大学线性代数作业答案

第一章行列式

1.1二阶、三阶行列式

一、计算下列行列式

cosa—sina

=cos2a+sin2a-\

sinacosa

aab.)「

2、=ab~-ab~=0

bh27

400

19

3、219=4.=4

110

5110

二、解方程

x34

1>—1x0=0

0x1

解：计算行列式得f-4x+3=0,因止匕X=1,X=3

x-100

2、1x3=0

123

x3

解：计算行列式得(x—3=0,得(x—l)(3x—6)=0,因此x=l,x=2

1.2n阶行列式定义及性质

一、计算下列行列式

257257

1、202505707=101-257=0

349349

1031002041031204314

2、199200395=100-1992395=100.-12-5=2000

3013006003013600130

1-1-1100

4

3、212=234==—8

20

11-1120

123

45

4、405=-2-=-2-29=-58

-16

1234

2200

5、将第2、3、4列乘以-1加到第一列得

3030

4004

-8234

0200

=-8-2-3-4=-192

0030

0004

5111

1511

将第2、3、4行全部加到第1行

1151

1115

88881111

15111511

=8-将第1行乘以-1加到第2、3、4行

-11511151

11151115

1111

0400

=8-=512

0040

0004

二、计算下列行列式

-abacae-111

、bd-cdde=abcdef1-11第1行加到第2、3行

bfcf-ef11-1

-111

02

abcdef002-abcdef4abedef

20

020

Xy00

0Xy0

2、按第1列展开

00Xy

y00X

Xy0y00

44

二X0Xy一yXyo=x-y

00X0Xy

00Xy

0Xy0

3、按第4行展开

Xy00

y00x

Oxy00X

=-y・xy0+x0元y=y4-x4

y00xy0

q00

02b0

4、。2按第1行展开

0a«30

00%

a2b200a2b2

J4%004生-b2b3)-一b2b3)

004400

=(qq-4打乂44-b力3)

a2(4+1)2(4+2)2(4+3)2

22

5、b(31)2(b+2)3+3产第1列乘以-1加到第2、3、4列

c2(c+1)2(c+2>(C+3)2

d2(J+l)23+2)2(4+3)2

a22a+\2a+32a+5

b22b+\20+320+5第2列乘以-1加到第3、4列

c22c+l2c+32c+5

d22d+l2d+32d+5

a22a+122

b220+122

=0

c22c+l22

d224+122

计算下列n阶行列式:

ab0…0

0ab•­•0

00a…0按第1列展开

b00•••a

ab--0h0•-0

()a--0Clb•-0

=a+(-=a"+(-l)n+'b"

00・•a00•••b

011­­•1

101•­•1

2s110­••1将第2、3、n行全部加到第1行

111•­•0

n—\72-1n-1•••72—1111…1

101■■■1101…1

110…1110…1第1行乘以-1加到以下各行

111…0111…0

1111

0-100

=(n-l)00-10=(-ir'(«-i)

000-1

111­■­1

1222•■.2'i

3、1332•..3'i范德蒙行列式

1nIV-..〃"T

=[(“-1)(〃-2)…2)(〃-3)…21]••…21

=2"-23n-3…一(〃—2)2(〃—1)

I234

3344

4、已知=-6,计算A+A和A+A42+A43+A44.

1567414241

1122

12341134

134131

33443044I1

解：A+A=]044040=-4=12

4I42567146741

467461

11001000

将上式设为。

1234

3344

AJI++A43+AM=,此式设为3,可直接计算此行列式结果为3,也可按以下

1567

1111

方法来做:

题目中的原行列式设为。

由行列式的性质得:

