2020北京丰台区高三一模数学试题及答案

2020北京市丰台区高三一模数学试题及答案第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若集合A={xeZI—1<x<2},B={x|x2—2x=0},则|AUB二1.(A){0}(B(A){0}(B){0,1}(C){0,1,2}(D){—1,0,1,2}2.3.1—1(C)(D)—4若复数2.3.1—1(C)(D)—4若复数z满足—=i

1+i则z对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限已知向量a=(九2),b=(—2,1)，满足allb4.5.6.7.8.(A)2 1 1已知a=23,b=32a〉b〉c<2, 1c=log--，则

34.5.6.7.8.(A)2 1 1已知a=23,b=32a〉b〉c<2, 1c=log--，则

32a〉c〉b“a〉1”是“1<1”成立的

a(A)充分而不必要条件(C)充分必要条件(C)(C)(B)(D)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，(A)1个3个(D)(D)(B)(D)过抛物线。：J2=2px(p〉0)的焦点F作倾斜角为60必要而不充分条件既不充分也不必要条件面积等于%；'3的有Ir俯视图左视图的直线与抛物线C交于两个不同的点A,B圆(%—1)2+J2=2的圆心到直线％+j+1=0的距离为(点A在x轴上方)，则凹的值为BFI丰台区高三数学一模考试试题第1页/共11页/、1 /、4 •一 、3 (B)- (C)V3 (D)3n9.将函数f(x)=sin3x(3>0)的图象向左平移一个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(0)=1,下列说2法错误的是・・(A)g(x)为偶函数ng(一)=02n(C)当3=5时，g(x)在[0,—]上有3个零点2n(D)若g(x)在[0,5]上单调递减，则3的最大值为9一 fex-1,x>0, 一 一 一一.已知函数f(x)=〈 若存在非零实数x，使得f(-x)=f(x)成立，则实数k的取值范围是[kx,x<0. 0 0 0(A)(—*—1) (B)(—*—1] (C)(—1,0) (D)[—1,0)第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分..设数列｛"J的前n项和为Sn,an=2n—1，贝US5=..若x>1,则函数f(x)=x+—的最小值为，此时x=.x—1.已知平面a和三条不同的直线m,n,l.给出下列六个论断：①m，a[②m"a二③m"l；④n±a；⑤n"a；⑥n"l.以其中两个论断作为条件，使得m"n成立.这两个论断可以是 .(填上你认为正确的一组序号).如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换.有下列3种变换：①对A=R，变换：求集合A的补集；②对任意zeC,变换：求z的共轭复数；③对任意xeR，变换：xTkx+b(k,b均为非零实数).其中是“回归”变换的是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分..已知双曲线M：x2—q=1的渐近线是边长为1的菱形OABC的边OA,OC所在直线.若椭圆丰台区高三数学一模考试试题 第2页/共11页N：x+g=1(〃〉b〉0)经过A,C两点，且点B是椭圆N的一个焦点，则a= a2b2三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程..(本小题共14分)n在^ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，。.已知。=4，A=—.3(I)当b=2时，求a；(II)求sinB—、,;3cosC的取值范围..(本小题共14分)如图，在四棱锥M—ABCD中，ABIICD,ZADC=ZBMC=90o,TOC\o"1-5"\h\zMB=MC,AD=DC=-2AB=22，平面BCM1平面ABCD, \(I)求证：CDII平面ABM； ■■\(II)求证：AC1平面BCM；A £(III)在棱AM上是否存在一点E，使得二面角E-BC-M的大小为n?4AE若存在，求出——的值；若不存在，请说明理由.AM.(本小题共14分)在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询(每个志愿者仅参与一类服务).参与A,B,C三个社区的志愿者服务情况如下表：社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传心理咨询A10030302020B12040352025I)从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A社区，并且参与社区消毒工作的概率；(I)从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X表示负责现场值班值守的人数，求X的分布歹U；(111)已知A社区心理咨询满意率为0.85,B社区心理咨询满意率为0.95,C社区心理咨询满意率为0.9,丰台区高三数学一模考试试题第3页/共11页“。A=1,。B=1,。C=1”分别表示A,B,C社区的人们对心理咨询满意，“自A=0工B=0工C=0"分别表示A,B,C社区的人们对心理咨询不满意，写出方差DdA),DdB),。化C)的大小关系.(只需写出结论).(本小题共15分)已知函数f(%)=(%+a)ln%—％+1.(I)若曲线y=f(%)在点(e,f(e))处的切线斜率为1,求实数a的值；(II)当a=0时，求证：f(%)>0；(III)若函数f(%)在区间(1,+划上存在极值点，求实数a的取值范围..(本小题共14分)y2%2 2已知椭圆C：匕+—=1(a〉b〉0)的离心率为——，点P(1,0)在椭圆C上，直线y=y与椭圆C交于a2b2 2 0不同的两点A,B.(I)求椭圆C的方程；兀(II)直线PA,PB分别交y轴于M,N两点，问：％轴上是否存在点Q，使得/OQN+ZOQM=-?2若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由..(本小题共14分)已知有穷数列A：a,a,L,a,L,a(neN*且n>3).定义数列A的“伴生数列”B：1 2knbjb2,L,bk,L,bn，其中awa,b={i k+1(k=1,2,K,n)，规定a-a,a-a.k10,a-a 0nn+1 1' k-1 k+1(I)写出下列数列的“伴生数列”：1,2,3,4,5；1,-1,1,-1,1.(1)已知数列B的“伴生数列"C：c,c,L,c,L,c，且满足b+c-1(k-1,2,K,n).12kn kk(i)若数列B中存在相邻两项为1,求证：数列B中的每一项均为1；(五)求数列C所有项的和.丰台区高三数学一模考试试题 第4页/共11页

