2023届高三数学一轮基础巩固第10章第3节变量间的相关关系与统计案例（含解析）北师大版

PAGE1-【走向高考】2０16届高三数学一轮基础巩固第10章第3节变量间的相关关系与统计案例北师大版一、选择题1．设有一个回归方程为y=2－２.5ｘ，则变量x增加一个单位时,则（）A.y平均增加２．5个单位B.ｙ平均增加2个单位C.y平均减少2．5个单位D．ｙ平均减少2个单位[答案］C［解析]由回归方程的系数b＝－２．5可知,x每增加一个单位，则y平均减少2.5个单位.２.(2０1４·重庆高考)已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数ｅq＼o(ｘ,\s\up6(－))=３，ｅq＼o(y,＼s\up6（-)）=3.5，则由该观测数据算得线性回归方程可能为()A．eｑ\o(y，＼s\up6(＾))=０.4ｘ+2.３ﻩB．eq\o（y，\s\ｕｐ６(^））＝２x－2.４Ｃ.ｅｑ＼o（ｙ,＼s\up6(^))=－2ｘ+9.5 D．eq\ｏ（ｙ,\s\up6(^))=-0.3x＋4.4[答案]A［解析]本题考查了线性回归方程，将点（3，3.5)代入个方程中可知，选项A成立，所以选A，线性回归方程一定经过点(eq\x\to(x)，ｅq\x\ｔo(y)).３．对于事件A和事件B，通过计算得到χ2的观测值χ２≈4.5１4,下列说法正确的是()A.有9９％的把握说事件A和事件B有关B.有95%的把握说事件Ａ和事件B有关C．有9９%的把握说事件A和事件B无关Ｄ．有９5%的把握说事件A和事件B无关[答案]B[解析]由独立性检验知有95%的把握说事件Ａ与Ｂ有关.4．(文）已知某车间加工零件的个数ｘ与所花费时间y(h）之间的线性回归方程为y=0.０1ｘ＋0.５,则加工６0０个零件大约需要__＿______＿h．（)A.6．5ﻩB.5.5C.3．５ D.０.5[答案]A[解析]将x=6０0代入回归方程即得A.(理)工人月工资y(元)依劳动生产率x(千元)变化的回归方程y=５0＋８０x，下列判断正确的是()（1)劳动生产率为1000元时,工资为130元；(2)劳动生产率提高１000元时，则工资提高80元；(3）劳动生产率提高1000元,则工资提高13０元；（4）当月工资为210元时,劳动生产率为2000元．Ａ.（１) B．(2)C.(３)ﻩD.(4)[答案]B[解析]劳动生产率的单位是千元，故应把x＝1(千元)代入，求得y增加８0(元）．5.(201５·临沂模拟)春节期间,“厉行节约,反对浪费”之风悄然吹开,某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动,得到如下的列联表：做不到“光盘”能做到“光盘”男45１０女3０15附:P(K2≥k）0.10０．0５0．０2５k２.7０63.8４15.024K2＝eq＼f(nad－bc２，a+bc+da＋cｂ+ｄ)参照附表,得到的正确结论是()A．在犯错误的概率不超过1％的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C.有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”Ｄ.有9０％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”[答案]C[解析]由公式可计算K2的观测值K２=ｅq\f(nad－bｃ2,a+ｂc+da+cb＋d)＝ｅq＼f(１004５×15－30×102,55×45×75×25)≈3.03>２.706,所以有9０％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”，故选C．6.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用ｘ(万元）４23５销售额ｙ（万元)4926395４根据上表可得回归方程ｅq\o（y,＼s\up６(＾））=ｅｑ\ｏ(ｂ,\s\uｐ6(＾))x＋eq\o(a,\s\up６(＾))中的eｑ\o(b,\s\up６（＾))为9.4，据此模型预报广告费用为６万元时销售额为（)A.6３.6万元ﻩB．65.５万元C.６7.7万元 Ｄ．７２.0万元［答案］B[解析］∵eq\ｏ(x,\s\up6(-)）＝eq\ｆ(4＋2+3＋5,４）=eq\f(7,２)，eq\o(y,＼s\ｕｐ6(－）)=eq\f(４9+2６+39＋５4,4)＝42，又eq\o(ｙ,＼s\uｐ6（^)）=eｑ＼ｏ（b，\ｓ\uｐ６(^))x＋eq\o（a,\s\uｐ6(^）)必过(eｑ\o(x,\s\up6(－)),ｅq\o(y,\s\ｕp6（-）)），∴４２＝eq\f(7,2)×９．4+ｅq\o(ａ,\s＼uｐ6（^))，∴eq\ｏ（ａ，\s\ｕp6(^)）＝9．1.∴线性回归方程为eq＼o(y，\s\uｐ６（＾))=9.4ｘ＋9．１.∴当x=６时,eq\o(y,\s\uｐ6（^）)＝９.4×6＋9．1＝65．5(万元)．[点评］本小题考查了对线性回归方程的理解及应用，求解的关键是明确线性回归方程必过样本中心点(eｑ\o(x,\s\up6（－)),eq＼o(y，\ｓ＼uｐ6(－）)),同时考查计算能力.二、填空题7.有人发现,多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：冷漠不冷漠总计多看电视684２1１0少看电视203８58总计8880168则大约有_＿___＿_＿的把握认为多看电视与人变冷漠有关系．［答案]99．