中考数学证明题集锦及答案

PAGEPAGE4中考数学证明题精选1.如图，两相交圆的公共弦AB为，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。2.已知扇形的圆心角为1500，弧长为，求扇形的面积。3.如图，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，PO＝4cm，∠APB＝6004.如图，已知直角扇形AOB，半径OA＝2cm，以OB为直径在扇形内作半圆M，过M引MP∥AO交于P，求与半圆弧及MP围成的阴影部分面积。5.如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，若∠C＝900，AD＝4，BD＝6，求图中阴影部分的面积。6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝900，O点在AB上，半圆O切AC于D，切BC于E，AO＝15cm，BO＝20cm，求7.如图，有一个直径是1米圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为900的扇形ABC，求：（1）被剪掉（阴影）部分的面积；（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？8.如图，⊙O与⊙外切于M，AB、CD是它们的外公切线，A、B、C、D为切点，⊥OA于E，且∠AOC＝1200。（1）求证：⊙的周长等于的弧长；（2）若⊙的半径为1cm，求图中阴影部分的面积。9.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.求证：DC=BC;E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值.10.已知：如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．11.如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；图13－1A(G)B(E)COD(F)图13－2EABDGF图13－1A(G)B(E)COD(F)图13－2EABDGFOMNC图13－3ABDGEFOMNC21．如图，P是⊙O外一点，割线PA、PB分别与⊙O相交于A、C、B、D四点，PT切⊙O于点T，点E、F分别在PB、PA上，且PE=PT，∠PFE=∠ABP．（1）求证：PD·PF=PC·PE；（2）若PD=4，PC=5，AF=，求PT的长．22．如图，BC是半圆O的直径，EC是切线，C是切点，割线EDB交半圆O于D，A是半圆O上一点，AD=DC，EC=3，BD=2.5（1）求tan∠DCE的值；（2）求AB的长．23．如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE的延长线交⊙A于F，CM=2，AB=4．（1）求⊙A的半径；（2）求CE的长和△AFC的面积．24．如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，延长BA到E，使AE=AB，连结ED．（1）求证：直线ED是⊙O的切线；（2）连结EO交AD于点F，求证：EF=2FO．25.如图8．PA和PB分别与⊙O相切于A，B两点，作直径AC，并延长交PB于点D．连结OP，CB．

（1）求证：OP∥CB；

（2）若PA＝12，DB：DC＝2：1，求⊙O的半径．26.如图9．在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点。（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论。27.如图9，已知△ABC内接于⊙O，直线DE与⊙O相切于点A．BD∥CA．

求证：AB·DA＝BC·BD．28.刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．(1)在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐▲．(填“不变”、“变大”或“变小”)(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行?问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°?如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．29.如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.CCDBAEO30.已知：如图13，在□ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC.⑴求证：BEDG；⑵若∠B60，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论.AADGCBFE图13AACBMDEONF图1431.如图14，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB2＝AF·AC，cos∠ABD＝，AD＝12．⑴求证：△ANM≌△ENM；⑵试探究：直线FB与⊙O相切吗？请说明理由.⑶证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S.32.如图，已知正方形OABC在直角坐标系xoy中，点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点O为坐标原点，等腰直角三角板OEF的直角顶点O在坐标原点，E、F分别在OA、OC上，且OA＝4，OE＝2，将三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE1F1，的位置，连接AE1、CF1（1）求证：△AOE1≌△OCF1；（2）将三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OE∥CF，若存在，请求出此时E点的坐标，若不存在，请说明理由．