中任意一个，成立”简记为

“存在M中一个元素成立”简记为

量词、全称量词命题与存在量词命题所有的、任意一个、一切、每一个、任给至少有一个、有些、有一个、对某些、有的全称量词存在量词

复习回顾判断下列命题的真假.（1）x∈R，x2＞x；（2）x∈R，sinx＝cosxtanx；（3）x∈Q，x2－8＝0；（4）x∈R，x2＋x＋1＞0；（5）a，b∈R，真假假假真1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定人教A版（2019）第一册必修

一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.例如：(1)命题“56是7的倍数”的否定是：(2)命题“空集是集合A={1,2,3}的真子集”的否定是：注：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.思考：如果是含有量词的命题，如何写出它的否定？下面我们一起来看一个探究.探究新知

“56不是7的倍数”；“空集不是集合A={1,2,3}的真子集”；思考1：写出下列命题的否定，它们与原命题在形式上有什么变化？分析：并非所有的矩形都是平行四边形分析：并非每一个素数都是奇数分析：并非所有的该命题的否定：存在一个矩形不是平行四边形.（1）所有的矩形都是平行四边形;（2）每一个素数都是奇数;该命题的否定：存在一个素数不是奇数.该命题的否定：全称量词命题的否定变成了存在量词命题.“改变量词，否定结论”全称命题p:∀x∈M

,p(x)，它的否定ㄱp:∃x0∈M,ㄱp(x0)结论

【说明】写含有全称量词的命题的否定时，不能只是简单的否定结论，还应否定全称量词（即改为存在量词），所以全称量词命题的否定变成存在量词命题.一般来说，对含有一个量词的全称量词命题的否定，只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语，再把结论否定.这三个全称命题的否定都变成了存在量词命题.命题的否定：答:（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数;例1:写出下列全称命题的否定：（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数;（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆;（3）p：对任意x0∈Z,x0²的个位数字不等于3.

（2）该命题的否定：存在一个四边形,它的四个顶点不共圆;（3）该命题的否定：∃x0∈Z,x0²的个位数字等于3.

例题

例2:写出下列全称命题的否定,并判断其真假：（1）p：∀x∈R,x²-x+¼≥0;（2）q：所有的正方形都是矩形.假假答:（1）该命题的否定：∃x∈R,x²-x+¼<0;（2）该命题的否定：

至少存在一个正方形不是矩形;例题

命题的否定:1)所有实数的绝对值都不是正数;2)每一个平行四边形都不是菱形;3)这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.思考2：写出下列命题的否定，它们与原命题在形式上有什么变化？分析：不存在一个实数，它的绝对值是正数，分析：没有一个平行四边形是菱形，分析：不存在（1）存在一个实数的绝对值是正数；（2）有些平行四边形是菱形；该命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形.该命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数.该命题的否定：“改变量词，否定结论”存在量词命题的否定变成了全称量词命题.一般来说，对含有一个量词的存在量词命题的否定，只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语，再把结论否定.二、存在量词命题的否定【说明】在写含有存在量词的命题的否定时，不能只是简单的否定结论，还应否定存在量词（即改为全称量词），所以存在量词命题的否定变成全称量

词命题.存在量词命题p:∃x0∈M

,p(x0)，它的否定ㄱp:∀

x∈M,ㄱp(x)例3:写出下列存在量词命题的否定：（1）

∃x0∈R,x+2≤0（2）

有的三角形是等边三角形（3）

有一个偶数是素数。（2）该命题的否定：所有的的三角形都不是等边三角形（3）该命题的否定：任意一个偶数都不是素数解：（1）该命题的否定：∀x∈R,x+2˃0答:（1）该命题的否定：∀x∈R,x²+2x+2>0;例4:写出下列存在量词命题的否定：（1）p：∃x0∈R,x0²+2x0+2≤0;（2）p：有的三角形是等边三角形;（3）p：有一个素数含三个正因数.

（2）该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形;（3）该命题的否定：每一个素数都不含三个正因数.

例题

（3）该命题的否定：存在两个等边三角形,它们不相似;例5:写出下列命题的否定,并判断其真假：（1）p：∃x∈R,x²+2x+2≤0;（2）q：至少有一个实数x,使x³+1=0（3）r：任意两个等边三角形都是相似的;（4）s：∃x∈R,x²+2x+2=0.

假假真假答:（1）该命题的否定：∃x∈R,x²-x+¼<0;（2）该命题的否定：∀x∈R,x3+1≠0.

（4）该命题的否定：∀x∈R,x²+2x+2≠0.

例题

1写出下列命题的否定,并判断其真假（1）一切分数都是有理数;（2）有些三角形是锐角三角形;

（3）∃x∈R,x²+x=x+2;（4）∀x∈R,2x+4≥0.五、当堂训练2写出下列命题的否定,并判断其真假（1）任意实数x,都是方程3x-5=0的根;（2）∀x∈R,x²>0;

（3）∃x∈R,x²=1;（4）∃x∈R,是方程x²-3x+2=0的根.四、小结含有一个量词的命题的否定结论：全称量词命题的否定是存在量词命题

存在量词命题的否定是全称量词命题全称量词命题