1234123412341234

3344334433443344

D+D,=+—=2=2£),

1567156715671567

1122110022221111

则：D2=1(D+Z)1)=1(-6+12)=3

三、解下列方程

123x+4

12x+34

1、=0

1x+234

x+1234

123x+4

00X-x

解：第1行乘以-1加到2、3、4行，得=0

0X0一九

X00-x

123x+10

将1、2、3列加到第4列得°0x0

=0

0x00

000

将第2、3行交换，1、4行交换后得上三角形行列式，因此

x3(x+10)=0,因此x=0,x=-10

111

2、23x=0

49x2

解：此行列式是范德蒙行列式，得(3-2)(工一2)(工一3)二0

因此x=2，x=3

111i1111111

-1121251248

3、++二0

114141502512

2

1xx2X3xx2x31Xx~x3

解：由行列式的加法

1111

24§1248

则+二0'

141502512

Xx2丁1Xx2x3

1i11

1248

\o.此行列式为范德蒙行列式

13927

1Xx2x3

W(2-1)(3-1)(3-2)(x-l)(x-2)(x-3)=0

因此x=l,x=2,x=3

1.4克莱姆法则

一、解线性方程组

x+y+z=\

1、＜x+2y+3z=2

x+4y+9z=3

111

解：。=123=(2-l)(3-l)(3-2)=2

149

111111111

D,=223-1,D2=123=4,4=122=-l

349139143

解得x=—,y=2,z=—

22

X|-2*2+%3=—2

2、＜2/+x2-3X3=1

—X]+X?—£=0

1-21

解：。=21-3=-5

-11-1

-2-211

D}=11-3=-5,D2=21-3=-10,2=2

01-1-10-1-1

解得%]=l,x2=2,x3=1

二、求一个二次多项式/(幻,使得/(0)=2,/(1)=3,/(—1)=2.

解：设/(幻=。04尤2，

"0)=2=4°1

＜〃1)=3=4+q+4，解得，4=—

/(-1)=2=。0-。[+的।

+y+z=0

三、已知线性方程组[x+；ly+z=0只有零解，求4的取值范围.

x+y+Az=0

211

解：系数行列式为1A1=矛一32+2=(；1-1)2(4+2)H0,因此2。1,；1。一2

114

x+Ay+z=0

四、设线性方程组，无-y+z=O有非零解，则X应取何值？若线性方程组的右端变为2,3,2,

Ax+y+2z-0

则尤为何值时，新的线性方程组有唯一解？

1A1

解：系数行列式为1-11=九2一彳—2=(4-2)(2+1)

212

则当4=—1,4=2时方程组有非零解；

若线性方程组的右端变为2,3,2,则当；2时方程组有唯一解.

第二章矩阵

2.1矩阵定义及其运算

一、填空题

1、设A为三阶方阵，且|川=4,则(!A)2=

说明：(；A)2=；A2=5|A「=:

2、A2-B2=(A+B)(A—B)的充分必要条件是AB=BA.

二、选择题

1、设48都是〃阶矩阵，则(4+3)2=42+243+82的充分必要条件是(C).

(A)A=/(B)8=0(C)AB=BA(D)A=B

2、设A,6都是〃阶矩阵，则(C).

(A)|A+B|=|A|+|B|(B)AB=BA(C)|AB|=|BA|(D)\A-B\=\A\-\B\

3、设4,8,C为〃阶矩阵，若AB=BA,AC=CA,则ABC等于(C).

(A)ACB(B)CBA(C)BCA(D)CAB

说明：由题意知矩阵5与。不能交换，因此只有(C)正确.

4、设都是〃阶对称矩阵，则下面四个结论中不正确的是(B).

(A)A+8也是对称矩阵

(B)4?也是对称矩阵

(C)A"'+B"'(m为正整数)也是对称矩阵

(D)BA，+48,也是对称矩阵

理由：A8,因此(B)错误.

三、设A=21，/为二阶单位阵，B满足84=8+2/,求冏.

-1211

解：由BA=B+2/得BA—B=21,即3(4—/)=2/,两边取行列式得

|B|-|A-/|=22,而|A—/|=2,因此忸|=2.

-11

0-12

四、1、-1，C=21,求A—B+C;-A+33+2C.

11-3

结果为

2、，求A?+B2,AB-BA,（AB）2.

1603-36624

结果为

5110-32034

5-2120

3、已知A=B=求2A-5B,ABT,BAT.

