2022-2023学年福建省福州重点中学高一（下）期中数学试卷及答案解析

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年福建省福州重点中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知向量a=(3,1)，b=(2A.132 B.5 C.72 2.已知a为实数，若复数z=(a2−1A.1 B.2i C.±1 3.用二分法求函数f(x)=ln(x+A.5 B.6 C.7 D.84.函数f(x)=xA. B.

C. D.5.设a=sin35°sin72°−siA.a>b>c B.a>c6.已知sin(π3−α)A.23 B.13 C.−17.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若b=2，AC边上的高为A.π6 B.π3 C.π28.已知f(x)=sin(x+π4)cos(x−π4)+A.12 B.−12 C.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知集合M={m|m=inA.(1−i)(1+i)10.如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，∠BAD=π3A.BF在AB方向上的投影向量为0

B.AF=1311.函数f(x)=Asin(ωxA.函数y=f(x)在[−5π12,π12]单调递减

B.函数y=f(x)图像关于(19π12,012.已知函数f(x)=x2+x+14,x<A.0<k<14 B.0<三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设▱ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3+2i和2−14.已知点(a,8)在幂函数f(x)=(15.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若如图所示的角α(0°<α<45°)，且小正方形与大正方形的面积之比为1：

16.已知函数f(x)=Asinωx(A>四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知向量a=(cosα,sinα)，b=(cosβ,si18.(本小题12.0分)

已知集合A={x|log2(x−1)<2}，B={x|x2−2ax+a219.(本小题12.0分)

设虚数z满足|2z+3|=3|z−+2|．

(20.(本小题12.0分)

如图，在△ABC中，∠BAC=2π3，AD=3DB，P为CD上一点，且满足AP21.(本小题12.0分)

如图，在△ABC中，∠ABC=2π3，D为AC边上一点且AB⊥BD，B22.(本小题12.0分)

若函数f(x)在定义域内存在实数x满足f(−x)=−k⋅f(x)，k∈Z，则称函数f(x)为定义域上的“k阶局部奇函数”．

(1)若函数f(x)=tanx答案和解析1.【答案】B

【解析】解：向量a=(3,1)，b=(2m−1,3)，若a与b共线，2.【答案】D

【解析】解：因为复数z=(a2−1)+(a+1)i为纯虚数，所以a2−1=0a+1≠03.【答案】C

【解析】解：根据题意，原来区间[0,1]的长度等于1，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，

则经过n次操作后，区间的长度为12n，

若12n<0.01，即n≥7．

故选：C．

4.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和单调性的性质进行判断是解决本题的关键，是基础题．

求出函数的定义域，结合条件判断函数的奇偶性和对称性，利用单调性进行判断即可．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，

f(−x)=(−x)2+ln|−x|=

5.【答案】C

【解析】解：a=sin35°sin72°−sin55°sin18°=sin35°cos186.【答案】C

【解析】解：∵sin(π3−α)=33，

∴sin[π27.【答案】B

【解析】因为AC边上的高为3，

所以12×2×3=12acsinB，

所以ac=23sinB，

因为cosB=a2+c2−b22ac≥2ac−b22ac=1−8.【答案】A

【解析】解：∵f(x)=sin(x+π4)cos(x−π4)+cos2x=sin2(x+π4)+cos2x=1−cos(2x+π2)2+1+9.【答案】BC【解析】解：根据题意，M={m|m=in,n∈N}中，

n=4k(k∈N)时，in=1；

n=4k+1(k∈N)时，in=i；

n=4k+2(k∈N)时，in=−10.【答案】AB【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，AB=2，AD=4，∠BAD=π3，则BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcos∠BAD=4+16−2×2×4×12=12，则有BD=23，

则三角形△AB11.【答案】AD【解析】解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图像，

可得A=2，34×2πω=7π12+π6，∴ω=2．

再根据五点法作图，可得2×7π12+φ=π2，∴φ=−2π3，故f(x)=2sin(2x−2π3).

在[12.【答案】AC【解析】解：作出函数y=f(x)的图象如下图所示，

要使方程f(x)=k(k∈R)有四个不同的实数解，由图象可知，0<k<14,e34<x3<e，则选项A正确，选项B错误；

由于x1，x2关于直线x=−12对称，则x1+13.【答案】5−【解析】解：依题意得A(0,0),B(3,2),D(2,−4),AB=(3,2),AD14.【答案】(1【解析】解：因为f(x)=(a−1)xb为幂函数，所以a−1=1，解得a=2，

所以f(x)=xb，又(2,8)在f(x)上，代入解得b=3，

所以f(x)=15.【答案】4−【解析】解：因为小正方形与大正方形面积之比为1：4，

设小正方形的边长为1，则大正方形边长为2，

由题意可得，小直角三角形的三边分别为2cosα，2sinα，2，

因为4个小直角三角形全等，所以4×12×2cosα×2sinα+1=4，

即8sinαcosα=16.【答案】[9【解析】解：函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)，若至少存在两个不相等的实数x1，x2∈[π,2π]，

使得f(x1)+f(x2)=2A，

即至少存在两个不相等的实数x1，x2∈[π,2π]，使得f(x1)=f(x2)=A．

∵ωx∈[ωπ,2ωπ]，∴2kπ+π2∈[ωπ,2ωπ]17.【答案】解：(1)因为向量a=(cosα,sinα)，b=(cosβ,sinβ)，|a−b【解析】(1)通过|a−b|=255.求出向量的模，化简即可求出cos(α−β)的值；

(2)通过0<α<π2，−π2<β18.【答案】解：(1)集合A={x|log2(x−1)<2}={x|1<x<5}，

B={x|x2−2ax+a2−1<0}={x|a−1<x<a+1}，

当a=1时，B={x|0<x<2}，

A∪B=【解析】(1)根据对数函数的单调性求出集合A，根据一元二次不等式的解法求出集合B，结合并集运算能求出结果；

(2)根据(19.【答案】证明：(1)设z=a+bi(a,b∈R且b≠0)，

|2z+3|=3|z−+2|，

则|2a+3+2bi|=【解析】(1)根据已知条件，结合复数模公式，以及共轭复数的定义，即可求解；

(2)20.【答案】解：(1)设|AB|=c，|AC|=b，所以S△ABC=12bcsin23π=23，解得bc=8，

由AP=mAC+12AB=mA【解析】本题考查平面向量基本定理，考查三角形面积公式、基本不等式，属于中档题．

(1)利用面积可得bc=8，利用AP=mAC+12AB，结合C、P21.【答案】解：(1)∵∠ABC=2π3，且AB⊥BD，

∴∠CBD=π6，

在△BCD中，由余弦定理知，CD2=BC2+BD2−2BC⋅BD⋅cos∠CBD，

∴2=BC2+4−2BC⋅2⋅【解析】(1)在△BCD中，由余弦定理可得关于BC的方程，再由S=12BC⋅BD⋅sin∠22.【答案】解：(1)由题意得，f(x)是(0,π)上的“二阶局部奇函数”，

证明