材料力学第四章扭转

材料力学第四章扭转第1页，共89页，2023年，2月20日，星期一同济大学航空航天与力学学院

顾志荣第四章扭转材料力学第2页，共89页，2023年，2月20日，星期一第四章扭转一扭转的概念和实例二外力偶矩、扭矩和扭矩图三圆轴扭转时的强度计算四圆轴扭转时的变形计算五扭转超静定问题六矩形截面杆的自由扭转七薄壁杆的自由扭转第3页，共89页，2023年，2月20日，星期一第四章扭转一扭转的概念和实例第4页，共89页，2023年，2月20日，星期一第四章扭转/一扭转的概念和实例对称扳手拧紧镙帽承受扭转变形的构件第5页，共89页，2023年，2月20日，星期一传动轴汽车传动轴第四章扭转/一扭转的概念和实例第6页，共89页，2023年，2月20日，星期一第四章扭转/一扭转的概念和实例mmmm第7页，共89页，2023年，2月20日，星期一第四章扭转/一扭转的概念和实例这些构件的受力特点:所受外力是一些力偶矩,作用在垂直于杆轴的平面内。变形特点:杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。第8页，共89页，2023年，2月20日，星期一第四章扭转二外力偶矩、扭矩和扭矩图第9页，共89页，2023年，2月20日，星期一第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图1外力偶矩的计算外力偶矩与功率和转速之间的关系第10页，共89页，2023年，2月20日，星期一第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图2求扭转内力的方法—截面法ⅠⅠIIMn3受扭圆轴横截面上的内力—扭矩第11页，共89页，2023年，2月20日，星期一右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图扭矩符号规定：4扭矩的符号规定—右手螺旋法则mIImIIIIII第12页，共89页，2023年，2月20日，星期一第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图例题已知圆轴受外力偶矩mA、mB、mC作用而处于匀速转动平衡状态，试求1-1、2-2截面上的扭矩。１１２２第13页，共89页，2023年，2月20日，星期一已知圆轴受外力偶矩作用，匀速转动。则１１２２用截面法求内力：１１11扭矩第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图第14页，共89页，2023年，2月20日，星期一１１２２１１２２截面2-2上的内力：２２第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图第15页，共89页，2023年，2月20日，星期一（+）１１２２5扭矩随圆轴横截面的位置变化的图线—扭矩图（-）扭矩图第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图第16页，共89页，2023年，2月20日，星期一例题图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置更换放置是否合理？ACBDIIIIIIIIIIII第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图第17页，共89页，2023年，2月20日，星期一ACBD经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为解：IIIIIIIIIIII第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图第18页，共89页，2023年，2月20日，星期一IIIIIIIIIIII绘出扭矩图：第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图第19页，共89页，2023年，2月20日，星期一ACBD（-）扭矩Mn-图（+）（在CA段和AD段）IIIIIIIIIIII第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图第20页，共89页，2023年，2月20日，星期一将A、D轮的位置更换，则ACBD扭矩Mn-图（-）（AD段）因此将A、D轮的位置更换不合理。IIIIIIIIIIII第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图第21页，共89页，2023年，2月20日，星期一课堂练习

图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA＝4kN·m，

mB＝10kN·m,mC＝6kN·m，试求1－1截面和2－2截面上的扭矩，并画扭矩图。1122轮轴轴承6KNm4KNm第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图第22页，共89页，2023年，2月20日，星期一第四章扭转三圆轴扭转时的强度计算第23页，共89页，2023年，2月20日，星期一第四章扭转/三圆轴扭转时的强度计算

1受扭圆轴横截面上的剪应力（1）公式推导的思路

应力分布应力公式变形应变分布平面假定物性关系静力方程第24页，共89页，2023年，2月20日，星期一MeMe平面假定变形几何1受扭圆轴横截面上的剪应力（2）公式推导过程第25页，共89页，2023年，2月20日，星期一dxMnMndxIp截面的极惯性矩第26页，共89页，2023年，2月20日，星期一dxTTdxIp截面的极惯性矩第27页，共89页，2023年，2月20日，星期一(3)受扭圆轴横截面上的剪应力计算公式第28页，共89页，2023年，2月20日，星期一扭转截面系数(3)受扭圆轴横截面上的剪应力计算公式:第29页，共89页，2023年，2月20日，星期一实心圆截面第30页，共89页，2023年，2月20日，星期一空心圆截面第31页，共89页，2023年，2月20日，星期一P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/minn3=n1

z3z1=1203612=360r/min例题已知：P1＝14kW,n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;

d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.P2＝p3＝p1／2。求:各轴横截面上的最大切应力。解：第四章扭转/三圆轴扭转时的强度计算

