数学解析2012考研数一真题

由微分定义fxy在(00处可微，故答案为③对（C）和

fx,y在(00处可微，可知fx,y在(00处偏导，zf(x,y)f(0,0)AxByf(x,则

|x||y| (x,y (x,Ax f(0,

|x||y|

，显然极限不存在|x |y(x,y (x,yf(x,同理(x,y

x2(x,x2Ax f(0,x2x2(x,y

x2k

(x,y

，显然极限不存在，故（C）和（D）选项错误4Ik

ex2sinxdx(k1,2,3)，则有 （A）I1I2I3（B）I3I2I1（C）I2I3I1（D）I2I1t解（方法一令f(t)e sinxdx(t(0,))则f'(t)esint0可得f(t 在(0,上严格单调增加，可得f(1

f(2)

f(3)，故答案为（A；方法二：由定积分的几何意可I30I1I20，故答案为（A0 0 1 5、设10,21 向量组线性相关的是

，其中c1c2c3c4为任意常数，则下（A）1,2,3 （B）1,2,4 （C）1,3,4 （D）2,3,4 1|,,

1

,（C：

01

11

，故 4线性相关，可得答案（

c1c3

6、设A为3P为3P(1,2,3),Q(12,2,3则Q1AQ

P1AP

（A）

；（B）

（C）

（D）

： ）

10 QP110Q1

10 10Q1AQ110P1AP11

00100Q1AQ110

（B7、设随量X与Y相互独立，且分别服从参数为1和参数为4的指数分布，P{XY} （A）1 （B）1 （C）2 （D）4 X（A）XYX

f(x)e

xx Y0yf(y)4eY0y

y

0 0f(x,y)

fX(x)

(y)4ex4

x0,y0，则P{ Y

x

f(x,04e4ydyyexdx4e4y(1ey)dy[e4y]4[e5y]1故答案（A0

8、将长度为1m的木棒随机的截成两段，则两段长度的相关系数为 （B）1 （C）1 （D）1 （D：（D二、填空题：9-146题，满24分请将答案写在答题纸指定的位置上。9、若函数fx)满足方程fxfx2fx0fx

fxfx2ex，则解：exfxfx2fx0的特征方程r2r20r11r22，可fxC1exC2e2x，代fxfx2exfx2C1exC2e2x2exC11,C20。故可得答案为ex 10、0x2xxdx 222解： ：x2xx2dx22

1(x1)2

，令tx

，可得 0

2xx2dx

(t1)1t2 1 由对称性

x2xx2dx

1t2

，再

tsin 可

1 x2xx2dx22cos2udu2 2 11、grad(xyz)|(2,1,1) y解：(1,1,1ijkFxyzxyzFxyFyxzFz1， 得gradxyz|(2,1,1(FxFyFz|(2,1,1yxz,1|(2,1,1(1,1,1

xyz|xyz1x0y0z y2dS解

：由曲面可得

cos ，向 面投影，可13Dxyxy|xy1x0,y0}，13y2dS

y2dxdy

y2dxdy

1

3y2(1y)dy 。

13、设x为三维单位向量，E为阶单位矩阵，则矩阵ExxT的秩 解：2x为三维单位向量RxxT1，且xxT)xxxTxxxxT的特征值为00,1ExxT的特征值为1,10ExxT这实对称矩，必可对角化，其14．设AB,CPABC)

AC

PAB1P(C1，则 解：4

：P(ABC)P(ABCP(C

，而P(C1P(C23

AC互不相容可P(ABC)0PABCPABPABC1PABC1，可得PABCPABC)3 P(C 15（10分、证明xln1xcosx1x2，其中1x11 证明fxxln1xcosx1x2，当1x1fxf(0)1 f'(x)ln1xx1x1x1xsinxxxln1xx1x2sin1

1

(1

1

1（1）当0x11x11x21ln1x0xsinx0，1

1

1可得当0x1fxln1xxsinx01即当0x1fx单调增加fx

f(00xln1xcosx1x21

1x

01x1,1x21,ln1x0,x1x2sinxxsinx1

1

1

1可得当1x0fxln1xxsinx01即当1x0时，fx单调减少，fxf(00可得xln1xcosx1x21 由（1）和（2）可得当1x1xln1xcosx1x21 f(x,y)exx216（10分

解：先求函数的驻点fx,y)ex0,fx,y)y0，可得驻点为(e0 Af"(e01Cf"(e01Bf"(e0 所以ACB210A10，故可得fx,y在点(e0处取得极f(e0)e221117（本题10分）求幂级数

4n24n3x2n的收敛域与和函数2n

n|n|un(x)

n|n|4n24n3x2n2n

x21，可得1xnnx1，可得级数

4n24n3，显然发散，故收敛域为1x1s(0)32n4n24n3x2n

(2n1)22x2n

(2n1)x2n

x2n

x2ns(x)s(x) 2n

2n

2n

s1(x)(2n1)

xxxxs(t

(2n1)t2ndt

t2n1|x

x2n1 (x2)n 0

0

1即s(x)( )'

