材料力学弯曲变形

材料力学弯曲变形1第1页，共31页，2023年，2月20日，星期一例1

钢质细长杆(λ≥λ1)，两端铰支，长l=1.5m，横截面是矩形截面，h=50mm，b=30mm，材料是A3钢，弹性模量E=200GPa；求临界力和临界应力。解：(a)判断发生弯曲的方向。由于杆截面是矩形，杆在不同方向弯曲的难易程度不同，即：当约束条件相同的情况下，绕y轴的弯曲比绕z轴来的容易；压杆最易在xz平面内(最小刚度平面)发生弯曲。ybhzyPlxz2第2页，共31页，2023年，2月20日，星期一(b)判断欧拉公式的适用范围。因为是细长杆所以可用欧拉公式(c)计算临界压力。由欧拉公式(d)计算临界应力。

对A3钢σp≈200MPa，细长压杆在失稳时，强度还是有余的；

3第3页，共31页，2023年，2月20日，星期一例2

木柱长l=7m，横截面是矩形，h=200mm，b=120mm；当它在xz平面(最小刚度平面)内弯曲时，两端视为固定(μ=1/2)

；当它在xy平面(最大刚度平面)内弯曲时，两端视为铰支(μ=1)

；木材的弹性模量E=10Gpa，λ1=59；求临界力和临界应力。解:(a)求在xz平面内弯曲时的柔度，两端固定μ=0.5bhzyyxz4第4页，共31页，2023年，2月20日，星期一(b)求在xy平面内弯曲时的柔度，两端铰支μ=1(c)判断杆件易在哪个平面内弯曲所以易在xy平面内(最大刚度平面内)发生弯曲。说明绕z轴的弯曲比绕y更容易。bhzyyxz5第5页，共31页，2023年，2月20日，星期一(d)判断欧拉公式的适用范围所以为大柔度杆，可用欧拉公式。(e)求临界力和临界应力6第6页，共31页，2023年，2月20日，星期一10.4.3临界应力总图(各类压杆临界应力的计算)总结：对于λ＜λ2的小柔度杆，应按强度问题计算，图中AB线；对于λ＞λ1的大柔度杆，可按欧拉公式计算临界应力，图中CD曲线；对于λ2

≤λ≤λ1的中柔度杆，应按经验公式计算临界应力，图中BC线。DCBA小柔度杆中柔度杆大柔度杆7第7页，共31页，2023年，2月20日，星期一例10.3

两端铰支的压杆，长l=1.5m，横截面直径d=50mm，材料是Q235钢(a=304MPa,b=1.12MPa,σb=372,σs=235)，弹性模量E=200GPa，σp=190MPa；求压杆的临界力；如果：(1)l1=0.75l；(2)l2=0.5l，材料选用优质碳钢(σs=306)

；压杆的临界力变为多大?(2)判别压杆的性质并计算临界力:

解：(1)计算压杆的柔度8第8页，共31页，2023年，2月20日，星期一(a)当l1=0.75l时，λ=0.75×120=90，而

压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力:压杆是大柔度杆，可用欧拉公式计算临界力；9第9页，共31页，2023年，2月20日，星期一(b)当l2=0.5l时，λ=0.5×120=60，而

压杆是小柔度杆，临界应力就是屈服应力；10第10页，共31页，2023年，2月20日，星期一习题10.6.

三根圆截面压杆，直径均为d=160mm材料为Q235钢，E=200GPa，σp=200MPa，σs=240MPa。三杆均为两端铰支，长度分别为l1、l2和l3，且l1=2l2=4l3=5m。试求各杆的临界压力Pcr。解：(1)求柔度极限值

查表得Q235钢：a=304MPa,b=1.12MPa(2)判断柔度，求各杆的临界压力Pcr1杆：可用欧拉公式

11第11页，共31页，2023年，2月20日，星期一2杆：3杆：应按强度问题计算

属于中柔度杆

12第12页，共31页，2023年，2月20日，星期一

能够保持压杆在微小弯曲的状态下平衡的最小轴向压力称为临界压力。

所以，对细长压杆而言，讨论其稳定性的关键就是求出它的临界压力或临界压应力。对于不同柔度的压杆总可算出它的临界应力。将临界应力乘以压杆横截面面积，就可以得到临界压力。而临界压力是由压杆的整体变形所确定的，局部削弱(如螺钉孔等)对杆件整体变形影响很小；故无论是用欧拉公式还是经验公式计算时，都可采用未削弱的截面面积和惯性矩。第十章总结13第13页，共31页，2023年，2月20日，星期一压杆稳定计算1）根据压杆的约束条件确定长度系数μ2）计算杆件自身的柔度λ(10.7)，判断发生弯曲的平面（也可由惯性矩来判断最大、最小刚度平面）3）通过比较λ的大小，判断计算临界压力的公式作为强度问题计算4）由压杆稳定条件确定载荷或杆件尺寸或λp用(10.9)λs用(10.12)14第14页，共31页，2023年，2月20日，星期一例10.4

图示结构中，AB为圆截面杆，直径d=80mm，A端固定，B端铰支；BC是正方形截面杆，边长a=70mm，C端也为铰支；AB和BC杆可以独自发生弯曲变形而互不影响；两杆的材料是A3钢，其λp=104

，l=3m，稳定安全系数nst=2.5；求结构的许可载荷P。解：(1)计算AB和BC杆的柔度AB为一端铰支他端固定，BC为两端铰支；故柔度不同。应选择柔度大，临界压力小的杆件计算。15第15页，共31页，2023年，2月20日，星期一(2)比较和确定计算的压杆

因为λAB＞λBC，所以AB杆的稳定性比BC杆差，选AB杆计算；(3)稳定性计算：

λAB＞λP

，AB是细长压杆；

16第16页，共31页，2023年，2月20日，星期一问题1.