34-101

25-142-19-9-19-1

结果为

168-7-1-7-9-7

1、

4、计算4=（2,3,-11-1,-1（2,3-1）

1-1

<-1>

23-1

结果为0-2-31

-2-31

5、计算—1（2,3,-1）

If

23-1

k=0;Ik=1;-2-31k>1,0

-2-31

1,,

五、设A=5（8+/）,证明：=4当且仅当8?=/.

证：必要性，已知A?=A,即:（3+/）2=；（8+/）,则B2+23+/=2B+2/,得笈=/.

充分性，已知8?=/,则A2='(B+/)2=LB2+LB+L/=L/+LB+L/=L(8+/)=A,

44244242

因此A?=A.

2.2逆矩阵

一、填空题

1、设A为三阶方阵，且同=2,则|2A[=」,|A*|=4,"*)[=".

说明：弘一1卜23M「=4,W|=||A|A[=|A][A「=4,|(A*)1=|A*/=；

2、设A为3x3矩阵，8为3x3矩阵，14|=1.网=-2.则忸|-8.

说明：忸|A卜忸口川=一8

3、设A为〃x〃矩阵，则IA|WO是A可逆的充分必要条件.

4、已知A2=A,且A可逆，则人=」.

说明：等式两边同时左乘AT

5、A为三阶方阵，其伴随阵为A*,己知|A|=；,则|(3A)T—2A

说明：|(34尸_2A[=|(3A)T_2MA=_"|=1一：]|限=—1|

JJ\JJXtf/

二、选择题

1、若由AB=AC必能推出8=C，其中A,B,C为同阶方阵，则A应满足条件(B)

(A)AHO(B)|ApO(C)A=0(D)|A|=0

2、设A,B均为〃阶方阵，则必有(C)

(A)|A+B|=|A|+|B|(B)AB=BA(C)\AB\=\BA\(D)(A+B)-1=A-1+B-1

三、计算题

1、判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.

<-21、

12

(1)A=可逆,3i

34

<22>

02-1-3-5、

2_

(2)B=12，可逆,111

2

-1-1022J

2、解矩阵方程:

12342-1

X

34-1213

’-21、

12Y'(3始1<2

解:3£

32J10113J

4J<2'L

,-2]、

2f1(1T、1<-127、

X3

13Jlolkl3,历[2-19,

<22

x]+x2+x3=1,

3、利用逆矩阵，解线性方程组42X2+2X3=1,

xx-x2=2.

1_10

111、2

解：系数矩阵为A=022,则*=1-1

-2

1-1

0,-111

，王、2

]_

则X,1

lX3>2

-11

四、设方阵A满足方程A2-2A+4/=0.证明:A+/和A—3/都可逆，并求他们的逆矩阵.

证：(A+/)(A-3/)=A2-2A-31=A2-2A+4I-II=-11

因止匕，A+/和A—3/都可逆，且(A+/)T=—,(4—3/),(A-3I)-'=--(A+/)

77

2.3初等变换与初等矩阵

一、填空题

2008

00f1-1-f1-1-1

010212001221

10011-10101-11

001'100

说明：由于010001

100010

-00]-12008-1-1ooT0091

因此01021012

10oj111;101

二、选择题:

1、设A为”阶可逆矩阵，则(B)

(A)若AB=CB,则A=C；

(B)A总可以经过初等变换化为/；

(C)(AJ).对施行若干次初等变换，当A变为/时，/相应地变为A-、

(D)以上都不对.

说明：(B)为定理，正确；

(A)少条件，若加上矩阵8可逆，才能正确;

(C)将“初等变换”改为“初等行变换”才正确；

aaa

41«I2«131f2l22231F01O-

2、设A—。22。231B=。1300

。31032。33。31+1。32+。12。33+。13001

100

P2=010则必有(C)

101

(A)AP]P2=B(B)AP2P}=B(C)P£A=B(D)P2P,A=B

利用初等变换求矩阵的逆矩阵

-122一-122'

1、21-2,逆矩阵为：21-2

9

2-212-21

-223'-1-4-3'

2、1-10逆矩阵为：1-5-3

-121—64

10001000

2100-2100

3、,逆矩阵为：

32101-210

_432101-21

(0卬0…0

00%•••0

4、・・・••••••,其中，H0,i=1,2,3-,n.

