河南省信阳市潢川县第三中学高三数学理联考试卷含解析

河南省信阳市潢川县第三中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的大致图象为参考答案：D2.在体积为的球内有一个多面体，该多面体的三视图是如图所示的三个斜边都是的等腰直角三角形，则的最小值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B[由多面体的三视图知该多面体是如图所示的三棱锥，，且，当球是这个三棱锥的外接球时其体积最小，将这个三棱锥补成正方体，其外接球的直径就是正方体的对角线，所以，故选B.点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．3.执行如图所示的程序框图，输出S的值为（

）A．10 B.-6C.3 D.-15参考答案：A4.已知是虚数单位，则复数的虚部为

(

)A．

B．

C．

D．1参考答案：C5.设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是（A）当时，（B）当时，（C）当时，（D）当时，参考答案：B6.曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D7.已知命题命题,则下列命题中为真命题的是:（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略8.若集合，，则=（

）A.B．C．D．参考答案：C9.已知曲线与在处切线的斜率的乘积为3，则的值为（

）

A．-2

B．2

C．

D．1参考答案：D10.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值等于(

) A．1 B． C． D．参考答案：C考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=2016时，满足条件k＞2015，退出循环，输出S的值为．解答： 解：执行程序框图，有S=1，k=1不满足条件k＞2015，不满足条件s＜1，S=，k=2不满足条件k＞2015，满足条件s＜1，S=，k=3不满足条件k＞2015，满足条件s＜1，S=，k=4不满足条件k＞2015，满足条件s＜1，S=1，k=5不满足条件k＞2015，不满足条件s＜1，S=，k=6…观察规律可知，S的取值以4为周期，由于2014=503*4+2，故有：k=2014，不满足条件k＞2015，满足条件s＜1，S=，k=2015不满足条件k＞2015，不满足条件s＜1，S=，k=2016满足条件k＞2015，退出循环，输出S的值为，故选：C．点评：本题主要考查了程序框图和算法，其中判断S的取值规律是解题的关键，属于基本知识的考查．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．参考答案：【考点】直线和圆的方程的应用；简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程．【分析】首先把直线和圆的极坐标方程利用两角差的正弦函数的公式代入x=ρcosθ，y=ρsinθ和化简为平面直角坐标系中的直线方程，利用三角函数的基本关系及化简得到圆的一般式方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后即可求出曲线上P到直线l的距离的最大值．【解答】解：∴由得x2+y2=4∴圆心到直线l的距离所以，P到直线l的距离的最大值为d+r=5??12.设，且，则点D的坐标是__________；参考答案：设,则由得，即，解得，即D的坐标是。13.阅读如图21－5所示的程序框图，输出的结果S的值为()图21－5A．0

B．

C．

D．－参考答案：B14.若，则的最小值是_____________。参考答案：

解析：15.命题“存在x∈R,使得x2+2x+5=0”的否定是__________.参考答案：略16.已知函数满足，则=______参考答案：0略17.已知单位向量，的夹角为60°，则__________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（满分12分）设数列的前项和为.已知，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记为数列的前项和，求．参考答案：解：（Ⅰ）由题意，，则当时，.两式相减，得（）.

……………2分又因为，，，……………4分所以数列是以首项为，公比为的等比数列，……5分所以数列的通项公式是（）.

………………6分（Ⅱ）因为，所以，……8分两式相减得，，

………10分整理得，().

………………12分

19.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，，，D、E分别为线段AB、BC上的点，且，.（Ⅰ）求证：DE⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角的余弦值.参考答案：.(Ⅰ)证明：由平面，平面，故由，得为等腰直角三角形，故又，故平面．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，为等腰直角三角形，过作垂直于，易知又已知，故以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则则有，．

设平面的法向量为，则有，可取；因为平面，所以平面的法向量可取．则．而二面角为锐二面角，故其余弦值为．20.选修4-4坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．21.（本小题满分13分）已知函数

．（1）求函数的单调区间；（2）当时，若方程只有一解，求的值；（3）若对所有都有，求的取值范围．

参考答案：（1）由已知得，（1分）当时，，在上是单调增函数．（2分）当时，由，得，在上是单调增函数；由，得，在上是单调减函数．综上可得：当时，的单调增区间是；当时，的单调增区间是，单调减区间是．（4分）（2）由（1）知，当，时，最小，即，由方程只有一解，得，又注意到，所以，解得．（7分）（3）当时，恒成立，即得恒成立，即得恒成立．令（），即当时，恒成立．又，且，当时等号成立．（9分）①当时，，所以在上是增函数，故恒成立．②当时，若，，若，，所以在上是增函数，故恒成立．

（11分）③当时，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数．所以，时，，与时，恒成立矛盾．综上，满足条件的的取值范围是．

(13分)22.（13分）已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值．参考答案：【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系，即可求函数f（x）的最小值；（2）要使f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，则只需求出f（x）的最小值即可得到结论．【解答】解：（1）∵f（x）=ex﹣ax﹣1（a＞0），∴f'（x）=ex﹣a，由f'（x）=ex﹣a=0得x=lna，由f'（x）＞0得，x＞lna，此时函数单调递增，由f'（x）＜0得，x＜lna，此时函数单调递减，即f（x）在x=lna处取得极小值且为最小值，最小值为f（lna）=elna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1．（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，等价为f（x）min≥0，由（1）知，f（x）min=a﹣alna﹣1，设g（a）=