细长杆AB受轴向压力P作用，设杆的临界力为Pcr，则下列结论中_____是正确的。A.仅当P<Pcr时，杆AB的轴线才保持直线，杆件只产生压缩变形；

正确；没有失去稳定

B.当P=Pcr时杆AB的轴线保持直线，杆件不出现弯曲变形。

错误；杆件失稳，保持曲线平衡C.当P>Pcr时，杆AB不可能保持平衡；错误；杆件保持曲线平衡D.为保证杆AB处于稳定平衡状态，应使

P≤Pcr；

错误；失去稳定也是一种平衡状态17第17页，共31页，2023年，2月20日，星期一问题2.

两根细长压杆如图示，杆1为正方形截面，杆2为圆截面，两者材料相同，长度相同，且横截面积相同，若其临界载荷分别用P’cr和P”cr表示，则下列结论中_____是正确的。A．P’cr>P”cr；B．P’cr=P”cr；C．P’cr<P”cr；D．压杆采用圆截面最为经济合理；18第18页，共31页，2023年，2月20日，星期一问题3.图示两种构架中，横杆均视为刚体，各竖杆的横截面和长度均相同，材料均为A3钢。设P和P’分别表示这两种构架的最大许可载荷，则下列结论中正确的是什么？

①P>P’；②P<P’；③P值完全取决于杆EF的稳定性；④P’值完全取决于杆C’D’的稳定性；解答:②、③；两根压杆中稳定性最差的是EF；

其所受的压力远大于C’D’杆19第19页，共31页，2023年，2月20日，星期一习题10.4.

图示蒸汽机活塞杆AB所受压力为P=120kN，l=1.8m，截面为圆形d=75mm。材料为Q275钢，E=210GPa，σs=240MP。规定nst=8。试校核活塞杆的稳定性。解：(1)求柔度极限值并判断杆件的类型

压杆的柔度：

压杆是大柔度(2)压杆的临界压力(3)压杆的稳定性故稳定20第20页，共31页，2023年，2月20日，星期一习题10.9

有三根钢管构成的支架如图所示。钢管的长度为l=2.5m，外径30mm，内径为22

mm，E=210GPa，σp=240MPa。在支架的顶点三杆铰接。若取nst=3，试校许可的载荷P。120゜120゜2mP所以压杆为细长杆，欧拉公式适用

解：(1)求柔度极限值并判断杆件的类型

由于支架的对称性，可取其中任意一根杆来研究。设其所受压力为F

21第21页，共31页，2023年，2月20日，星期一习题10.9

有三根钢管构成的支架如图所示。钢管的长度为l=2.5m，外径30mm，内径为22

mm，E=210GPa，在支架的顶点三杆铰接。若取nst=3，试求许可载荷P。于是有

120゜120゜2mP故许可载荷为7.5kN

22第22页，共31页，2023年，2月20日，星期一习题10.10

在图示铰接杆系中，AB和BC皆为细长压杆，且截面相同，材料一样。若杆系因在ABC平面内丧失稳定而同时失效，并规定0<</2，试确定P为最大值时的角。

解：如图求出各杆的轴力

由已知条件可知

AB和BC皆为细长压杆，欧拉公式适用

欲使P为最大值，则两杆的压力同时达到各自的临界值，即23第23页，共31页，2023年，2月20日，星期一习题10.12

蒸汽机车的连杆如图所示。截面为工字形，材料为Q235钢，1=100，连杆承受的最大轴向压力为465kN。连杆在摆动平面（xy平面）内发生弯曲时，两端可认为铰支；而在与摆动平面垂直的xz平面内发生弯曲时，两端可认为是固定支座。试确定其工作安全系数。解：(1)用柔度进行压杆属性判断需先计算截面的几何性质x24第24页，共31页，2023年，2月20日，星期一x在xy平面和xz平面内的柔度分别为

故连杆易在xz平面失去稳定(或由Iy>Iz也可判断)并且欧拉公式不适合，需用经验公式。习题10.12

蒸汽机车的连杆如图所示。截面为工字形，材料为Q235钢，1=100，连杆承受的最大轴向压力为465kN。连杆在摆动平面（xy平面）内发生弯曲时，两端可认为铰支；而在与摆动平面垂直的xz平面内发生弯曲时，两端可认为是固定支座。试确定其工作安全系数。25第25页，共31页，2023年，2月20日，星期一x习题10.12

蒸汽机车的连杆如图所示。截面为工字形，材料为Q235钢，1=100，连杆承受的最大轴向压力为465kN。连杆在摆动平面（xy平面）内发生弯曲时，两端可认为铰支；而在与摆动平面垂直的xz平面内发生弯曲时，两端可认为是固定支座。试确定其工作安全系数。对于Q235钢，

连杆为中柔度杆，应用直线公式计算压力工作安全系数为：

26第26页，共31页，2023年，2月20日，星期一习题10.15

某厂自制简易起重机如图所示。压杆BD为20号槽钢，材料为Q235钢，1=100，2=62。起重机的最大起重量P=40kN。若规定nst=5，试校核BD杆的稳定性。解：（1）受力分析

(铰支座处无弯矩)

以梁AC为研究对象，由静力平衡

方程可求得（2）BD压杆的柔度

查型钢表，20号槽钢：27第27页，共31页，2023年，2月20日，星期一（3）计算临界压力