9%[解析]首先算得χ2≈１１.37７，然后查表可得概率．8.某小卖部为了了解热茶销售量ｙ（杯)与气温x（℃)之间的关系，随机统计了某４天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表:气温(℃)1８1310－1杯数2434３８64由表中数据算得线性回归方程eq\o(y,＼s\up６(^）)＝bｘ+ａ中的b≈-2，预测当气温为-5℃时,热茶销售量为__＿＿＿___杯（已知回归系数b=eq\f(\i\su（i＝１,ｎ,x)ｉyｉ-n\x\to(x)＼ｘ＼to(y）,\i\su（ｉ＝１,ｎ,x)\o\ａｌ(２,ｉ)－ｎ＼x＼ｔｏ（x)2),ａ=eｑ＼ｘ\tｏ(y)-bｅｑ\x\ｔo(x））.[答案]７0［解析]根据表格中的数据可求得eq＼x\to（ｘ)=eq\f(１,4)×（18+13＋10－1)＝1０，eq\ｘ\to(y)＝ｅq\f（1,4)×(24＋34+３8+64）=4０(杯).∴a＝ｅｑ＼o(y,＼s\up6(-))－beq\o(ｘ，＼s\up6（-))=40-（－2)×１0＝６0,∴eq\o(y,＼s\ｕp6(＾))＝－２x＋６0，当x=-５时，eq＼ｏ(y,\s\ｕp6（^)）=-2×(－5)+60＝７0(杯).９.某高校“初步统计”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表:专业性别非统计专业统计专业男１310女72０为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到χ2=eq\f(50×１３×20－10×７2,２3×27×20×30）≈4．8４4,因为χ2≥3.841,所以判定主修统计专业与性别有关系,那么这种判断出错的可能性为______＿_.[答案]5％[解析]因为3.８４1<4．844<6.６35,所以有９５%的把握认为主修统计专业与性别有关,这种判断出错的可能性为５%.三、解答题1０.(20１４·新课标Ⅱ)某地区200７年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位：千元）的数据如下表:年份２00７20082０092010201120１220１３年份代号t123４567人均纯收入y２.９3.33.64.44．85.25.9(1)求y关于t的线性回归方程；（2）利用(1)中的回归方程，分析2007年至201３年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区２015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：eq\o（b,\s\up6（^）)＝eq＼f（\ｏ（,\s\up6(n),\s\do4（i=1）)tｉ-＼x\to(t)ｙi－\ｘ\to(ｙ）,＼o(,\s\up6(n）,\s＼do４（i=１))ｔi－\ｘ＼to(t）２),eｑ\ｏ(ａ,＼s\up6(^))＝eｑ\x\ｔo(y)-ｅq\o(b，\ｓ＼uｐ6(^)）eq\ｘ\tｏ(ｔ)[解析](１)由所给数据计算得eq＼x＼ｔo（t)=eq＼f（1，7)(1+2+3＋４+5＋6+７)＝4，eｑ\x＼ｔo(ｙ)=eq\f(１，7)(2.9+3.３＋3．6+４.４+4.8+5．2＋5.９)＝4.３,eｑ\i\ｓu(i=1,7,)（ｔi-eq＼o(t,\s＼ｕp6(-)))２＝9+4＋1＋0＋1+4＋9=28,eq\i\su(i＝1,7,）（ｔｉ－eq＼ｏ（t,＼ｓ\up６(-)))（ｙi-eq\o（y,\s＼up6（－）))＝（-3）×（-１.4)＋(-2)×（-1)+(-1)×(-0.7）+０×0.1+1×0.5＋２×0.９＋3×1.6＝1４，ｅq＼o(b，\s\up6(^)）=eq＼ｆ(\ｉ\sｕ(i=1，7,)ｔi－\o（t,＼s\up6（-））yi-\o（y，\ｓ\uｐ６(-)),\i\ｓu(i=1，7，）ｔi-\ｏ(t,\s\up６(-))2)＝eq＼f(14,28)=0.５,eq\ｏ(a，\s\up6(^）)=eq＼ｏ(ｙ,＼s＼up６（－))-eq＼ｏ(b,＼s\uｐ6(＾)）ｅq\ｏ(t,＼ｓ\ｕp6(-))＝4．3－0.5×4＝2．3,所求回归方程为eq\ｏ（y,\s＼up6(^))＝0．５t＋2.3．（2)由(1)知,ｅq\o(b,\s\ｕp6(＾）)=0．5>0，故200７年至20１3年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加０.5千元．将201５年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得eq＼o(y,\s\up６(＾))＝０.5×９+２.３=６.８,故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.一、选择题1.在第29届奥运会上,中国健儿取得了５１金、21银、28铜的好成绩，稳居世界金牌榜榜首,由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见．有网友为此进行了调查,在参加调查的２548名男性公民中有1５6０名持反对意见,2452名女性公民中有1２00人持反对意见,在运用这些数据说明中国的奖牌是否与中国进入体育强国有无关系时用什么方法最有说服力()A．平均数与方差ﻩB．回归直线方程C.独立性检验ﻩD.概率[答案]Ｃ[解析]由于参加讨论的公民按性别被分成了两组，而且每一组又被分成了两种情况：认为有关与无关，故该资料取自完全随机统计,符合2×2列联表的要求，故用独立性检验最有说服力.2.