第32页，共89页，2023年，2月20日，星期一max(H)==22.69MPam2Wp2max(C)==21.98MPam3Wp3max(E)=m1Wp1=16.54MPa第四章扭转/三圆轴扭转时的强度计算

第33页，共89页，2023年，2月20日，星期一2受扭圆轴任意斜截面上的应力分析第四章扭转/三圆轴扭转时的强度计算

铸铁低碳钢铸铁试件受扭为什么沿45º螺旋面断开？低碳钢试件受扭为什么沿横截面断开？第34页，共89页，2023年，2月20日，星期一mmAτττAτefef第四章扭转/三圆轴扭转时的强度计算

第35页，共89页，2023年，2月20日，星期一讨论:τττσmaxσminτ第四章扭转/三圆轴扭转时的强度计算

第36页，共89页，2023年，2月20日，星期一第四章扭转/三圆轴扭转时的强度计算

3圆轴扭转时的强度条件

为保证圆轴安全工作，要求轴内的最大工作切应力不超过材料的许用切应力，即：

式中的许用扭转切应力,是根据扭转试验,并考虑适当的工作安全系数确定的.第37页，共89页，2023年，2月20日，星期一第四章扭转

四圆轴扭转时的刚度计算第38页，共89页，2023年，2月20日，星期一第四章扭转/四圆轴扭转时的刚度计算

1扭转角与剪切角

mm第39页，共89页，2023年，2月20日，星期一第四章扭转/四圆轴扭转时的刚度计算

2圆轴扭转时的变形计算

第40页，共89页，2023年，2月20日，星期一

如图所示阶梯轴。外力偶矩m1＝0.8KN·m，m2＝2.3KN·m，m3＝1.5KN·m，AB段的直径d1＝4cm，BC段的直径d2＝7cm。已知材料的剪切弹性模量G＝80GPa，试计算φAB和φAC。0.8kN·m1.5kN·m0.8m1.0mABC例题第41页，共89页，2023年，2月20日，星期一

图示一空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩m1＝9KN·m，轮2、轮3、轮4为从动轮,力偶矩分别为m2＝4KN·m，m3＝3.5KN·m，m4＝1.5KN·m。已知空心轴内外径之比d/D＝1/2，试设计此轴的外径D，并求出全轴两端的相对扭转角φ24。G＝80GPa，［τ］＝60MPa。5kN1.5kN4kN500500500例题第42页，共89页，2023年，2月20日，星期一

已知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW，转速n=180r/min，钻杆入土深度L=40m，G=80GPa，[τ]=40MPa。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩m；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）求A、B两截面相对扭转角。单位长度阻力矩例题第43页，共89页，2023年，2月20日，星期一

一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实心圆杆结合成一组合圆轴，共同承受转矩Me。圆管与圆杆的材料不同，其切变模量分别为G1和G2，且G1=G2/2，假设两杆扭转变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。试问两杆横截面上的最大切应力之比τ1/τ2为多大？并画出沿半径方向的切应力变化规律。因两杆扭转变形时无相对转动例题第44页，共89页，2023年，2月20日，星期一第四章扭转/四圆轴扭转时的刚度计算

3圆轴扭转时的刚度条件

要求单位长度的扭转角不超过某一许用值,即:第45页，共89页，2023年，2月20日，星期一试分别按实心圆轴和空心圆轴选择其直径，并比较二种截面轴之重量。解：1.计算外力偶矩画扭矩图。例1：钢制传动轴已知：n＝300（r.p.n），d／D＝1／2，输入功率:NA＝360kW，输出功率:NB＝NC＝110kW，ND＝140kW；

BCADmBmCmAmD＋70044456－xoT/N.m3502第46页，共89页，2023年，2月20日，星期一－＋T／N.mx350270044456危险截面：AC段。2.选择实心圆轴直径按强度条件按刚度条件第47页，共89页，2023年，2月20日，星期一2.选择空心圆轴直径按强度条件按刚度条件由此应选直径D=11.6cm，d＝D／2＝5.8cm3.重量比由此应选直径第48页，共89页，2023年，2月20日，星期一解：由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：轴的最大剪应力例题2某汽车传动轴，用45号钢无缝钢管制成，其外径D=90mm,壁厚t=2.5mm，使用时最大扭矩为Mx=1500N.m,试校核此轴的强度。已知[]=60MPa。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相当，则实心轴的直径为？第49页，共89页，2023年，2月20日，星期一所以此轴安全。若此轴改为实心轴，而式中解得：第50页，共89页，2023年，2月20日，星期一实心轴的横截面面积为空心轴的横截面面积空心轴与实心轴的重量之比：因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节约材料、比较经济。第51页，共89页，2023年，2月20日，星期一采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。因为