13.①④(或③⑥)14.①②15.谭313.①④(或③⑥)14.①②15.谭3+1

2题号12345678910答案CDBBCACDDA一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.25 12.3；2三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题共14分）解：(I)由余弦定理a2=b2+c2—2bccosA,=22+42-2x2x4-cos—=123 ,所以a=2\3.(II)由A=n可知，B+C=生，即B=2n—C.3 3 3sinB-3CcosC=sin(——C)一<3cosC32 2cosC2 2cosC，inC-mcosC

22=sin(C一).32n 2n nnn因为B+C--，所以C£(°,—).故C-3£(-3,3).一一n七3v'3因止匕sin(C—)£( ,—).14分于是sinBi3cosc£谓鼻14分17.（本小题共14分）丰台区高三数学一模考试试题第5页/共11页

证明：(I)因为AB^CD,ABu平面ABM,CD亡平面ABM,3分7分所以CD^平面ABM3分7分(II)取AB的中点N，连接CN.在直角梯形ABCD中，易知AN=BN=CD=v2，且CN1AB.在Rt△CNB中，由勾股定理得BC=2.在^ACB中，由勾股定理逆定理可知AC1BC.又因为平面BCM1平面ABCD,且平面BCMI平面ABCD=BC,所以AC1平面BCM.(III)取BC的中点。，连接OM,ON.所以ONHAC,因为AC1平面BCM,所以ON1平面BCM.因为BM=MC,所以OM1BC.如图建立空间直角坐标系O-xyz,则M(0,0,1),B(0,1,0),C(0,-1,0),A(2,-1,0),uuur uur uurAM=(-2,1,1),BC=(0,-2,0),BA=(2,-2,0).易知平面bcm的一个法向量为m=(1,0,0).假设在棱AM上存在一点E，使得二面角E-BC-M的大小为n.4uuruuur不妨设AE=入AM(0<X<1),uuruuruur所以BE=BA+AE=(2-2入，>-2,入)，设n=(羽y,z)为平面BCE的一个法向量，{uur,|n-BC=0, f-2y=0,则＜uur即＜In-BE=0, [(2-2九)x+九z=0,丰台区高三数学一模考试试题 第6页/共n页z二2九一2，所以n=(九,0,2九一2).18.解：2从而|cos<m,n>解得"18.解：2从而|cos<m,n>解得"2或九二2.3因为0<X<1,所以九二2.3由题知二面角E—BC—M为锐二面角.所以在棱AM上存在一点E，使得二面角E-BC-M的大小为n,4此时任=2. 14分AM3(本小题共14分)(I)记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，件D,此人来自于A社区，并且参与社区消毒工作”为事30P(D)二 二—.100+120+15037所以从上表三个社区的志愿者中任取1人此人来自于A社区，并且参与社区消毒工作的概率为—.

