高考复习要注重学生能力的培养和双基的落实(精)

高考复习要注重学生能力的培养和双基的落实曹杨二中黄坪一、高考复习要注重学生数学能力的培养高考的应试教育评价体系十分完整，比较客观公正，我们每个老师都十分重视。高考非常关注学科的素质教育，并与课程改革紧密联系在一起，高考除了完成为高校选拔人才功能之外，还有一个目的就是为了推进中学的素质教育。我们常说的广义上的素质教育与数学高考必备的学科素质要求是有区别的。在推进数学学科素质教育的过程中，我们往往会混淆这两种素质的关系，搞不清它的轻重缓急，甚至片面地认为，在数学课中渗透了德育教育，就是落实了数学学科的素质教育。这种不正确的认识或者说是错误的认识，必然会对高考复习和起始年级的教学带来负面的影响。近年来的上海高考在命题的方向上，始终与课程的改革相一致，在数学学科素质的考查上动脑筋，应引起我们的关注。例1（2004年上海高考第16题）某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数21546767457065280行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数12462若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（）（A）计算机行业好于化工行业（B）建筑行业好于物流行业（C）机械行业最紧张（D）营销行业比贸易行业紧张本题用到的知识是十分浅显的，关键是看学生对缺省数据的理解和处理了，如果有一定的阅读理解和分析能力，小学知识就够了，竟然出现在高考的第16道位置上，并作为选择题的最后一题，说明高考数学在课程改革上的导向性，凸现数学学科在问题应用和分析、理解并最终解决问题能力上的要求。本题中涉与到两个关键性的常识性名词：“应聘”和“招聘”。用数学估计的方法来解决本题就可以了，不需要精确计算。计算机大概有9万多人不能录用，化工应聘的人数少于7万人，供不应求，就业形势好，因此，（A）是不对的，由于贸易行业招聘人数不清楚，录用比例可以很低很低，因此（C）、（D）也是错误的，故选（B），验证（B）的正确性也很简单。我想这类题对限制题海是有一定作用的，这是数学学科侧重对学生分析问题和解决问题能力的考查。数学高考围绕“双基”和“五大能力”来展开，基础知识和基本技能是高考立足之本，是学生能力发展的基础，是数学学科最为基本的素质。我们在这方面失分的较多，如果不注意，高考考不出高分来。去年区考，考到一道半圆和直线交点的问题，我正好改到这道题，发现许多学生把直线方程和圆方程联立起来，用判别式来乱套，说明学生的数学思想方法没有掌握好，圆这个特殊图形我们都结合平几知识来解决来得简单，用代数的方法来求就比较麻烦了，恰恰相反，椭圆、双曲线和抛物线的问题我们常常用代数的方法来求解，因为研究弦长、最远距离等问题常常无法用平几的方法直观地看出来，需要用代数的方法加以精确地计量。这些基本的解题方法，也是属于数学双基中的范畴，有人片面地认为数学的基础就是记记公式，这个层次太低了，是能力要求中最底层的东西，而双基中的数学思想方法是数学能力中属于较高层次的东西。“五大能力”中，“四大能力”是老的提法，即：思维能力、运算能力、空间想象能力和分析问题与解决问题的能力，尤其对于数学中的前三大能力我们比较熟悉，分析问题与解决问题的能力反映了数学知识之间与跨学科知识间的融合，新课程改革中又加了一大能力，即数学探究与创新能力，这是新课程改革中数学素质教育所极力倡导的能力。近年的上海高考在探究与创新能力问题的研究上是走在全国前列的。例2（2005年上海高考第12题）用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵。对第行，记，。例如：用1、2、3可得数阵如右，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以。则，在用1、2、3、4、5形成的数阵中，.答案是－1080.实际上本题还是可以从一道老题中找到它的影子。设集合是集合的非空子集，将中每个元素都乘以，再求和（如，可求得和为：），则对的所有非空子集，这些和的总和是.05年的这道高考题是在新定义形式下的进行求解方法上的类比题，是一道创新题。本题数学学科本身知识范畴内的素质要求较高，除了要进行解题方法上的类比，还有一个在高观点下处理初等数学的问题，实际上涉与到的是矩阵的概念，因为老教材上没有提与，作为新老高考合用的试卷也就不能明说。高观点下的信息题，2005年在高三数学教学调研试卷的第12题上也曾经出现过：如图，一张的方格纸上写着1—25共25个正整数.在这张纸上将这些数再写一遍，第一行自左向右写1，2，3，4，5；第二行自右向左写6，7，8，9，10；第三行自左向右写11，12，13，14，15；此后依此类推.这样，有些方格中写着两个相同的数，而另一些方格中写着不同的数.试就写着两个相同数的方格给出一个与概率有关的正确命题：从图中的25个方格中选到一个写着相同数字方格的概率是1/5.