“收尾速度”问题归类分析

第第页“收尾速度”问题归类分析【内容摘要】收尾速度是指物体在多个力的作用下所能达到的最终速度，具有收尾的物体一般处于平衡态。因此我们只抓住物体的运动特征，合理的利用平衡条件，就可求解此类问题。收发问题也是高考常见的考题之一，而且收发问题包含的问题种类较多，本文例析了几种常用情况，并得到了较好的解决。

【关键词】收尾速度传送带机车启动洛化兹力电磁感应

“收尾速度”问题是高中物理中常见的问题，收尾速度是指物体在多个力的作用下所能达到的最终速度，具有收尾的物体一般处于平衡态，因此我们只抓住物体的运动特征，合理的利用平衡条件，就可求解此类问题。本文列举了高中物理中常见的几种“收尾速度”问题，以供参考。

一、传送带上的收尾速度

传送带问题是一直是考试的热点问题，高考中也多次出现。放到传送带上的物体通过物体与传送带间的相互作用最终达到与传送带相同的速度，这就是物体的收发速度。

【例1】如图1所示，皮带始终保持v=3m/s的速度顺时针运转，一个质量为m=1.0kg，初速度为零的小物体放在传送带的左端，若物体与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.15，传送带左右两端的距离s=4.5m。求物体从左端运动到右端的时间。（g=10m/s2）

分析：开始时物体做初速度为零的加速度运动，设物体速度达到v=3m/s，经过的位移为s1，时间为t1

代入数据解得s1=3m

因此2s后物体与传送带一起匀速直线运动，历经时间为t2

二、空中下落物体的收尾速度

由于受空气阻力的作用，物体在空中的下落并不是做自由落体运动。空气阻力与物体的速度有关，速度越大，阻力越大，最终阻力与物体所受的重力相等，物体匀速下落，此时的速度为物体的收尾速度。

【例2】当物体从高空下落时，所受阻力会随物体的速度增大而增大，因此经过下落一段距离后将匀速下落，这个速度称为此物体下落的收尾速度。研究发现，在相同环境条件下，球形物体的收尾速度仅与球的半径和质量有关。下表是某次研究的实验数据：

（1）根据表中的数据，求出B球与C球在达到终极速度时所受阻力之比；

（2）根据表中的数据，归纳出球型物体所受阻力f与球的速度大小及球的半径的关系（写出有关表达式、并求出比例系数）；

（3）现将C号和D号小球用轻质细线连接，若它们在下落时所受阻力与单独下落时的规律相同。让它们同时从足够高的同一高度下落，试求出它们的收尾速度；并判断它们落地的顺序（不需要写出判断理由）。

分析：（1）球在达到终极速度时为平衡状态，有f=mg

则fB：fC=mB：mC代入数据得fB：fC=1：9

（2）由表中A、B球的有关数据可得，阻力与速度成正比；即

由表中B、C球有关数据可得，阻力与球的半径的平方成正比，即

设_________________，代入数据可得：

（3）将C号和D号小球用细线连接后，其收尾速度应满足mCg+mDg=fC+fD

即mCg+mDg=kv（rC2+rD2）代入数据得v=27.2m/s

比较C号和D号小球的质量和半径，可判断C球先落地。

三、机车启动后的收尾速度

机车启动的最大功率不能超过额定功率，随着机车速度的不断增加，牵引力逐渐减小，当牵引力等于机车所受的阻力时，机车将做匀速运动，此时的速度就是收尾速度，其大小_________________。

【例3】在一次抗洪抢险活动中，解放军某部队用直升飞机抢救一重要落水物体，静止在空中的直升飞机上的电动机通过悬绳将物体从离飞机90m处的洪水中吊到机舱里。已知物体的质量为80kg，吊绳的拉力不能超过1200N，电动机的最大输出功率为12kW，为尽快把物体安全救起，操作人员采取的办法是，先让吊绳以最大拉力工作一段时间，而后电动机又以最大功率工作，当物体到达机舱前已达到最大速度。（g取10m/s2）求：

（1）落水物体运动的最大速度；

（2）这一过程所用的时间。

分析：（1）先让吊绳以最大拉力FTm=1200N工作时，物体上升的加速度为a，由牛顿第二定律[1]有：

代入数据得a=5m/s2

当吊绳拉力功率达到电动机最大功率Pm=12kW时，物体速度为υ，由Pm=Tmυ，得υ=10m/s。

物体这段匀加速运动时间t1==

2s，位移s1=1/2at12=10m。

此后功率不变，当吊绳拉力FT=mg时，物体达最大速度：

（2）这段以恒定功率提升物体的时间设为t2，由功能定理有：

代入数据得t2=5.75s，故物体上升的总时间为t=t1+t2=7.75s。

四、洛仑兹力作用下的收尾速度

带电粒子在磁场中运动时受到洛仑兹力的作用，洛仑兹力[2]与粒子的速度有关，加速运动的粒子的洛仑兹力也不断增加，直到达到平衡态，此时的速度为收尾速度。

【例4】如图2所示，在空间存在着水平向右、场强为E的匀强电场，同时存在着竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场。在这个电场、磁场共同存在的区域内有一个质量为m，带电量为+q的金属环。已知金属环与绝缘杆间的动摩擦因数为_________________，且_________________，现将金属环由静止释放，设在运动过程中金属环所带电量不变。试求金属环运动的最大速度。

