2019-版高考数学(课标版-文科)一轮-直线、平面垂直的判定和性质

2019-版高考数学(课标版-文科)一轮-直线(zhíxiàn)、平面垂直的判定和性质第一页，共22页。§8.5直线、平面垂直(chuízhí)的判定和性质知识清单考点直线(zhíxiàn)、平面垂直的判定与性质第二页，共22页。第三页，共22页。第四页，共22页。(1)斜线与平面所成的角的定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的

射影所成的⑨锐角(ruìjiǎo)

,叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)当一条直线垂直于平面时,规定它们所成的角是直角;当一条直线和

平面平行或在平面内时,规定它们所成的角为0°.(3)直线l与平面α所成角θ的取值范围第五页，共22页。(1)二面角的定义:由两个半平面和一条公共交线所组成的空间图形叫

做二面角.公共交线叫做该二面角的棱.两个半平面叫做二面角的面.(2)二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点(duāndiǎn),在两个半平面内分别作垂直于棱的两

θ,当θ=

90°时,二面角叫做直二面角.第六页，共22页。判定或证明线面垂直的方法1.线面垂直的定义(一般(yībān)不好验证任意性).2.线面垂直的判定定理:a⊥b,a⊥c,b∩c=M,b⊂α,c⊂α⇒a⊥α.3.平行线垂直平面的传递性:a∥b,a⊥α⇒b⊥α.4.面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊥l,a⊂β⇒a⊥α.5.面面平行的性质:α∥β,a⊥β⇒a⊥α.例1

(2017广东广州一模,19)如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB

⊥BC,BD⊥DC,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平

面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图②所示的几何体.(1)求证:AB⊥平面ADC;(2)假设AD=1,AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为 ,求点B方法技巧方法1第七页，共22页。到平面(píngmiàn)ADE的距离.

图①

图②第八页，共22页。解题导引

(1) (2)由(1)得∠DAC为AC与面ABD所成的角 由tan∠DAC= = 及AD=1得CD=  利用△ABD∽△DCB得相关(xiāngguān)棱长 利用VB-ADE=VA-BDE得点B到面ADE的距离第九页，共22页。解析(1)证明(zhèngmíng):因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BD

⊥DC,DC⊂平面BCD,所以DC⊥平面ABD.因为AB⊂平面ABD,所以DC⊥AB,又因为折叠前后均有AD⊥AB,且DC∩AD=D,所以AB⊥平面ADC.(2)由(1)知DC⊥平面ABD,所以AC在平面ABD内的正投影为AD,故∠CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成角.依题意得tan∠CAD= = ,因为AD=1,所以CD= .设AB=x(x>0),那么BD= ,第十页，共22页。易证△ABD∽△DCB,所以 = ,即 = ,解得x= ,故AB= ,所以BD= ,BC=3.由于AB⊥平面ADC,所以AB⊥AC,又E为BC的中点,所以由平面几何知识(zhīshi)得AE= = ,因为BD⊥DC,E为BC的中点,所以DE= = ,所以S△ADE= ×1× = .因为DC⊥平面ABD,所以VA-BCD=VC-ABD= CD·S△ABD= .设点B到平面ADE的距离为d.第十一页，共22页。那么由 d·S△ADE=VB-ADE=VA-BDE= VA-BCD= ,得d= ,即点B到平面(píngmiàn)ADE的距离为 .第十二页，共22页。判定或证明面面垂直的方法1.面面垂直的定义(作出两平面构成(gòuchéng)的二面角的平面角,计算其平面角

为90°).2.面面垂直的判定定理:a⊥β,a⊂α⇒α⊥β.例2

(2017北京,18,14分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB

⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PA⊥BD;(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.方法2第十三页，共22页。解题(jiětí)导引

(1)由PA⊥AB,PA⊥BC得PA⊥面ABC PA⊥BD(2)

(3)由PA∥面BDE得PA∥DE DE⊥面ABC 利用V= S·h得三棱锥E-BCD的体积第十四页，共22页。解析(1)证明(zhèngmíng):因为PA⊥AB,PA⊥BC,AB∩BC=B,所以PA⊥平面ABC.又因为BD⊂平面ABC,所以PA⊥BD.(2)证明(zhèngmíng):因为AB=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC.由(1)知,PA⊥BD,又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.所以平面BDE⊥平面PAC.(3)因为PA∥平面BDE,平面PAC∩平面BDE=DE,所以PA∥DE.因为D为AC的中点,AB⊥BC,第十五页，共22页。所以DE= PA=1,BD=DC= .由(1)知,PA⊥平面(píngmiàn)ABC,所以DE⊥平面(píngmiàn)ABC.所以三棱锥E-BCD的体积V= BD·DC·DE= .第十六页，共22页。翻折问题的处理方法平面图形翻折为空间图形问题的解题关键是看翻折前后线线位置关系

的变化,根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和

发生变化的量,这些不变的量和变化的量反映了翻折后的空间图形的结

构特征(tèzhēng).例3

(2015陕西,18,12分)如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=

 ,AB=BC= AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.方法3第十七页，共22页。

(1)证明:CD⊥平面A1OC;(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥(léngzhuī)A1-BCDE的体积为36 ,求a的值.第十八页，共22页。解析(jiěxī)(1)证明:在题图1中,因为AB=BC= AD=a,E是AD的中点,∠BAD= ,所以BE⊥AC.即在题图2中,BE⊥A1O,BE⊥OC,从而BE⊥平面A1OC,又BCDE,所以四边形BCDE为平行四边形,所以CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)因为平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,A1O⊥BE,A1O⊂平面A1BE,第十九页，共22页。所以A1O⊥平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.由题图1知