都在对角线上重复，要答对本题是不困难的，只要按照本题要求的信息进行操作就可以了，如果本题推广到的方格，就要进行归纳和观察了。2003年北京高考也出现过这类题。例3（2003年北京高考第12题）某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令其中1，2，…，k，且1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（） （A） （B） （C） （D）本题用分段函数给出新的定义，是矩阵知识与分类、分步排列与组合知识的综合，令人耳目一新。去年区考也用了这题的变题。根据新定义（这类题或称新概念题或称信息题）来解决问题，在高考中已不再新奇：例4（2004年北京高考第19题，共20题）某段城铁线路上依次有A、B、C三站，5，3，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行中，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差.（1）分别写出列车在B、C两站的运行误差；（2）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求的取值范围.这里用绝对值来定义运行误差，即为实际时间与预定时间差的绝对值。把这个新信息和关键信息搞清楚，实际应用问题就变成了纯数学模型了，就是解决含两个绝对值的一元不等式的问题。这是初中学生也能解决的问题。我们再往前搜索。最早出现在2001年的全国高考中。例5（2001年全国高考数学试题12题）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递。则单位时间内传递的最大信息量为（）26242019我们觉得这道题的问题背景学生比较陌生，对于考查学生分析问题和解决问题的能力尤为突出。为此，我曾经在初中二年级、三年级和高中三个年级作了调查测试。测试结果如下。初二年级某班2人选对，52人选错，其中选A的46人；初三年级某班7人选对，54人选错，其中选A的36人；高一年级某班23人选对，35人选错，其中选A的17人，选B的14人，选C的4人；高二年级某班12人选对，46人选错，其中选A的23人，选B的5人，选C的18人；高三年级某班25人选对，34人选错，其中选A的20人，选B的4人，选C的10人。测试统计结果和个别答问调查表明，大多数学生看不懂这道题，选错的学生相当多的是选A，只是从字面上进行理解，尤其是初中年级的学生，由于看不懂题目的意思，就从四个数字中选了一个最大的数据。这道题反映了学生对不熟悉的情境，即使数学知识具备了，但解决问题的能力还跟不上。如果将问题情境中的信息量改为水流量，每个结点之间的数据为水管的粗细程度，则再来问由结点A流到结点B的最大水流量，我们又在另外一个初三班作了调查测试，学生一般都能解决。因此可见，不同的问题情境，对于数学问题的解决有着直接的关联。在数学教学中，将同样的知识赋予不同的情境之中，以体现数学教学的时代性和现实性，显得十分重要和必要。数学教学不单单是知识的教学，更重要的是教育学生在不同的问题情境中，学会将知识进行迁移，提高分析和解决问题的能力。演变不同的问题情景，增强学生识别问题、分析问题和解决问题的能力，淡化解题技巧，剔除繁难偏旧的问题是数学教学中我们要增强的意识，这也是教改的方向。下面我们来回顾上海高考中的其它创新题型：1．（2000年上海高考第12题）在等差数列中，若，则有等式成立.类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式成立.2．（2001年上海高考第11题）已知两个圆：①与②，则由①式减去②式可得上述两个圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例.推广的命题为两年都作类比推广。是创造性的题型。3．（2001年高考第22题）对任意函数，可按图示构造一个数列发生器其工作原理如下：①输入数据，经数列发生器输出；输入输出打印输入输出打印结束②若，则数列发生器结束工作；若，则将反馈回输入端，再输出，并依次规律继续下去.现定义.（1）若输入，则由数列发生器产生数列.请写出数列的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据的值；（3）（理科）若输入时，产生的无穷数列满足：对任意正整数，均有，求的取值范围.（文科）是否存在，在输入数据时，该数列发生器产生一个各项均为负数的无穷数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.本题情境新，创意好，得到全国的一致好评。4．（2002年上海高考第22题）规定，其中，是正整数，且，这是组合数是正整数，且的一种推广.