中考数学 第1讲 实数（实数的有关概念和运算）（精练）（解析版）

第1讲：实数（实数的有关概念和运算）（精练）A基础训练B能力提升A基础训练一、单选题1．（2022·重庆文德中学校八年级阶段练习）下列语句中，正确的是（）A．无限小数都是无理数 B．实数与数轴上的点是一一对应的C．无理数分为正无理数、0和负无理数 D．无理数的平方一定是无理数【答案】B【详解】A项，无限小数中，无限循环小数就是有理数，A选项说法错误；B项，实数与数轴上的点是一一对应的，B选项正确；C项，无理数分为正无理数、负无理数，0是有理数；C选项说法错误；A项，无理数的平方一定是无理数说法错误．比如是无理数，的平方是2，不是无理数，D选项错误．故选：B．2．（2022·吉林大学附属中学八年级阶段练习）3的算术平方根是（）A．3 B． C． D．【答案】C【详解】解：3的算术平方根是，故选：C．3．（2022·江苏·射阳县实验初级中学八年级阶段练习）实数2，-3，0.6，，是无理数的为（

）A．2 B．-3 C．0.6 D．【答案】D【详解】解：无理数是指无限不循环的小数，开方开不尽的数就是其中一种，∴是无理数，故选：D．4．（2022·全国·八年级单元测试）如图，数轴上的点M表示的数可能是（

）A．﹣1 B． C．π D．1【答案】B【详解】解：如图，设点表示的数为，则，则数轴上的点表示的数可能是．故选：B．5．（2022·山东·滕州市洪绪镇洪绪中学八年级阶段练习）实数，0，，，，0.1010010001…(相邻两个1之间依次多一个0)中无理数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】解：无理数有，，共2个，故选：B．6．（2022·山东·乐陵市化楼镇化楼中学七年级阶段练习）定义一种新运算，计算的值为（

）A．7 B． C．1 D．4【答案】D【详解】解：∵，∴故选D．7．（2022·山东·枣庄市第十五中学八年级阶段练习）下列运算中错误的有（

）个①

②

③

④

⑤．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【详解】解：①，①错误，②，②错误，③，③错误，④，④正确，⑤，⑤错误，运算错误的有4个故选：A8．（2022·山东·滕州市洪绪镇洪绪中学八年级阶段练习）若x，y为实数，且，则的值为（

）A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】B【详解】解：，，，，，，故选：B．9．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校九年级期中）估算在（

）A．4.8和4.9之间 B．4.9和5.0之间C．5.8和5.9之间 D．5.9和6.0之间【答案】B【详解】解：∵，∴，∴；故选B．10．（2022·广东佛山·八年级阶段练习）若，则估计m的值所在范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵，∴，即，∴，即，∵，∴，故选：B．11．（2022·山西实验中学八年级阶段练习），，则的值为（）A．13.11 B． C．41.47 D．【答案】C【详解】解：∵∴，故选：C．12．（2022·内蒙古·霍林郭勒市第五中学七年级阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．近似数6.9×104是精确到十分位B．将80360精确到千位为8.0×104C．近似数17.8350是精确到0.001D．近似数149.60与1.496×102相同【答案】B【详解】解：A选项，近似数6.9×104是精确到千位，故该选项不符合题意；B选项，将80360精确到千位为8.0×104，故该选项符合题意；C选项，近似数17.8350是精确到0.0001，故该选项不符合题意；D选项，近似数149.60精确到0.01，1.496×102精确到0.1，故该选项不符合题意；故选：B．13．（2022·北京市三帆中学模拟预测）若实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，其中，则正确的结论是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：如图，，，互为相反数，原点在这两个点构成的线段的中点处，A、，，互为相反数，，，，该选项说法错误，不符合题意；B、，，，该选项说法错误，不符合题意；C、，，，该选项说法错误，不符合题意；D、，，，该选项说法正确，符合题意；故选：D．14．（2021·广西桂林·九年级阶段练习）去年的一场疫情让全球经济体的经济总量都发生了翻天覆地的变化，我国管控能力强、经济复苏快，从而在世界经济的比重扩大，其中我国最大的经济体广东和江苏GDP超越巴西和俄罗斯位列世界经济体11和12位，其中广东省GDP总额约16060亿美元，用科学计数法表示16060为（

）．A．0.1606×106 B．1.606×105 C．1.606×104 D．16.06×103【答案】C【详解】解：16060=1.606×104．故选：C．15．（2022·陕西·七年级阶段练习）规定一种新运算：，如，则等于（

）A．－16 B．－12 C．4 D．12【答案】B【详解】解：根据题中的新定义得：原式．故选：B．二、填空题16．（2022·江苏·射阳县实验初级中学八年级阶段练习）如图，在数轴上表示的点可能是点______．【答案】Q【详解】解：∵，∴，∴表示的点可能是点Q．故答案为：Q．17．（2022·河北·石家庄市第四十四中学八年级期中）规定：用符号表示一个不大于实数x的最大整数，例如：，，，（1）__________；（2）若__________．【答案】