1

；

1 (1x2 xs2(x)22n1

[xs2(x)]'

x2n1)'

x2n

(x2)n ，

2n

1可得xs(x) 2dt2arctanx，可得当x0时，s(x)2arctanx，x 01t¥

ìï1+

+2arctan x?(1,1)且x? 4n2+4n+3x2n=ï

x2 ån=

2n+

x=1（本题10分已知曲线Lìïx

f(t

pf(t有连续导数f(0)0íïy=cost(0? 当0tf(t0L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1f(t)的表达式，并求此曲线Lx轴、y轴无边界区域的面积（1）设Pxy=f(t),cost)为Ldydy

sin

，可得过点

P(x,

的切线方程为 dt f'(tY-cost=

sint(Xf'(t

f(t，令Y=0X

f'(tcostf(t，由于曲的切线x轴的交点到切点的距离恒为1，故有[f'(t)costf(tf(t)]2cos2t化简f'(t)=sectC=0

+

sint+Cf(0)0f(tln|sect+tant|

sint，0? p2 （2）曲线L与x轴、y轴无边界区域的面积为：S 2ydx 2costf'(t

1 2cost(sectcost)dt2(1cos2t)dt2dt2cos2tdt 。

2

3x2ydx+(x3+xòLò

2y)dy，其中L是第一象从点(00沿圆x2

y2=2x到点(20，再x2

y2=4到点(02曲线段解：圆x2

y2=2x为圆C1，圆x2

y2=4为圆C2补一直补一直线段L1x=002P=3x2y,Q=x3+x-2P=3x2y,Q

x3+x

2y在C1、C2L1所围闭区域D上具一阶连续偏导数，且¶P=3x2,¶Q=3x2+1，且取为正方向，由格 可 I=

=(¶Q

2ydy

(3x2+

3x2)dxdy

2 L+

D 2=dxdy+y2|0=1p41p14p42 1a0 20（本题11分）

01

0,b

（2）=A 001A a00 有无穷解，求a，并Ax=b的通解1a0

1a

a0（1）

01a0=1?01

a1a0=

a4001

00

01a00 0a01 01a0a01 01a011a-1a-10-(A,b)

01a0- 犏犏001 犏犏

01

0 1

00 a臌臌臌犏00 a臌臌臌

0-

01-

00

1-a-

000

a4-a-1- 1-1 1- 1-1 犏1-0-100- 10-1-010-1- 1- 犏犏 01- 001- 臌0 臌0 00 臌臌则A

a4=0,-a

a2=0解得a=-1Ax=b的同方程组ìïx1=

1ïx=x-

珑鼢-ïí

，可Ax=bx=k1

k?R0ïx3=0ïîx4=

轾1 犏0

1 ，A为矩阵A的转置矩阵已知R(AA)=20a-1-1 0a-1=（2）型，写出正交变换过程轾1

10-

轾1

1-（1）

犏0

,B

ATA

0

a?

1+

1-a犏0 -1犏0

1

a-

-1

1-

1-

3+犏犏0a- 犏0a- 犏 RATA 1-

1+

1-

+(1-

1- 1+

1-

=21-

3+

1+a21-1-a1-

3+=2[(1+a2)(3+a2

a)2

a)2(1+a2)=2(a4+3a2+2a+

(a2

2a+1)(1+a2a4+2a3+4a2+6a+3=a2(a2+2a1+3(a2+2a1=(a2+3)(a1)2，解得aa=-1

a=-

B=ATA

20犏02 犏222- |B-lE

2- - -

4-l 02- 4解得l1=0,l22,l3=6

20

ìïx1=-l1=0时，B

l1E

B=02

，ïï

2=-x3犏22犏Bx=0同解，可得特征值l1=0所对应的特征向量为a1=(

1)T

ïîx3=110011110011犏0000犏00犏②当l2=2B犏

2E

00

，则ïï

2=-

与

2E)x=同解，可得特征值

222=2所对应的特征向量为a2=(

l3= -4 0犏B-6E=犏-4 0犏 2ïx= 与(B-6E)x=0同解，可得特征值 =6所对应的特征向量 a3=(1,1,2)T④令h1

11h2

1犏1

x=Qy可32 32- f=xTATAx=yTQTATAQy=2 22（本题11分）已知随量X,Y及XY分布律如下，求（1）P{X=2Y}（2）covX-Y,Y与rX012Y0120124P121316P131313P130 解（1）解（1）P{X=2Y}=P{X=0,Y，=P{X=0}+ -7+1+1-0=3，（2），

Y,Y)而covX,Y

E(XY

EX)E(Y其中EXY0

E(X)E(Y)(011121)(011121)2 可得cov(X,Y)=EXY)-EX)E(Y)=2-2=0 D(Y)E(Y2)E2(Y)(01121221)(011121)22 可得cov(X

Y,Y)