（201４·江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这４个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表４，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1成绩性别不及格及格总计男6１42０女１02232总计163６５２表２视力性别好差总计男41620女122032总计16365２表3智商性别偏高正常总计男812２0女82432总计16３65２表4阅读量性别丰富不丰富总计男14620女2３０３2总计1６3652A．成绩ﻩB．视力C．智商 D．阅读量[答案]D[解析］A中,K2=eq\ｆ（52×6×22－10×１42,20×３2×16×３６）=eq＼ｆ(13，14４0);B中,K2=ｅq\f（５2×４×20－12×１62,20×3２×１6×３6)=eｑ＼f(637,3６０);C中，K２＝eq＼f(５2×8×24-８×１２2,20×32×16×36)=eq\f(１3，1０)；D中，K2=eｑ\f（5２×14×３0－２×62,２０×32×16×36)=eq\f（3757,1６0）．因此阅读量与性别相关的可能性最大,所以选Ｄ.二、填空题３.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月１号到5号每天打篮球时间x(单位:小时)与当天投篮命中率y之间的关系:时间ｘ12345命中率y0．40.50．60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为＿_＿＿____;用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．[答案]0.５0.53[解析］本题主要考查线性回归方程以及运算求解能力．利用公式求系数利用回归方程统计实际问题.小李这5天的平均投篮命中率ｅq\ｘ＼tｏ(y）=eq＼ｆ(0.4+0.5＋0.6+０．６＋0．4,5）＝0.5，可求得小李这5天的平均打篮球时间eq\ｘ＼to（x）=3.根据表中数据可求得eq＼o（b,\s＼up6(^))=0．01,eq\o(a,＼s\up6（^））＝0．４7，故回归直线方程为eq\o（y,＼s\uｐ６（＾))＝０．４7＋0.０１x，将ｘ＝6代入得６号打6小时篮球的投篮命中率约为０．53.4.某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的作用,把500名使用过血清的人与另外５00名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0:“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用２×2列联表计算得χ2≈3.918，经查临界值表知P(χ2≥３.84１)≈0.0５，则下列结论中，正确结论的序号是__＿_＿___．①有95％的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清,那么他在一年中有95％的可能性得感冒;③这种血清预防感冒的有效率为9５%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.［答案]①[解析］因为χ2≈3.918≥3.841，则P（χ２≥3.814)≈0．05，所以有９５%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”.要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆.三、解答题５．(2０1４·辽宁高考)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示:喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生6020８0北方学生101020合计７030100(1）根据表中数据,问是否有95％的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中２名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.附：χ２＝eq\ｆ(nn１１n12－ｎ1２n212,n1＋n2＋n＋1ｎ＋2).P(χ２>k)0.10０0.0500.０10k２．70６3．84１6．635[解析](1)χ２=eq\f(nn11n２2-n12n\ｏ\ａl(２,21),n1＋ｎ2+n＋1n＋2)=eq\f（1００×6０×10－2０×1０２，7０×３0×80×２０）=eq\ｆ（１0０,21）≈4．7６2．由于4．7６2>３.841.所以有95％的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯有差异.(２）从5名数学系学生中任取３人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={(a1，ａ2，b1),(a1,a2，b2),(a1,a2，b3)，(a１,b1,b2）,(a1，b2,ｂ3)，(ａ1,b1，b3)，(a2,b1,b2),(a２,b2，b３），(ａ2,b1,b３)，（ｂ1，b2，b3）｝，其中aｉ表示喜欢甜品的学生，i=1,2，bｊ表示