2011年中考冲刺班数学证明题集锦答案1.解：设正三角形外接圆⊙O1的半径为，正六边形外接圆⊙O2的半径为，由题意得：，，∴∶＝∶；∴⊙O1的面积∶⊙O2的面积＝1∶3。2.解：设扇形的半径为，则，＝1500，∴，∴。3.解：连结OA、OB∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝Rt∠∠APO＝∠APB＝300在Rt△PAO中，AP＝OA＝PO＝2，∴PB＝∵∠APO＝300，∠PAO＝∠PBO＝Rt∠∴∠AOB＝300，∴∴阴影部分的周长＝PA＋PB＋＝＝cm答：阴影部分的周长为cm。4.解：连结OP∵AO⊥OB，MP∥OA，∴MP∥OB又OM＝BM＝1，OP＝OA＝2∴∠1＝600，∠2＝300∴PM＝而，设PM交半圆M于Q，则直角扇形BMQ的面积为∴＝＝5.；6.；7.（1）平方米，（2）米；8.（1）证明：由已知得∠AO＝600，ABO为直角梯形，设⊙O与⊙的半径分别为、，则cos600＝，即，∴⊙的周长为，而＝＝，∴⊙的周长等于的弧长。（2）cm2。9.[解析]（1）过A作DC的垂线AM交DC于M,则AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以.即DC=BC.(2)等腰三角形.证明：因为.所以，△DEC≌△BFC所以，.所以，即△ECF是等腰直角三角形.（3）设,则，所以.因为，又，所以.所以所以.10.[解析]（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝AB，CF＝CD．∴AE＝CF∴△ADE≌△CBF．（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形．∵四边形BEDF是菱形，∴DE＝BE．∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．∴∠2＋∠3＝90°．即∠ADB＝90°．∴四边形AGBD是矩形11.（1）BM=FN．证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠F=45°，OB=OF．又∵∠BOM=∠FON， ∴△OBM≌△OFN．∴BM=FN．BM=FN仍然成立．证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．∴∠MBO=∠NFO=135°．又∵∠MOB=∠NOF，∴△OBM≌△OFN．∴BM=FN．12.（1）因为AB是⊙O的直径，OD＝5 所以∠ADB＝90°，AB＝10 在Rt△ABD中， 又，所以，所以 因为∠ADB＝90°，AB⊥CD 所以 所以 所以 所以 （2）因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD 所以 所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD 因为AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO 所以∠CDB＝∠ADO 设∠ADO＝4x，则∠CDB＝4x 由∠ADO：∠EDO＝4：1，则∠EDO＝x 因为∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90° 所以 所以x＝10° 所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100° 所以∠AOC＝∠AOD＝100° 13.(1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF∴，∵HE＝EC，∴BF＝FD(2)方法一：连接CB、OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵F是BD中点，∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线6′方法二：可证明△OCF≌△OBF(参照方法一标准得分)(3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC可证得：FA＝FG，且AB＝BG由切割线定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2eq\o\ac(○,1)在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2eq\o\ac(○,2)由eq\o\ac(○,1)、eq\o\ac(○,2)得：FG2-4FG-12=0解之得：FG1＝6，FG2＝－2（舍去）∴AB＝BG＝∴⊙O半径为214.解:=1\*GB2⑴点P的坐标是（2,3）或（6,3）=2\*GB2⑵作AC⊥OP,C为垂足.∵∠ACP=∠OBP=,∠1=∠1∴△ACP∽△OBP∴在中,,又AP=12-4=8,∴∴AC=≈1.94∵1.94<2∴OP与⊙A相交.15.证明：连结OE、AE，并过点A作AF⊥DE于点F，（3分）∵DE是圆的一条切线，E是切点，∴OE⊥DC，又∵BC⊥DE,∴OE∥AF∥BC.∴∠1=∠ACB，∠2=∠3.∵OA=OE，∴∠4=∠3.∴∠4=∠2.又∵点A是OB的中点，∴点F是EC的中点.∴AE=AC.∴∠1=∠2.∴∠4=∠2=∠1.即∠ACB=∠OAC.16.米.米.(3分)=2\*GB2⑵设在中,根据勾股定理:∴(5分)∴∵∴∴(7分)AC=2x=即梯子顶端A沿NO下滑了米.(8分)=3\*GB2⑶∵点P和点分别是的斜边AB与的斜边的中点∴，(9分)∴(10分)∴∴∵∴(11分)∴(12分)∴米.(13分)17．证明：连结AF，则∠ABD=∠F．∵∠ADG=∠ABD，∴∠ADG=∠F．∵DF为⊙O的直径，∴∠DAF=90°，∴∠ADF+∠F=90°，∴∠ADG+∠ADF=∠FDG=90°，∴∠DAF=∠CDE=90°，∵CB⊥AB，∴∠ADG+∠ADF=∠FDG=90°，∴∠DAF=∠CDE=90°，∵CB⊥AB，∴∠CBE=90°．