000•••

14

00…07

<0q0…01000、

00。2…00100

将最后1行调整到第1行

000…0010

00•­•00001>

00…0000•••11

0q0…0100・・・0

—>00a2•••0010,••0

00…««-100・,.1

-1、

000000・・,a,

-1•

0i0•••0%00・・0

—>001•••00a~'00

,••

W00…10007

010

三、已知A=200,求(A)

003

010、

A由同二—6,因此(盯'=向

解:由于A4*=|A“，贝200

-冈’6

0037

201

四、已知AB=2A+8,B=040,求矩阵(A—/)T.

202

解法1：由AB=2A+8得：AB-B^2A,即(A—/)8=2A,

此式两边同时左乘(A-/)T,再右乘A-：得(A-/)T=；BAT(1)

再由AB=2A+8得：AB-2A^B,即(8-2/)A=B,

两边同时右乘A-：得(3—2/)=84-1此式与(1)式结合得:

001、

(A-/)-1=l(B-2/)=010

Uooj

解法2：将AB=2A+8变形得

A3—8-2A=0,可得(4一/)8-2A=0,

两边加2/得：(A-I)B-2A+2I=2I,即(A-/)B-2(A—/)=2/,

<001、

则;(A—/)(3—2/)=/,因此(A-/)T=g(B-2/)=010

007

-1-10

五、已知AB=A-28,其中A=-101,求矩阵3.

221

解：由AB=A-2B得：AB+2B=A,即(A+2/)3=A

因此8=(4+2］尸4,

‘1-1O"'Y-31、’96-2、

由A+2/=-121,则(A+2/尸=-5-31,B=(A+27)-,A=107-2

<223JI64-1;、一12-83

0-10

六、设A=100B=pTAP,P为三阶可逆矩阵，求于颂一2A2.

00-1

'000、

解：A?=100100=0-10,则A*=/

00一1八0001,

B2m=(P-'AP)200S(P-'AP)(P-'AP)---(P-,AP)^P-'A2008P^P'1IP

因此，B2m-2A2=I-2-1

2.5矩阵的秩

一、填空题

I、在秩是r的矩阵中，所有的Nr+1阶子式都为0.

-1000"

“2300

2、设A是5x4矩阵，R(A)=3,B=,则H(A8)=3

4560

78910

说明：可逆矩阵与其它矩阵相乘，不改变其它矩阵的秩.

3、从矩阵A中划去一行得到矩阵8,则H(A),H(3)的秩的关系为H(3)WR(A).

k111

1k11

4、设A=I,秩(A)=3,则k=-3

11k

111k

k11

..1A:1I

说明：A=将2、3、4行加到第一行，再从第一行提出公因子女+3

11b1

111%

1111

1k11

=(2+3)]将第1行乘以-1加到以下各行

1k1

111攵

1111

0k-\00

=伏+3)=伏+3)(1)3,

0010

000k-\

因此当2=1或%=—3时，R(A)<4,但％=1时显然R(A)=1,因此％=—3.

123r

2-1k2

5^设A二0113,秩(A)=3,则A=_

1-104

2025

12311231-1231'-1231

2-1k20-5k-6000k-\150113

说明：A=011370113一0113-»00k—115

1-1040-3-3300010001

2025|_0-4-43_00000000

二、求下列矩阵的秩

'100-T■ioo-llp00-1

1、A=3125T012870128,H(A)=3

11350136001-2

3102'-1-12-1-1-12-f-1-12

2、A=1-12-1T3102T04-65T04-65

13-4413-4404-350000

R(A)=2

'61-502'■1-364o--1-3640

1-364061-502019-41-242

3、A=—>—>

235-18235-1809-7-98

-403-50-403-50_0-1227110

-1064-3'-1064-3-

02-41-241902-41-2419

—>—>,R(A)=4

08-7-990015787-67

002711-12002711-12

-1-kr

三、设4=1-1k,1）求|A|；2）求秩（A）（要讨论）.