分析：金属环在电场力和摩擦力的共同作用下由静止开始做加速运动，随着速度的增大，金属环受到的洛仑兹力逐渐增大，杆对环的弹力也逐渐增大，滑动摩擦力也逐渐增大，当滑动摩擦力等于电场力时，金属环将做匀速运动，此时的速度为最大速度，也是金属环的收尾速度，设大小为Vm。

金属环受洛仑兹力_________________，方向垂直纸面向外。

杆对金属环的弹力为：

金属环水平方向平衡，由平衡条件可得：

解得：

五、电磁感应中导体棒的收尾速度

导体在磁场做切割磁感线运动时，回路中会产生感应电流，导体棒会受到安培力的作用，导体的速度越大，感应电流就越大，安培力也越大，导体最终达到一种平衡状态。求解电磁感应中的平衡问题通常有两种方法：受力平衡法和能量法。

【例5】如图3所示，两根相距l平行放置的光滑导电轨道，与水平面倾角均为α轨道间有电阻R，处于磁感应强度为B方向竖直向上的匀强磁场中，一根质量为m、电阻为的金属杆ab，由静止开始沿导电轨道下滑。设下滑中ab杆始终与轨道保持垂直，且接触良好，导电轨道有足够的长度，且电阻不计，求ab杆沿轨道下滑可达到的最终速度。

分析：方法一（平衡法）：当ab杆沿轨道加速下滑至速度υ时，ab杆上的电动势为

则ab杆与导电轨道组成的回路中的电流为I=

而ab杆受到的安培力为

F=BIl=方向水平向右。

当ab杆的速度增大至某一值υm时，ab杆受到的合外力F合恰减为零，此时ab杆的加速度a也减为零，之后ab杆保持速度υm沿轨道匀速下滑。速度υm即是ab杆沿轨道下滑可达到的最终速度。

据共点合力平衡条件，有：

解得：

【例6】如图4所示，水平固定的光滑U形金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一电容为C的电容器（金属框架、金属棒及导线的电阻匀可忽略不计），整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B现给棒ab一个初速度υ0，使棒始终垂直框架并沿框架运动。求金属棒从开始运动到达到稳定状态时电容器的带电量和电容器所储存的能量（不计电路向外界辐射的能量）。

分析：当金属棒ab做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器C将被充电，ab棒中有充电电流存在，ab棒受到安培力的作用而减速，当ab棒以稳定速度v匀速运动时，有：

而对导体棒ab利用动量定理可得：

由上述二式可求得：

六、分解物体运动的收尾速度

以上几种情况是几种常见的有关收尾速度问题，而有些综合性较强的问题往往以上的两种情况结合起来，如：水平和竖直方向的速度都达到稳定的速度，而两个方向的合速度就是物体的收尾速度。

【例7】在广场游玩时，一个小孩将一个充有氢气的气球用细绳系于一个小石块上，并将小石块放置于水平地面上。已知小石块的质量为m1，气球（含球内氢气）的质量为m2，气球体积为V，空气密度为ρ（V和ρ均视作不变量），风沿水平方向吹，风速为υ。已知空气对气球的作用力Ff=kυ（式中k为一已知系数，υ为气球相对空气的速度）。开始时，小石块静止在地面上，如图5所示。

（1）若风速υ在逐渐增大，小孩担心气球会连同小石块一起被吹离地面，试判断是否会出现这一情况，并说明理由；

（2）若细绳突然断开，已知气球飞上天空后，在气球所经过的空间中的风速υ为不变量，求气球能达到的最大速度的大小。

分析：（1）小石块不会被风吹离地面。以气球和小石块组成的系统为研究对象：地面对小石块支持力的大小为_________________恒定，跟风速v无关。

（2）水平方向气球受风力做加速运动，当气球速度等于风速时，两者间无相对运动，气球也不再受风力作用，因此气球的最大水平速度等于风速，即vxm=v。（与传送带上的收尾速度相同）；

竖直方向上，浮力大于重力，气球向上运动，由于气球和空气在竖直有相对运动，气球会受到向下的风力，当竖直方向的合力为零时，竖直分速度最大，即：

解得：

气球能达到的最大速度的大小为：

七、收尾速度的图像描述

图像法是处理物理问题的一种常用方法。物体的速度在达到最终的收尾速度的过程中，速度的变化情况可以用图像的方法形象的描述，图像法的优点在于不仅能表示速度的变化，还能反应出物体运动的加速度的变化情况。

【例8】一小钢球从很深的油槽液面上方由静止下落，若油对球的阻力与其速率成正比，取小球刚进入油中的时刻为t=0，则小球运动的速度-时间图像可能是（）

分析：小球进入油中，受重力和阻力，其动力学方程为_________________，最小球做匀速运动，其速度为__________