（1）求的值；（2）组合数的两个性质：①；②.是否都能推广到是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；（3）已知组合数是正整数，证明：当是正整数时，.推广新法则并在组合数的运算中进行应用。5．（2003年第22题）已知集合是满足下列性质的函数的全体.存在非零常数，对任意，有成立（1）函数是否属于集合？说明理由；（2）设函数且的图像与的图像有共同点，证明：；（3）若函数，求实数的取值范围.利用抽象函数性质解决新问题。本题第三问的特征是一个等式中含三个未知字母。解决本题的关键是先求出字母T，T是常数，通过三角函数的有界性待定出来，这样就变成关于字母恒成立的情况下，求的取值范围的问题了。6．（2004年上海高考第21题）如图是底面边长为1的正三棱锥、E、F分别为棱长、、上的点,截面∥底面,且棱台与棱锥的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）证明：为正四面体；若,求二面角的大小；（结果用反三角函数值表示）设棱台的体积为V,是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台有相同的棱长和若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.构造符合条件的新几何题，本题的关键是构造底面是平行四边形的直四面体，设立底角，用几何体的大小关系探讨它的存在性。7．（2005年上海高考第21题）对定义域分别是的函数、，定义函数：（1）若函数，，写出函数的解析式；（2）求问题（1）中函数的值域；（3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，与一个的值，使得，并予以证明.构造符合条件的三角函数，需要作逆向思考。二、高考复习要在高考必备的知识上下功夫1．三年高考知识点分布下面来看各知识要点在近三年数学理科高考试题中的比分情况和简单分析.2003年理科高考各知识分支在高考中所占的比分：函数与不等式三角数列复数极限概率解几立几34162212443820代数92分，几何58分，代数大致占60%，几何大致占40%.如果把复数与三角综合的问题看成三角问题，最后一题的第三问也划为三角问题，三角比分占35分，其中还不包括立几和极坐标中三角的计算，这样三角的比分多了一点，突出体现了三角作为工具性的作用.第21题含有4分的向量运算，解几实际上是34分，解几考查的知识面是比较宽的，直线和圆，椭圆、双曲线和抛物线都考到了.复数和立几不难，考查的重点在函数和数列上，如果把数列也看成函数的话，则函数的内容约占38%，说明函数在高考中有着不可忽视的重要地位.实际上解几求解中用到的较多的方法也是函数求解的方法，如20题的第二问8分，21题第三问的7分，这样算来函数占71分，几乎占了一半的分，进一步说明函数内容在数学知识中的重要性.2004年理科高考各知识分支在高考中所占的比分：函数与不等式三角数列与极限复数向量概率解几立几6代数96分，几何54分，代数大致占64%，几何大致占36%.上面的统计只是一个粗略的划分，如最后一道解几题，没有将数列归类为数列部分，而把它列入解几部分.第9题概率题还涉与到二项式定理和组合数的性质.第16题实质上是一道信息应用题，我们把它归成了函数部分，等等.高考从知识的交汇点出发，综合能力的考查也就在这个点上表现得最为突出.总的感觉2004年高考比2003年高考代数部分的量多了一些；立几的探究性程度比2003年高；函数部分的量比2003年有了明显增加，突出了函数思想和一些数学中常用的思想方法，如对基本量思想方法的考查.2005年理科高考各知识分支在高考中所占的比分：函数、不等式三角数列复数极限二项式定理概率解几、向量立几381418124444016代数94分，几何56分，代数大致占62%，几何大致占38%.几何的比分比往年少了一些，主要是立几的比分比往年少了4分，立几是新教材改革中变化最大、最为敏感的部分，今年的高考实际上作了回避.如果把三角和数列也划归为函数部分，则函数的比例将近一半，因此，在高中数学中，函数思想和用函数的方法来解决问题，在高中数学中占了主导性的地位.从三年高考的数据统计中，我们可以看出函数与不等式是高考的重点，其次是数列和解几.2．必备知识的准备（1）搞清充要条件例1（2003年上海高考第15题）a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x211>0和a2x222>0的解集分别为集合M和N，则“”是“”的（） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分又非必要条件.当时，，条件不充分；又和解集均为R，条件不符合不必要，故选（D）.2004年上海高考的最后一题的第三问是探索一个结论成立的充要条件.