取EC中点M，连结DM、BM，则DM=BM=CM=EM，即D、E、B、C在以EC为直径的圆上，∴∠ABD=∠DCE，∴∠DCE=∠F，∴△DAF∽△EDC，∴，∴AD·CE=DE·DF，以下略；18．（1）DC为⊙O的直径，DE⊥EC，EC==7．设EM=x，由于M为OB的中点，∴BM=2，AM=6，∴AM·MB=x·（7-x），即6×2=x（7-x），解得x1=3，x2=4，∵EM>MC，∴EM=4．（2）∵OE=EM=4，∴△OEM为等腰三角形，过E作EF⊥OM，垂足为F，则OF=1，∴EF==．∴sin∠EOB=．19．（1）连结CO，则AO=BO=CO，∴∠CAO=∠ACO，又∵∠EAC=∠CAO，∠ACO=∠EAC，∴AE∥OC，∴DE是⊙O的切线．（2）∵AB=6，∴AO=BO=CO=3．由（1）知，AE∥OC，∴△DCO∽△DEA，=．又∵AE=，∴，解得BD=2．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．又∵∠EAC=∠CAB，∴Rt△EAC∽Rt△CAB，∴，即AC2=AB·AE=6×=．在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2=AB2-AC2=36-=．∵BC>0，BC==．20．（1）∵BE是⊙O1的直径，∴∠BPE=90°．∵BF⊥O1P，∴∠BPF+∠FBP=90°．∵∠GPE+∠BPF=90°，∴∠GPF=∠BPF．∵O1E=O1P，∴∠E=∠GPF=∠PBF，又∠BPG=∠EPB=90°，∴△GPB∽△BPE，∴PB2=PE·PG．（2）∵AB是⊙O1的切线，∴O1B⊥AB，∴△O1BF∽△O1AB，∴∠O1BF=∠A．∵tan∠A=，∴tan∠O1BF=．设O1F=3m，则BF=4m由勾股定理得：O1B=5m=O1P，∴PF=5m-3m=2m又∵PF=，∴m=，∴O1B=O1P，∴BF=×4=3．由tan∠A=，∴AF==4，∴AP=4-=，∴PO2=，∴O1O2=++==5．21．（1）连CD，因A、B、D、C四点共圆，∴∠DCP=∠ABP，而∠PFE=∠ABP，∴∠DCP=∠PFE，CD∥EF，∴，即PD·PF=PC·PE．（2）设PT长为x，∴PE=PT，由（1）结论得PF=x，由PT2=PC·PA得x2=5（x+），解之得x1=7，x2=-，∴PT=7．22．（1）由已知得EC2=ED（ED+），解之得ED=2或ED=-（舍去）．∵BC为直径，∴CD⊥BE，由勾股定理得CD=，∴tan∠DCE=．（2）连AC交BD于F，由（1）得，AD=DC=，BC=．可证△ADF∽△BCF，∴=．设DF=2x，则CF=3x．由CF-DF=CD，得9x-4x=5，x=1，∴DF=2，CF=3，∴BF=．由相交弦定理得AF=，∴AB==．23．（1）由勾股定理，列方程可求AD=3．（2）过A作AG⊥EF于G，由勾股定理得CE=，由切割线定理得CF=，由△BCE∽△GAE，得AG=．S△AFC=．24．证明：（1）连结OD易得∠EDA=45°，∠ODA=45°，∴∠ODE=∠ADE+∠ODA=90°，∴直线ED是⊙O的切线（2）作OM⊥AB于M，∴M为AB中点，∴AE=AB=2AM，AF∥OM，∴=2，∴EF=2FO.25.26.27.证明：∵DE与⊙O相切，∴∠C＝∠1，C∵BD∥CA，CB·∴∠2＝∠3……6分B·3O∴△ABC∽△BDA．……9分3O21EDA∴．……12分21EDA∴AB·DA＝BC·BD．28.【答案】29.（1）由题意得B（3，1）．若直线经过点A（3，0）时，则b＝若直线经过点B（3，1）时，则b＝若直线经过点C（0，1）时，则b＝1①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图25-a，图图1此时E（2b，0）∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2图2图2此时E（3，），D（2b－2，1）∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE＋S△DBE)＝3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]＝∴（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！图图3由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，∠MED＝∠NED又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，由题易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2，设菱形DNEM的边长为a，则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴∴S四边形DNEM＝NE·DH＝∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．30.证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD.∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成.∴CG⊥AD.∴∠AEB∠CGD90.∵AECG，∴Rt△ABE≌Rt△CDG.∴BEDG. 3分⑵当BCAB时，四边形ABFC是菱形.∵AB∥GF，AG∥BF，∴四边形ABFG是平行四边形.∵Rt△ABE中，∠B60，∴∠BAE30，∴BEAB.∵BECF，BCAB，∴EFAB.∴ABBF.∴四边形ABFG是菱形31.证明：⑴∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°又∵ME⊥BC，BM平分∠ABC，∴AM＝ME，∠AMN＝∠EMN又∵MN＝MN，∴△△ANM≌△ENM． 3分⑵∵AB2＝AF·AC，∴＝