代数方程与差方方程模型

代数方程与差方方程模型2023/5/24第一页，共六十七页，编辑于2023年，星期五第六章代数方程与差分方程模型6.6按年龄分组的人口模型6.1投入产出模型6.2CT技术的图像重建6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析6.4市场经济中的蛛网模型6.5减肥计划——节食与运动代数方程与差分方程模型简介2023/5/24第二页，共六十七页，编辑于2023年，星期五代数方程与差分方程模型简介◆代数方程：通常指“整式方程”，即由多项式组成的方程。有时也泛指由未知数的代数式所组成的方程，包括整式方程、分式方程和无理方程。百科名片◆差分方程：含有未知函数差分的方程称为差分方程。

定义1:

含有未知函数不同时期值的函数方程,称为差分方程.一般形式:F(t,yt,yt+1,…,yt+n)=0.yt+1+3yt+yt-1=2t

定义2：含有未知函数差分的方程，称为差分方程。一般形式：F(t,yt,△yt,△2yt,…,△nyt)=0（不用）△3yt-2△yt=3t2023/5/24第三页，共六十七页，编辑于2023年，星期五◆国民经济各个部门之间存在着相互依存和制约关系，每个部门将其他部门的产品或半成品经过加工（投入）变为自己的产品（产出）.◆根据各部门间投入和产出的平衡关系，确定各部门的产出水平以满足社会的需求.◆20世纪30年代由美国经济学家列昂节夫提出和研究.◆从静态扩展到动态，与数量经济分析方法日益融合，应用领域不断扩大.6.1.1背景建立静态投入产出数学模型，讨论具体应用.6.1投入产出模型1973年Nobel经济学奖2023/5/24第四页，共六十七页，编辑于2023年，星期五国民经济各部门间生产和消耗、投入和产出的数量关系产出投入农业工业建筑业运输邮电批零餐饮其他服务外部需求总产出农业464788229131271312842918工业499860514444035571223408316814建筑业593202312426912875运输邮电62527128163671464771570批零餐饮79749140431302739272341其他服务146128527222521954227255414初始投入1663485165970312183093总投入2918168142875157023415414中国2002年投入产出表（产值单位：亿元）6.1投入产出模型6.1.2投入产出表2023/5/24第五页，共六十七页，编辑于2023年，星期五产出投入农业工业建筑业运输邮电批零餐饮其他服务农业0.1590.0470.0800.0080.0540.002工业0.1710.5120.5020.2570.2380.226建筑业0.0020.0010.0010.0130.0100.023运输邮电0.0210.0310.0450.1040.0290.027批零餐饮0.0270.0450.0490.0270.0560.050其他服务0.0500.0760.0950.1430.0940.100一个部门的单位产出对各个部门的直接消耗中国2002年直接消耗系数表

由投入产出表直接得到农业每1亿元产出直接消耗0.159亿元农业产品

直接消耗0.171亿元工业产品反映国民经济各个部门之间的投入产出关系6.1投入产出模型6.1.3直接消耗系数表2023/5/24第六页，共六十七页，编辑于2023年，星期五xi~第i部门的总产出di~对第i部门的外部需求xij~第i部门对第j部门的投入aij~直接消耗系数——第j部门单位产出对第i部门的直接消耗，于是xij~第j部门总产出对第i部门的直接消耗；每个部门的总产出等于总投入，xj~第j部门的总投入设共有n个部门6.1投入产出模型6.1.4投入产出的数学模型2023/5/24第七页，共六十七页，编辑于2023年，星期五技术水平没有明显提高假设直接消耗系数不变

问题1

如果某年对农业、工业、建筑业、运输邮电、批零餐饮和其他服务的外部需求分别为1500,4200,3000,500,950,3000亿元,问这6个部门的总产出分别应为多少？d=(1500,4200,3000,500,950,3000)T

A由直接消耗系数表给出6个部门的总产出x=(3277,17872,3210,1672,2478,5888)（亿元）.求解6.1投入产出模型6.1.5模型应用2023/5/24第八页，共六十七页，编辑于2023年，星期五总产出对外部需求线性Δd~d增加1个单位x的增量若农业的外部需求增加1单位Δx为

的第1列

6个部门的总产出分别增加1.2266，0.5624，0.0075，0.0549，0.0709，0.1325单位.

问题2如果6个部门的外部需求分别增加1个单位,问它们的总产出应分别增加多少？求解其余外部需求增加1单位Δx为

的其余各列

6.1投入产出模型6.1.5模型应用2023/5/24第九页，共六十七页，编辑于2023年，星期五CT(计算机断层成像)技术是20世纪50至70年代由美国科学家科马克和英国科学家豪斯费尔德发明的.1971年第一代供临床应用的CT设备问世.