2k-2k2

1-k11-1k1-1k

解：A=1-1kT1—k1T0-k+11一k

2_||_0

2k-2k22k-2k02-Ik2

则|A|=2伙2-1)=2(k+l)(k-I)2

当左W±1时，R(A)=3；

当k=-1时,R(4)=2；

当％=1时，R(A)=1.

A12-32

四、讨论矩阵的秩A=A2-321-1

储-12-1〃

■i2-32y■12-324

解:A=-321-1储—>08-85矛+3/1

-12-1〃纪04-4〃+223+A

12-32A

->08-85矛+3A

00024T2/1?—A2—A

当4=/且2=0、4=1、4=—■^时,

R(A)=2；

其它情况,R(A)=3.

第三章向量

3.1向量的概念及其运算

1、已知名二(1,-1,0)r,or,=(0,1,1)'',/=(3，0,-2)，,求与—a2，a；+3a；及

3«+2a2-a3.

'1、0

结果：-2[91-5]-1

4

2、己知名二(3,5,7,9),%=(-1,5,2,0),a满足20+3。=%，求a.

结果:————4-6)

3、设2(%-a)+3(%+a)=5(%-a),其中由=(-2,1,3,0),a2=(-1,0,2,1),a3=(0,2,-1,1),

求a.

结果：任士上4

(6363)

4、写出向量a=(-1,1,0,4),4=(3,2,-2,1),e=(0,T5,1),0=(-2,0,4,3)的线性组合，其中:

(1)攵]=1,&=0,&=4,&=—2

(2)ki——\,k2—3,ki—0,k4——2

结果：1)(3-15122)2)(145-14-7)

5、已知向量组

£=(8,3,—11,1=(—1,2,3,1，

r

a2=(3,-l,0),^=(1-1-1/

问：向量4是否可以由向量a,a2,令线性表示？若可以，写出其表达式;

解：设左乡+k2a2+左3a3=B

—&+3k+女3=8

可得方程组：2勺-修-网=3，用克拉默法则可得:

3kl-ky——I

-131831-181

D=2-1-1-kD,=3-1-1=19,4=23-1=-15

30-1-10-13-1-1

-138

D3—2-13=56

30-1

%=-19

■左2=15

k=-56

则向量/可以由向量%,42，/线性表示,

-19a,+15a2-56a3=

3.2线性相关与线性无关

1、判断向量组的线性相关性，并说明原因.

线性相关.包含零向量的向量组都是线性相关的.

,2、(1]

2)a=-4,B=0

口)

线性无关.两个向量线性无关的充要条件是对应分量不成比例.

2、1、3、

4)a=4,/3=-4,/=0

2

线性相关.a+B=y

O'o、，2、「2、

5)a=-1,(3--i,/=i,n=1

oT

线性相关.向量个数大于向量维数，必线性相关.

2、填空题

1)设向量组«,=(1,2,1)。%=(1，0,2)、a3=(-1,-8,k)T线性相关，则k=」

121

说明：102=4—2左=0,则％=2

-1-8k

2)设向量组%=3Qc),。2=(仇。，°),&3=(0,”,方)线性无关，则a,8c必满足关系式abcwO

a0c

说明：bc0=2a/?cw0

0ab

3)若〃维单位向量组与,三,£,可由向量组名,…,a,.线性表示，则r二〃

说明：书72页推论1

3、选择题

1)向量组a2，…,％线性无关的充要条件是(C)

(A)向量组1,a2,中必有两个向量的分量对应不成比例

(B)向量组药,生,…,a”中不含零向量

(C)向量组％,a2,…,％中任意一个向量都不能由其余的〃一1个向量线性表示

(£))存在全为零的数用，&2,使得%0+左2%+，…=6

2)设4=(1,0,0,4),12=(1,2,0,刈),

%=(-1,2,3,43)/4=(一2,1,5,\4)其中4,42,43，儿是任意实数，则(C)

(A)向量组总线性相关

(B)向量组％,12，13，〃4总线性相关

(C)向量组总线性无关

(D)向量组总线性无关

4、已知向量组&1,&2，&3线性无关，证明：

(1)al,al+a2,ai+az+a?线性无关

证明：设攵.+%2(«+。2)+&(«+«2+。3)=0

即&+k2+女3）«+（k2+3a2+k3a3=0,由a「a2,%线性无关

“l+”2+”3=0K=o

得，％2+&=°，即,

&=0,因此%+a?+a?线性无关.

