函数的定义域与值域

函数的定义域与值域第1页，共32页，2023年，2月20日，星期日返回目录

1.定义：在函数y=f(x),x∈A中，自变量x的取值范围A叫做函数的

；对应的函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的

.2.设函数y=f(x)的定义域为A，如果存在实数M,对于任意的x∈A,都有f(x)≤M(≥m)且存在x0∈A,使得f(x0)=M(m).那么,我们称M(m)是函数y=f(x)的

.最大(小)值定义域值域第2页，共32页，2023年，2月20日，星期日返回目录

考点一求函数的定义域求下列函数的定义域:(1)(2)(3)y=+lg(cosx);(4)已知函数f(x)的定义域是(0,1］,求函数g(x)=f(x+a)·f(x-a)(其中|a|<)的定义域.第3页，共32页，2023年，2月20日，星期日返回目录

【分析】求函数定义域,应使函数的解析式有意义,其主要依据是:①分式函数，分母不等于零;②偶次根式函数，被开方式≥0;③一次函数、二次函数的定义域为R.x0中的底数x≠0;④y=ax，定义域为R;⑤y=logax，定义域为{x|x>0}.第4页，共32页，2023年，2月20日，星期日2-|x|≠0x≠±2,x2-1≥0x≤-1或x≥1.∴函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,-1］∪［1,2)∪(2,+∞).4x+3>0x>4x+3≠1x≠5x-4≠0x≠∴函数的定义域为

【解析】(1)由得(2)由得返回目录

第5页，共32页，2023年，2月20日，星期日25-x2≥0cosx>0-5≤x≤5-+2kπ<x<2kπ+(k∈Z).∴函数的定义域为返回目录

(3)由得第6页，共32页，2023年，2月20日，星期日0<x+a≤10<x-a≤1,-a<x≤1-aa<x≤1+a.∴函数g(x)的定义域是区间(-a,1-a］与(a,1+a］的交集.①当-<a≤0时,1+a>-a.∴(a,1+a］∩(-a,1-a］=(-a,1+a］;②当0<a<时,1-a>a.∴函数g(x)的定义域为(-a,1-a］∩(a,1+a］=(a,1-a］.返回目录

(4)由已知,得即第7页，共32页，2023年，2月20日，星期日返回目录

（1）当函数是由解析式给出时,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）.（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集.若函数定义域为空集，则函数不存在.（4）对于(4)题要注意:①对在同一对应法则f下的量“x”“x+a”“x-a”所要满足的范围是一样的;②函数g(x)中的自变量是x,所以求g(x)的定义域应求g(x)中的x的范围.第8页，共32页，2023年，2月20日，星期日返回目录

＊对应演练＊若函数f(2x)的定义域是［-1,1］，求函数f(log2x)的定义域.∵y=f(2x)的定义域是［-1,1］,∴≤2x≤2.∴y=f(x)的定义域是.由≤log2x≤2得≤x≤4.∴y=f(log2x）的定义域是［,4］.第9页，共32页，2023年，2月20日，星期日返回目录

考点二求函数的值域求下列函数的值域:(1)(2)y=x-;(3)y=x+;(4)y=;(5)y=x+.【分析】上述各题在求解之前,先观察其特点,选择最优解法.第10页，共32页，2023年，2月20日，星期日返回目录

【解析】(1)解法一:,∵1+x2≥1,∴0<≤2,∴-1<y=-1≤1,即y∈(-1,1］.解法二:由y=,得x2=.∵x2≥0,∴≥0,解得-1<y≤1.∴y∈(-1,1］.第11页，共32页，2023年，2月20日，星期日(2)解法一:设=t(t≥0),得x=,∴y=-t=-(t+1)2+1≤(t≥0),∴y∈.解法二：∵1-2x≥0,∴x≤,∴定义域为.∵函数y=x,y=-在上均为单调递增,∴y≤,∴y∈.返回目录

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(3)解法一:当x>0时,y=x+≥2=4,当且仅当x=2时,取等号;当x<0时,=-4,当且仅当x=-2时,取等号.综上,所求函数的值域为(-∞,-4］∪［4,+∞).第13页，共32页，2023年，2月20日，星期日解法二:先证此函数的单调性.任取x1,x2且x1<x2.∵f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=,∴当x1<x2≤-2或2≤x1<x2时,f(x)递增;当-2<x<0或0<x<2时,f(x)递减.故当x=-2时,f(x)极大=f(-2)=-4;当x=2时,f(x)极小=f(2)=4.∴所求函数的值域为(-∞,-4］∪［4,+∞).返回目录

第14页，共32页，2023年，2月20日，星期日(4)解法一:利用函数的有界性.将原函数化为sinx+ycosx=2y,即令cosφ=且sinφ=,∴sin(x+φ)=,平方得3y2≤1,∴-≤y≤.∴原函数的值域为.返回目录

第15页，共32页，2023年，2月20日，星期日解法二:数形结合法或图象法.原函数式可化为y=,此式可以看作点(2,0)和(cosx,-sinx)连线的斜率,而点(cosx,-sinx)的轨迹方程为x2+y2=1,如图所示,在坐标系中作出圆x2+y2=1和点(2,0).