1

【详解】解：∵，∴；故答案为1；．18．（2022·上海·上外附中八年级阶段练习）若x，y满足，则的平方根为___________．【答案】【详解】解：∵，∴，解得：，∴，∴，∴的平方根为，∴的平方根为，故答案为：．19．（2022·湖南·测试·编辑教研五八年级阶段练习）圆周率，如果取近似数3.14，它精确到_______位，有_______个有效数字；如果取近似数3.1415926，它精确到_______位，有_____个有效数字．【答案】

百分

三

千万分

八【详解】解：圆周率取近似数3.14，精确到百分位，有三个有效数字；如果取近似数3.1415926，精确到千万分位，有八个有效数字．故答案为：百分，三；千万分，八．20．（2022·福建·厦门双十中学海沧附属学校七年级期末）南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有x，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．例如：已知π，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为；由于3.1404＜π，再由π，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数．现已知，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为_____．【答案】【详解】解：∵，∴利用“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：，∵，∴，∴再利用“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：，故答案为：．三、解答题21．（2022·北京市三帆中学模拟预测）计算：．【答案】【详解】解：．22．（2022·江苏·射阳县实验初级中学八年级阶段练习）计算(1)；(2)．【答案】(1)3(2)0【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．23．（2022·山东·宁津县德清中学七年级期中）计算：(1)；(2)【答案】(1)10；(2)．【详解】（1）；（2）24．（2022·山东·滕州市洪绪镇洪绪中学八年级阶段练习）计算(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）解：===；（2）===；（3）=====；（4）===B能力提升1．（2022·湖南·宁远县嶷山学校七年级阶段练习）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是．例如：，．(1)按照这个规定，请你计算的值；(2)按照这个规定请你计算：当时，求的值．【答案】(1)；(2)．（1）解：；（2）解：，当时，原式．2．（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）如图1，这是一个由27个同样大小的立方体组成的三阶魔方，体积为27．(1)求出这个魔方的棱长：(2)图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长(3)如图2．把图1中的正方形ABCD放到数轴上，使得点A与-1重合，那么点D在数轴上表示的数为______．【答案】(1)3(2)面积为：5，边长为：；(3)（1）设魔方的棱长为，则，解得：；（2）棱长为3，每个小立方体的边长都是1，设正方形的边长为，则解得，∴正方形的面积为，边长为（3）正方形的边长为，点与重合，点在数轴上表示的数为：，故答案为：．3．（2022·河南·郑州市第七十三中学八年级阶段练习）小明同学在学习的过程中，看到北师大版八年级上册数学课本43页有这样一道题目：如图，两个正方形的边长分别是多少？你能借助这个图形解释吗？小明想了想做出如下解答过程：“如图，大正方形的面积为8，则它的边长为；小正方形的面积为2，则小正方形的边长为．借助这个图形，可以得到大正方形的边长是小正方形边长的2倍，即．”老师夸赞小明做得非常好，继续提出一个新的问题：你能设计一个图形解释吗？请你画出相应的图形并借助图形帮助小明解答这个问题．【答案】见解析．【详解】解：如图，大正方形的面积为2，则它的边长为；小正方形的面积为，则小正方形的边长为．借助这个图形，大正方形的面积是小正方形的面积的4倍，∴大正方形的边长是小正方形边长的2倍，即，小正方形的边长是大正方形边长的一半，即4．（2022·江苏·盐城市初级中学八年级期中）二次根式的学习，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与完全平方，不等式等相结合的一些运算，从而更好地指导我们解决生活实际问题．【问题提出】比较与（，）的大小，【问题探究】我们不妨特殊化问题，分别给a、b进行赋值．(1)比较下列各式大小，（填“>”或“<”或“≥”或“≤”或“=”）______；______；______(2)由（1）中各式猜想______（，），当且仅当a______b时，．猜想证明过程如下：=…请补全上述证明过程；(3)【灵活应用】万众一心齐携手，众志成城抗疫情．其中，高速入检处就解决临时隔离问题用48米长的钢丝网靠墙（墙的长度不限）围建了6间相同的矩形隔离房．设每间隔离房的面积为S（米），当每间隔离房的长、宽各为多少时，每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？【答案】(1)>；；=(2)≥，=；证明见解析(3)每间隔离房长为4米，宽为3米时，S的最大值为12平方米．（1）解：，，∵，∴，∴；=9，，∵，∴，∴；=14，，∴=；故答案为：；；=；（2）解：猜想≥（，），当且仅当a=b时，．证明：∵，∴≥；故答案为：≥，=；（3）解：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，依题意得：6x+8y=48，即3x+4y=24，∵3x＞0，4y＞0，∴3x+4y≥2，即24≥2，整理得：xy≤12，即S≤12，∴当3x=4y时Smax=12，此时x=4，y=3，即每间隔离房长为4米，宽为3米时，S的最大值为12平方米．5．（2022·山东烟台·八年级期中）观察下列等式：；；；……(1)【观察猜想】根据以上规律归纳出：①______________．（不填中间式子）②_______________．（不填中间式子）(2)【论证猜想】请证明②这个等式．(3)【拓展运用】根据以上规律，求的值．【答案】(1)①；②(2)证明见解析(3)（1）①；故答案为：．②，故答案为：．（2）证明：左边右边．（3）由题意可知，，，∴．6．（2022·江苏·八年级专题练习）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小