①根据应力分布规律，轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴心附近处的材料没有较好地发挥其作用；

②从截面的几何性质分析，横截面面积相同的条件下，空心轴材料分布远离轴心，其极惯性矩Ip必大于实心轴，扭转截面系数Wp也比较大，强度和刚度均可提高；

③通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保持刚度不变，即指截面图形极惯性矩保持不变。④对于轴的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合理。

第52页，共89页，2023年，2月20日，星期一例题3图示等截面圆轴，已知d=90mm,l=50cm,,。轴的材料为钢，G=80GPa,求（1）轴的最大剪应力；（2）截面B和截面C的扭转角；（3）若要求BC段的单位扭转角与AB段的相等，则在BC段钻孔的孔径d´应为多大？AllBCd1122第53页，共89页，2023年，2月20日，星期一AllBCd（+）（-）扭矩图解：(1)轴的最大剪应力作扭矩图：2211因此第54页，共89页，2023年，2月20日，星期一AllBCd（2）扭转角截面B：第55页，共89页，2023年，2月20日，星期一截面CAllBCd第56页，共89页，2023年，2月20日，星期一（3）BC段孔径d’由得解得：AllBCd第57页，共89页，2023年，2月20日，星期一例题4图示圆截面杆AB左端固定，承受一集度为t的均布力偶矩作用。试导出计算截面B的扭转角公式。Lt

xdx解：取微段作为研究对象。Mx(x)Mx(x)

L-xtMx(x)根据平衡条件求得横截面上的扭矩为：微段两端截面的相对扭转角为AB第58页，共89页，2023年，2月20日，星期一因此LtAB第59页，共89页，2023年，2月20日，星期一第四章扭转五扭转超静定问题第60页，共89页，2023年，2月20日，星期一扭转超静定问题的解法：（1）建立静力平衡方程；（2）由变形协调条件建立变形协调方程；（3）应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系：，代入变形协调方程，得到补充方程；（4）补充方程与静力平衡方程联立，求解所有的未知反 力偶或扭矩。第61页，共89页，2023年，2月20日，星期一例题6一两端固定的圆截面杆AB受力偶矩作用如图。要求：1）作扭矩图；2）若m=10KN.m,材料的[]=60MPa，试选择此等直圆截面杆直径。MABClMDll第62页，共89页，2023年，2月20日，星期一例题7一组合杆由实心杆1和空心管2结合在一起所组成，杆和管的材料相同。剪切模量为G,试求组合杆承受外力偶矩m以后，杆和管内的最大剪应力，并绘出横截面上应力分布的规律。如果杆和管的材料不相同，结果又怎样？12Mn12解：（1）静力学关系（2）变形协调条件第63页，共89页，2023年，2月20日，星期一（3）物理关系：

代入变形协调方程，得补充方程（4）补充方程与静力平衡方程联立，解得第64页，共89页，2023年，2月20日，星期一（5）最大剪应力杆1：管2：第65页，共89页，2023年，2月20日，星期一第四章扭转六矩形截面杆的自由扭转第66页，共89页，2023年，2月20日，星期一自由扭转：非圆截面轴扭转时，横截面不再保持平面而发生翘曲。约束扭转：横截面可以自由翘曲。横截面的翘曲受到限制。横截面上只有切应力而无正应力横截面上既有切应力又有正应力第67页，共89页，2023年，2月20日，星期一矩形截面轴扭转时切应力的分布特点角点切应力等于零

边缘各点切应力沿切线方向最大切应力发生在长边中点T第68页，共89页，2023年，2月20日，星期一分别计算两种截面杆最大切应力圆杆：矩形杆：查表：β＝0.801分别计算两杆截面面积圆杆：矩形杆：矩形截面面积与圆形面积相近，但是最大切应力却增大了近一倍，因此工程中应尽量避免使用矩形截面杆作扭转杆件。

例题一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩T=400N·m作用，圆杆直径d=40mm，矩形截面为60mm×20mm，试比较这两种杆的最大切应力和截面面积。第69页，共89页，2023年，2月20日，星期一第四章扭转七薄壁杆的自由扭转第70页，共89页，2023年，2月20日，星期一第四章扭转/七薄壁杆的自由扭转

第四章扭转/七薄壁杆的自由扭转

第71页，共89页，2023年，2月20日，星期一第四章扭转