第9炼 零点存在的判定与证明

第二章一、基础知识：

第9炼零点存在的判定与证明第炼零点

函数及其性质1、函数的零点：一般的，对于ff的零点。

，我们把方程

fx叫函数02、零点存在性定理：如果函数

f

上的图像是连续不断的一条曲线，并且有

f

，那么函数

f

内必有零点，即

0

，使f得0注：零点存在性定理使用的前提是

f

连续，如果

f

是分段的，那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”与“一定设

f（）

f

，则

f点，但“不一定只有一个零点。要分析

f如果

f”有一个零点（

f

则

f一有零点果

f单调，那么“一定”没有零点（）果

f

，

f

的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。如果

f

f

一定小于05、点与单调性配合可确定函的符号：

f

是一个在

单增连续函数，

xx0

是f

00

f

；

0

f6、判断函数单调性的方法：（）直接判断的几个结论：①若

f

为增（减）函数，则

f

也为增（减）函数②若

f

为减函数；同样，若

f

为增函数

,020,2,121,2121,2,22第二,020,2,121,2121,2,22

第9炼零点存在的判定与证明

函数及其性质③若

f

为增函数，且

f

，则

f

为增函数（）合函数单调性：判断

f

的单调性可分别判断

tg

与

f

的单调性（注意要利用的围求出t的围

t

均为增函数或均为减函数，则

f

单调递增；若

tg

，

f

一增一减，则

单调递减（此规律可简记为“同增异减（）用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的步骤：（）所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（）断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数

f（）析函数

f

考在已知范围内寻找端点函数值异号的区间（）用零点存在性定理证明零点存在例1：函数

f

x

的零点所在的一个区间是（）A.

B.

1

C.

D.

思路：函数

f只代入每个选区间的端点，判断函数值是否异号即可解：

f22

1

，ff

1ee2f答案：f例2：函数

fx的零点所在的大致区间是（）

，使得

f0A.

B.

C.

D.

思路：先能判断出

f利用零点存在性定定理，只需验证选项中区间端

第二章

第9炼零点存在的判定与证明

函数及其性质点函数值的符号即可。

x

时，

，从而

f

，33f，以x22

，使得

f

0

答案：小炼有话说）本题在处理

x

时，是利用对数的性质得到其

ln

的一个趋势，从而确定符号。那么处理零点问题遇到无法计算的点时也要善于估计函数值的取向。（）题在估计出时

后，也可举一个具体的函数值为负数的例子来说明，比如

f

110

。正是在已分析清楚函数趋势的前提下，才能保证快速找到合适的例子。例3（2010，浙江）已

x0

是函数

f

11

的一个零点，若12

，则（）A.C.

f1f1

22

B.D.

f1f1

22思路条给出了

f析

f

为连续的增函数以结合函数性质可得答案：

f1

020例4知函数

fa

当

a3

时数

f零点

0

，则n________思路：由

a

的范围和

f

解析式可判断出

f

为增函数，所以

x0

是唯一的零点。考虑flog34logaaflog2，所以aa

，答案：

2例5：定义方程

f

的实数根

x0

叫做函数

f

的“新驻点，若

的“新驻点”分别为

，则（）

1111第二章1111

第9炼零点存在的判定与证明

函数及其性质A.

B.

C.

D.

思路：可先求出

'

，由“新驻点”的定义可得对应方程为：x1,ln

x

1x

,

3

x

2

，从而构造函数gx

1

3

2

，再利用零点存在性定理判断

的范围即可解：

g,'x

2所以

分别为方程

x

1x

,

3

x

2

的根，即为函数：g1

1x

,

1

3

2

的零点

h1

12

h1'1

2

xx

1

单调增，而

1

，x

时，

1

，而

111答案：

例6数f(x)

的零点与

的零点之差的绝对值不超过

0

，则f(x)可以是（）A．(x)x

．

f(x4)

C．

fx)

x

．

f(x)x)思路：可判断出

单增且连续，所以至多一个零点，但

的零点无法直接求出，而各选项的零点便于求解，所以考虑先解出各选项的零点，再判

的零点所在区间即可解：设各选项的零点分别为

xx,x,x，有x2,xxD

72对于

，可得：

g0

0

第二章

第9炼零点存在的判定与证明

函数及其性质7g=ln2答案：

2

，所以C选符合条件例函

f

g

2

实数a,分是

的零点，则（）

fC.

g

f

f

思路根零点存在定理判出ab的值范围f

，从而

，从而

，所以有b考虑0f

，且发现

f

为增函数。进而答案：A例8：已知定义在

上的函数

f

，求证：

f且零点属于

思路本要证两个要素：一个存在零点个零点唯一。证明零点存在可用零点存在性定理，而要说明唯一，则需要函数的单调性解：

f'

1xxx

'

f

单调递增f

0

，使得

f0因为

f

0

0

，且f0

x

0

则由单调性的性质：

'0

0

与题设矛盾所以

f小炼有话说函

f

f121

2

，

2a202222a2022200

第9炼零点存在的判定与证明

函数及其性质即函数值与自变量一一对应。在解答题中常用这个结论证明零点的唯一性例92011年，天津）已知

，函数

f

2

（

f）（1求

f（）

a

18

时证：在

0

，得

f0

解）

f

2axaxx

令

f

'

解得：

x

12a

f在

1单调递减，在,

单调递增（思路：由（1）可得

f

单调递减，在

单调递增，从而从图像上看必然会在

但由于是证明题解题过程要理有据所以可以考虑将所证等式变为

f

构造函数

g

f

从而只需利用零点存在性定理证明

有零点即可。解：设

g

g

'

'

1得

a

18

时，

f

单调递减

单调递增

f

g1gxlnxx,8

39ln2323100ln232

，因为

ln100g

根据零点存在性定理可得：0

，使得

g

212aaee第二章212aaee即存在

0

，使得

第9炼零点存在的判定与证明f0

函数及其性质小炼有话说证明存在某点的函数值与常数相等时往可以将常数挪至函数的一侧并构造函数，从而将问题转化成为证明函数存在零点的问题。（2）本题在寻找

小于零的点时，先观察

表达式的特点：gx8

，意味着只要

取得足够大，早晚

18

x

2

比

ln

要大的多，所以只需要取较大的自变量便可以找到等也可以。

的点。选择x100也，选择x等例10：已函数

fx

，其中常数

，若

f

有两个零点11

，求证：

1a

xx1思路：若要证零点位于某个区间，则考虑利用零点存在性定理，即证

f

f

且f

，即只需判断

f,f

的符号，可先由

f

存在两个零点判断出的值范围为a而ff

,f

视为关于a的数，再利用函数性质证明均大于零即可。解：

fxaxx令

xlnx

x

lx

设

g

1x

，可得

为增函数且

1,1

0,,ea1aa111第二章0,,ea1aa111

第9炼零点存在的判定与证明

函数及其性质

在

单调递减，在

单调递增所以在

x，x

f

有两个零点

a