螺旋式CT机等新型设备被医疗机构普遍采用.CT技术在工业无损探测、资源勘探、生态监测等领域也得到了广泛的应用.什么是CT，它与传统的X射线成像有什么区别？6.2CT技术的图像重建6.2.1背景1979年Nobel医学奖2023/5/24第十页，共六十七页，编辑于2023年，星期五◆几何实例:的图形观察二元函数22yxexyz+-=6.2CT技术的图像重建6.2.1概念图示2023/5/24第十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期五光源人眼光源人眼一个半透明物体嵌入5个不同透明度的球。单方向观察无法确定球的数目(3个5个)和透明度。让物体旋转,从多角度观察能分辨出5个球及各自的透明度。人体内脏胶片传统的X射线成像原理CT技术原理探测器X射线X光管人体内脏图像重建

6.2CT技术的图像重建◆概念图示:2023/5/24第十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期五在不同深度的断面上，从各个角度用探测器接收旋转的X光管发出、穿过人体而使强度衰减的射线;经过测量和计算将人体器官和组织的影像重新构建.6.2CT技术的图像重建◆剖析原理

CT技术成像:

X射线成像:将人体器官和组织前后重叠地直接投影到胶片，呈献出具有一定分辨率、但仍不够清晰的像。2001年全国大学生建模竞赛B题——重建三维血管2023/5/24第十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期五◆射线强度的衰减率与强度成正比.I~射线强度l~物质在射线方向的厚度μ~物质对射线的衰减系数I0~入射强度6.2CT技术的图像重建6.2.2X射线强度衰减与图像重建的数学原理

当X射线的能量一定时，衰减系数m随着射线穿过的材料不同而改变，如骨胳的m比软组织的大。X射线的强度在骨胳中衰减得更快。Beer-Lambert定律2023/5/24第十四页，共六十七页，编辑于2023年，星期五◆射线沿直线L穿行,穿过由不同衰减系数的物质组成的非均匀物体(人体器官).6.2CT技术的图像重建I0LOyxμ(x,y)右端数值可从CT的X光管和探测器的测量数据得到。多条直线L的线积分被积函数μ(x,y)图像重建反映人体器官大小、形状、密度的图像2023/5/24第十五页，共六十七页，编辑于2023年，星期五FQ(q)~与Q相距q的直线L的线积分Pf(L)对所有q的平均值拉东变换拉东逆变换数学原理实际上只能在有限条直线上得到投影(线积分).图像重建在数学方法上的进展，为CT技术在各个领域成功的和不断拓广的应用提供了必要条件.6.2CT技术的图像重建◆1917年奥地利数学家拉东Radon给出以下积分变换的逆变换的表达式，给出了图像重建的理论基础。2023/5/24第十六页，共六十七页，编辑于2023年，星期五Δlj◆每个像素对射线的衰减系数是常数m个像素(j=1,…,m),n束射线(i=1,…,n)~Li的强度测量数据μj~像素j的衰减系数Δlj~射线在像素j中的穿行长度J(Li)~射线Li穿过的像素j的集合像素j

射线Li6.2CT技术的图像重建6.2.3图像重建的代数模型2023/5/24第十七页，共六十七页，编辑于2023年，星期五σjLiσlij◆常用算法设像素的边长和射线的宽度均为σ

中心线法aij~射线Li的中心线在像素j内的长度lij与σ之比.

面积法aij~射线Li的中心线在像素j内的面积sij与σ之比.sij

中心法aij=1~射线Li经过像素j的中心点.6.2CT技术的图像重建2023/5/24第十八页，共六十七页，编辑于2023年，星期五

中心法的简化形式假定射线的宽度为零,间距σaij=1~Li经过像素j内任一点987654321L4L8L7L6L5L3L2L1σ根据A和b,由确定像素的衰减系数向量x

m和n很大且m>n,方程有无穷多解+测量误差和噪声在x和e满足的最优准则下估计x

代数重建技术(ART)6.2CT技术的图像重建2023/5/24第十九页，共六十七页，编辑于2023年，星期五◆原子弹（nuclearweapon）是核武器之一，是利用核反应的光热辐射、冲击波和感生放射性造成杀伤和破坏作用，以及造成大面积放射性污染，阻止对方军事行动以达到战略目的的大杀伤力武器。主要包括裂变武器（第一代核武，通常称为原子弹）和聚变武器（亦称为氢弹，分为两级及三级式）。亦有些还在武器内部放入具有感生放射的轻元素，以增大辐射强度扩大污染，或加强中子放射以杀伤人员（如中子弹）。6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析6.3.1背景2023/5/24第二十页，共六十七页，编辑于2023年，星期五1945年7月16日美国科学家在新墨西哥州的阿拉莫戈多沙漠试爆了全球第一颗原子弹,震惊世界!当时资料是保密的,无法准确估计爆炸的威力.英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开的录像带,利用数学模型估计这次爆炸释放的能量为19.2×103t.后来公布爆炸实际释放的能量为21×103t6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析2023/5/24第二十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期五t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)0.1011.10.8034.21.5044.43.5361.115.0106.50.2419.90.9436.31.6546.03.8062.925.0130.00.3825.41.0838.91.7946.94.0764.334.0145.00.5228.81.2241.01.9348.74.3465.653.0175.00.6631.91.3642.83.2659.04.6167.362.0185.0泰勒测量：时刻t