为—.

37(II)从上表三个社区的志愿者中各任取1人，,,_ ,311的概率分别为—，-，-.1033X的所有可能取值为0,1,2,3. 4分由表可知：A,B,C三个社区负责现场值班值守=0)=2228 7 7 - =0)=2228 7 7 - 1033901445322712721404P(X=1)=—x—x—H x-x—H x—x-=—=—,10331033103390931232171119P(X=2)=—x-x—+一xx-+一x-x-=一,10331033103390311_3__1P(X=3)=x—x—=二—.103390.30X的分布列为:X012314分(III)D(自A)>D(自C)>D(自B14分丰台区高三数学一模考试试题第7页/共11页

19.(本小题共15分)解：(I)因为f(%)=(%+a)ln%-％+1,所以f'(%)=in%+a.由题知f'(e)=ine+a=1,解得a=0. 4分(II)当a=0时，f(%)=%in%—%+1,所以f'(%)=in%.当%e(0,1)时，f'(%)<0,f(%)在区间(0,1)上单调递减；当%e(1,+g)时，f'(%)>0,f(%)在区间(1,+s)上单调递增；所以f(1)=0是f(%)在区间(0,+g)上的最小值.所以f(%)>0. 8分a %in%+a(III)由(I)知，f(%)=in%+—=-%%若a>0，则当%e(1,+g)时，f'(%)>0,f(%)在区间(1,+g)上单调递增，此时无极值.若a<0，令g(%)=f'(%),因为当%e(1,+g)时，g'(%)>0，所以g(%)在(1,+g)上单调递增.因为g(1)=a<0,而g(e-a)=-a+aea=a(ea-1)>0,所以存在%0e(1,e-a)，使得g(%。)=0.f,(%)和f(%)的情况如下:X(LX(L%)/V)\#0On」一。)0+极小值因此，当%=%0时，f(%)有极小值f(%0).综上，a的取值范围是(-g,0). 15分.(本小题共14分)丰台区高三数学一模考试试题 第8页/共11页

解：(I)由题意《J=1，b2cv12a2a2解：(I)由题意《J=1，b2cv12a2a2=b2+c2.解得a2=2,b2=1.所以椭圆C的方程为止+x2=1.2(II)假设存在点Q使得/OQN+ZOQM=-.设Q(m,0),2因为/OQN+ZOQM=2,所以/OQN=ZOMQ.则tan/OQN=tan/OMQ.即OQ)\二端，所以OQ|2二on|om|•因为直线y=y0交椭圆C于AB两点，则AB两点关于y轴对称.设A(x0,y0),B(-x0，y0)(X0，±D，因为P(10),则直线PA的方程为：y=七(x-1).0，得yM-y 0X-10直线PB的方程为:尸三i(X-1).0y——0—X+1因为|OQ|2=On|om|,所以m2=所以m2=——0-X2-10又因为点A(X0,y0)在椭圆C上，丰台区高三数学一模考试试题 第9页/共n页2(172)TOC\o"1-5"\h\z所以m2= o—1—120所以存在点Q（±\五,0）使得/OQN+ZOQM=-成立. 14分2.(本小题共14分)解：(I)①1,1,1,1,1；②1,0,0,0,1. 4分(II)⑴由题意，存在keh,2,K,n—1},使得bki=*二1.若k=1,即b=b—1时，c=c—0.于是b=b=1,b=b=1.所以c=c3=0，所以b=b=1.即b2=b3=b4=1.依次类推可得bk=4+广1(k=2,3,L,n—1).所以b=1(k=1,2,K,n).k若2<k<n—1,由bk=4广1得ck=ck]=0.于是bk]=bk1=bk=1.所以ck1=ck=0.依次类推可得b1=b2=1.所以b=1(k=1,2,K,n).k综上可知，数列B中的每一项均为1. 8分(i