43=0&=0

（2）a,-a2,a2-ava3-ax线性相关

证法1：设K（a1_a2）+%2（a2_a3）+%3（a3_ai）=0

即依一收)«+(氏2-匕)%+(43-无2)%=0,由以］,夕2，43线性无关

K—&=0

得＜&一K=0，当占=网=&。0时方程组成立，因此四一的,a?-a3,a3-«线性相关.

“3—人2=0

证法2：由(4-12)+(%-。3)+(03-«)=0，得«-a2,。?一名，生一a线性相关・

r

5、已知％=(1,2,3)，cc2=(―1,l,4),

[3=（3,3,-21，£=（4,5,5）、

问：向量4能否由向量组a1,12，口3唯一线性表示？

（3）⑶k、—Ie2+3k3—4

解:设用2+匕，1+&3=5即方程组＜2匕+%2+3&=5

V143Z1+4k2—2k§-5

系数行列式O=—12,A=—36,D?=12,D3=0

因此"可由向量组/以2，%唯一线性表示，B=3(X\_a-

3.3向量组的秩

1、填空题

(1)若火(。［,。2，%，&4)=4,则向量组a?是线性无关

说明：由/?(&1,。2，73，&4)=4知&1,12，&3，&4线性无关，线性无关的向量组减少向量个数还

是线性无关.

(2)设向量组(/)的秩为4,向量组(〃)的秩为与，且(/)三(〃)，则4与弓的关系为4=为

2、选择题

(1)若向量组4,心,…,a,是向量组名以2,…,a,a”的极大线性无关组，则论断不F碘的是

(B)

(A)a“可由«,&2,…,火线性表示

(3)/可由%+],%+2,a”线性表示

(C)«可由名,4,…,明线性表示

(D)a“可由%+”％+2,…,线性表示

(2)设“维向量组a”％,…，4的秩r(<s),则(B)

(A)向量组a”4,…，色线性无关

(B)向量组a2,…,%线性相关

(C)存在一个向量?(l<z<7)可以由其余向量线性表示

(D)任一向量都不能由其余向量线性表示

(3)若%,，和%,都是向量组a”处,…,a.的极大线性无关组，则(C)

(A)r=n(B)t=n

(C)r=t(D)rAt

3、求下列向量组的秩(必须有解题过程)

(1)(X,=(1,1,0),Cf2=(0,2,0),dfj=(0,0,3)

110

解：由020=6,得向量组的秩为3.

003

rr2T

(2)a,=(l,l,l),a2=(a,l,l),a3=(l,a,a)(要讨论)

1a1](1a1](1a1、

解：11ci―>0l-aa-1T0l-aa-1

1/J[o

Jl-a/—1,、00a~—a,

当。HO,awl时秩为3；

当a=0时秩为2；

当a=1时秩为1；

4、利用矩阵的初等变换求下列向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组

线性表示.

(1)(x}-(1,2,1,3),a?=(4,—1,-5,—6),oiy=(1,-3,—4,—7)

(in

(141、10——

<141><141>9

5

2-1-30-9-501-八,5

解：—>T9T01-

1-5-40-9-59

000

[3-6-7；、0-18-10,000

000

\v--y、000,

a],a2为极大线性无关组，且a,=-U«+3a2.

99

(2)q=(1,-1,2,4),4=(0,3,1,2),=(3,0,7,14),弓=(1,-2,2,0),=(2,1,5,10)

0312、q0312、'10312、

-i30-21033-1301101

解:T

21725