实际上求字母的取值范围就是在寻找充要条件，问题的等价变形也是在不断地寻找新的充要条件，因此什么知识都可以与充要条件结合起来.例2（2005年上海高考第16题）设定义域为R的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（）（A）且（B）且（C）且（D）且本题只要画出的图象，用常量函数与它的交点来求解。（2）关注函数三个要素和三个性质所谓函数的三个要素是指函数的解析式、定义域和值域，三个性质指的是奇偶性、单调性和周期性.离开三要素无法研究三个性质,高考对函数性质的考查十分频繁.例3（2003年上海高考第1题）函数的最小正周期.本题用两角和的加法公式即得一个三角函数，可知.例4（2003年上海高考第13题）下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是 （） A．B．(－x)C．D．四个三角函数均为偶函数，C即为满足题设的单调性，故选（C）.例5（2004年上海高考第5题）设奇函数的定义域为[-5,5].若当∈[0,5]时,的图象如右图,则不等式的解是.奇偶性的作用就在于已知关于原点对称区间一边的图形就可以补全另一边，从而得到所求的解为(－2,0)∪(2,5].例6（2004年上海高考第14题）已知是周期为的函数，当时，，则的解集为（）A．{│=2π}B.{│=2π}C．{│=2π±}D.{│=2π}评点：本题不注意周期性容易误选D，若能根据周期性画出图象，则选（C）.例7（2004年上海高考第10题）若函数在[0∞)上为增函数,则实数、的取值范围是.评点：函数图象是以对称轴的折线，符合题设条件的对称轴在轴与其左边，根据图形得且.例8（2003年上海高考第16题）f()是定义在区间[－]上的奇函数，其图象如图所示：令g（）（），则下列关于函数g（）的叙述正确的是（） A．若a<0,则函数g（）的图象关于原点对称. B．若－1,－2<b<0,则方程g（）=0有大于2的实根. C．若a≠02,则方程g（）=0有两个实根. D．若a≥1<2,则方程g（）=0有三个实根.本题比较抽象，字母又多，两个函数综合在一起，若能利用特殊值，如取，则需将原图象沿轴翻折过来再向上平移个单位，显然（A）不合；取，，则g（）=0即为，可看成两函数图象和有三个交点，排除（C）；取，，可看成两函数图象和不一定有三个根，排除（D），故选（B）. 函数是高考中的重中之重，2003年三角函数所占的比重较大，2004年一般函数所占的比重较大.整个高中数学是以函数为主线组成的知识体系.（3）几个特殊的函数要熟悉指数对数函数是高中学习的重点知识，2005年上海高考试卷中至少出现三处指数式和三处对数函数。上海高考对一次分式函数也十分重视，几乎是年年都要考，它在分离常数方面的技巧性很强。抽象函数在2001年全国高考的最后一题之后，高考中出现抽象函数也已经是习以为常，不过上海高考卷上还是很慎重的，全抽象的函数好象还没有出现，2005年出现的是抽象与半抽象结合的函数。例9（2001年全国高考第22题）设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称。对任意都有，且。（1）求，；（2）证明是周期函数；（3）记，求。例10（2005年上海高考第19题）已知函数的图象与轴分别相交于点A、B，（分别是与轴正半轴同方向的单位向量），函数。（1）求的值；（2）当满足时，求函数的最小值。例11（2000年上海高考第19题）

已知函数

（1）当a＝时，求函数f(x)的最小值；

（2）若对任意x∈[1∞),f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围。

（4）注意数列考查中的其它背景知识例12（2003年上海高考第19题）已知数列（为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列.（1）求和：（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数的一个结论，并加以证明.与二项式定理结合起来，本题很简单，若采用数学归纳法较繁.例13（2004年上海高考第22题）设P1,P2,…,(≥3,∈N)是二次曲线C上的点,且=2,=2,…,=2构成了一个公差为的等差数列,其中O是坐标原点.记.（1）若C的方程为=13.点P1(10,0)与S3=255,求点P3的坐标；（只需写出一个）（2）若C的方程为.点P1,对于给定的自然数,当公差变化时,求的最小值；（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C与C上的一点P1,对于给定的自然数,写出符合条件的点P1,P2,…存在的充要条件,并说明理由.背景知识是二次曲线，第二问若从数形结合的角度，理解，，视题设中为给定的常数，把看成关于变量的一次函数问题就迎刃而解了.