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由图可看出,当过(2,0)的直线与圆相切时,斜率分别取得最大值和最小值,由直线与圆的位置关系,可设直线方程为y=k(x-2),即kx-y-2k=0,∴解得k=±,∴斜率的范围是.即函数y=的值域第17页，共32页，2023年，2月20日，星期日返回目录

(5)函数的定义域为［-1,1］.当x∈［-1,1］时,f′(x)=由f′(x)=0,得-x=0,解得x=,x=-(舍去),∴f()=,又f(-1)=-1,f(1)=1,∴f(x)max=f()=,f(x)min=f(-1)=-1.∴值域为［-1,］.第18页，共32页，2023年，2月20日，星期日

求函数值域(或最值)的常用方法:(1)基本函数法对于基本函数的值域可通过它的图象性质直接求解.(2)配方法对于形如:y=ax2+bx+c(a≠0)或F(x)=a［f2(x)+bf(x)+c］(a≠0)类型的函数的值域问题,均可用配方法求解.(3)换元法利用代数或三角换元,将所给函数转化成易求值域的函数,形如y=的函数,令f(x)=t,形如:y=ax+b±(a,b,c,d均为常数,ac≠0)的函数,令=t;形如含的结构的函数,可利用三角代换,令x=acosθ,θ∈［0,π］或令x=asinθ,θ∈.返回目录

第19页，共32页，2023年，2月20日，星期日返回目录

(4)不等式法利用基本不等式:a+b≥2,用此法求函数值域时,要注意条件“一正、二定、三相等”.如:a+b≥2求某些函数值域(或最值)时应满足三个条件:①a>0,b>0;②a+b(或ab)为定值;③取等号条件a=b.三个条件缺一不可.(5)函数的单调性法确定函数在定义域(或某个定义域的子集上)的单调性求出函数的值域,例如:f(x)=ax+(a>0,b>0).当利用不等式法等号不能成立时,可考虑用函数的单调性.(6)数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义,可借助几何法求函数的值域,形如:可联想两点(x1,y1)与(x2,y2)连线的斜率.第20页，共32页，2023年，2月20日，星期日(7)函数的有界性法形如y=,可用y表示出sinx.再根据-1<sinx≤1,解关于x的不等式,可求y的值的范围.(8)导数法设y=f(x)的导数为f′(x),由f′(x)=0可求得极值点坐标,若函数定义域为［a,b］,则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值.返回目录

第21页，共32页，2023年，2月20日，星期日返回目录

＊对应演练＊求下列函数的最值与值域:(1)y=4-;(2)y=;(3)y=第22页，共32页，2023年，2月20日，星期日(1)由3+2x-x2≥0得函数定义域为［-1,3］,又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.∴t∈［0,4］,∈［0,2］,从而,当x=1时,ymin=2;当x=-1或x=3时,ymax=4.故值域为［2,4］.(2)∵其中≠0,∴y=的值域是(-∞,2)∪(2,+∞).返回目录

第23页，共32页，2023年，2月20日，星期日返回目录

(3)将函数变形为y=可视为动点M(x,0)与定点A(0,1),B(2,-2)距离之和,连结AB,则直线AB与x轴的交点(横坐标)即为所求的最小值点.ymin=|AB|=可求得x=时,ymin=.显然无最大值,故值域为［,+∞).第24页，共32页，2023年，2月20日，星期日考点三关于定义域、值域及参数问题函数f(x)=.(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;(2)若f(x)的定义域为［-2,1］,求实数a的值.【分析】(1)定义域为R,即不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0恒成立.(2)定义域为［-2,1］,即(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0的解集为［-2,1］.返回目录

第25页，共32页，2023年，2月20日，星期日返回目录

【解析】(1)①若1-a2=0,即a=±1.(ⅰ)当a=1时,f(x)=,定义域为R,符合;(ⅱ)当a=-1时,f(x)=,定义域不为R,不合题意.②若1-a2≠0,则g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6为二次函数,∵f(x)的定义域为R,∴g(x)≥0对x∈R恒成立,1-a2>0Δ=9(1-a)2-24(1-a2)≤0-1<a<1(a-1)(11a+5)≤0综合①②得a的取值范围是.∴≤a<1.第26页，共32页，2023年，2月20日，星期日返回目录

(2)命题等价于不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0的解集为［-2,1］,显然1-a2≠0,∴1-a2<0且x1=-2,x2=1是方程(1-a2)x2+3(1-a)x+6=0的两根,a<-1或a>1x1+x2=x1·x2=a<-1或a>1a2-3a+2=0a2=4,解得a=2.∴第27页，共32页，2023年，2月20日，星期日

本题要注意分类讨论,要分1-a2=0和1-a2≠0两种情况.分类一定要做到不重不漏.返回目录

第28页，共32页，2023年，2月2