综合两年的数列考查题都用到其它知识作背景，其本身的难度不大，仅仅用等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，特别要注意的是其它背景知识在数列中的作用.（5）留意无处不在的不等式求解单纯地模式化的不等式求解，如解一个含参数的分式、对数式、无理式这类比较困难的不等式，这两年在各地的高考中几乎不多见，但不等式在整张试卷中几乎与所有的知识都能联系上，真是无处不在，无时不有，无孔不入.例14（2003年第20题）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）例15（2004年上海高考第18题）某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为、（单位：m）的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积82.问、分别为多少（精确到0.001m）时用料最省两年的应用题，均考查了均值不等式的应用，首先要列出函数关系式，注意取得最值时等号成立的条件.在2004年高考的六条大题中，每道题均与不等式有关系，并涉与到不等式的求解，真所谓相等是偶然的，不等才是必然的.其它小题与不等式的关系更加密切，也是随处可见.（6）三种圆锥曲线都要考到直线与圆的问题可以结合几何法来求解，直线与抛物线、椭圆和双曲线的问题，单凭几何法是困难的，如果涉与到求过圆锥曲线焦点的弦长等问题，首先要联想到它们的几何意义，不过焦点就考虑联立方程组采用设而不求的方法来解决，在假设未知量的时候，要尽可能用少的量，这就是一种基本量的思想方法，如果再根据条件求出这些量，就称为待定系数的方法，圆锥曲线都是用方程来呈现的，因此方程思想和待定系数的方法成了最为基础的解题方法.2004年第2题、第8题、第11题和第22题，把解析几何两章知识考全了，并要求考生通过第11题来领会解析几何的精神实质.几乎每张试卷三种圆锥曲线都会考全的，2005年也如此。例16（2003年上海高考第21题）在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△的直角顶点.已知2，且点B的纵坐标大于零.（1）求向量的坐标；（2）求圆关于直线对称的圆的方程；（3）是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围.困难在第（3）问，一般解法引进一个参数，假设对称点存在，则对称点所在的直线方程可用这个参数来表示，即为在轴的截距，与抛物线联立方程组，由判别式大于零，得到关于、的不等式，再由中点在对称轴上，得到关于、的一个等式，消去参数，就得到关于的不等式，从而得到问题的答案.例17（2003年上海高考第16题）给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由1|－28，即|9－28，得21或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内.代数求法如果没有图形的直观引导会使求解迷入歧途，这题在代数求解上是没有问题的，问题出在2|的最小值是2，因此不可能是1，只能是17.要关注抛物线中准线几何意义的利用。因为上海教材中不谈椭圆和双曲线的准线问题。要注意卫星椭圆轨道与地球圆心作为焦点的问题，一个基本常识是近地点和远地点的概念要弄清。（7）三角的工具性作用越来越明显三角考得最多的是2003年，04、05年在突出三角的工具性作用方面做得较好。全国卷三角与向量的结合出得较多，上海各区的模拟卷这类问题也较多。（8）注意向量与其它知识的整合2005年上海高考一张试卷在两个地方考了向量，说明对它的重视。2003年和2004年只出现一处，比分都只有4分，2005年文理除了一道小题中涉与外，都在大题中又考到了。理科放到了最后一题的位置上，是与解几的整合，并出现点对称的概念，也是一个新的尝试。例18（2005年浙江高考第10题）已知向量≠，＝1，对任意t∈R，恒有|－≥|－|，则（）(A)⊥(B)⊥(－)(C)⊥(－)(D)(＋)⊥(－)向量与一元二次函数、一元二次不等式的结合。例19（2004年福建高考第17题）设函数f(x)=，其中向量=(2，1)，=(，2x)，x∈R.（1）若f(x)=1－且x∈[－，]，求x；（2）若函数22x的图象按向量=(m，n)(<)平移后得到函数(x)的图象，求实数m、n的值.向量与三角和函数的平移知识的结合。向量在全国高考中与三角知识的整合已成趋势。向量中最困难的运算还是向量的内积运算。例20（2004年湖北高考第19题）如图，在△中，已知，若长为2a的线段以点A为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.本题的得分率是低的，实际上是一道老题的变式：QCP在△中，三边8，7，3.以点A为圆心，1为半径做一个圆，设为圆A的任意一条直径，记，求T的最大值和最小