所对应的“蘑菇云”的半径r爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播,爆炸的能量越大，在一定时刻冲击波传播得越远.冲击波由爆炸形成的“蘑菇云”反映出来.泰勒用量纲分析方法建立数学模型,辅以小型试验,又利用测量数据对爆炸的能量进行估计.6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析6.3.2原子弹爆炸的能量估计2023/5/24第二十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期五物理量的量纲长度

l的量纲记L=[l]质量

m的量纲记M=[m]时间t

的量纲记T=[t]动力学中基本量纲

L,M,T速度v的量纲[v]=LT-1导出量纲加速度a

的量纲[a]=LT-2力f

的量纲[f]=LMT-2引力常数

k

的量纲[k]对无量纲量，[]=1(=L0M0T0)=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则,确定各物理量之间的关系.6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析6.3.3量纲齐次原则2023/5/24第二十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期五量纲齐次原则等式两端的量纲一致量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系.例：单摆运动lmgm求摆动周期t

的表达式设物理量t,m,l,g

之间有关系式1,2,3

为待定系数，为无量纲量(1)的量纲表达式与对比6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析2023/5/24第二十四页，共六十七页，编辑于2023年，星期五对x,y,z的两组测量值x1,y1,z1

和x2,y2,z2,

p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)为什么假设这种形式?设p=f(x,y,z)x,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式为量纲齐次原则单摆运动6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析2023/5/24第二十五页，共六十七页，编辑于2023年，星期五单摆运动中t,m,l,g

的一般表达式y1~y4为待定常数,为无量纲量基本解6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析2023/5/24第二十六页，共六十七页，编辑于2023年，星期五设f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0

与

f(q1,q2,,qm)=0

等价,F未定.是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,,Xn

是基本量纲,nm,q1,q2,,qm

的量纲可表为量纲矩阵记作线性齐次方程组有m-r

个基本解，记作为m-r

个相互独立的无量纲量,且则6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析6.3.4p定理(Buckingham)2023/5/24第二十七页，共六十七页，编辑于2023年，星期五记爆炸能量为E，将“蘑菇云”近似看成一个球形.时刻

t

球的半径为

rt,E空气密度ρ,大气压强P基本量纲：L,M,T

r与哪些因素有关？

rt

E

ρ

P

LMT量纲矩阵

6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析6.3.5原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模2023/5/24第二十八页，共六十七页，编辑于2023年，星期五y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0)

y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)T有2个基本解两个无量纲量6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析2023/5/24第二十九页，共六十七页，编辑于2023年，星期五时间t非常短能量E

非常大泰勒根据一些小型爆炸试验的数据建议用r,t

的实际数据做平均空气密度=1.25(kg/m3)1×103t(TNT能量)=4.184×1012J

E=19.7957(×103t)E=8.2825×1013(J)实际值21×103t6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析6.3.6原子弹爆炸能量估计的数值计算2023/5/24第三十页，共六十七页，编辑于2023年，星期五泰勒的计算tr最小二乘法拟合r=atbE=8.0276×1013

(J),即19.2×103t取y平均值得c=6.9038模型检验b=0.4058~2/56.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析2023/5/24第三十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期五

物理量的选取

基本量纲的选取

基本解的构造

结果的局限性(…)=0中包括哪些物理量是至关重要的.基本量纲个数n;选哪些基本量纲.有目的地构造Ay=0的基本解.

方法的普适性函数F和无量纲量未定.不需要特定的专业知识.6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析6.3.7量纲分析法的评注2023/5/24第三十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期五物理模拟示例：波浪对航船的阻力航船阻力f航船速度v,船体尺寸l,浸没面积s,海水密度,重力加速度g.物理模拟:按照一定的比例尺寸构造它的物理模型,通过对模型的研究得出原型的结果.量纲分析可以指导物理模拟中比例尺寸的确定.6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析6.3.7量纲分析在物理模拟中的应用2023/5/24第三十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期五物理模拟示例：波浪对航船的阻力π定理原型船模型船

模型船的均已知当原型船的给定后计算f物理模拟6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析2023/5/24第三十四页，共六十七页，编辑于2023年，星期五物理模拟示例：波浪对航船的阻力原型船模型船模拟条件量测模型船阻力f'，可计算f.

按一定尺寸比例建造模型船,并调节船速.6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析2023/5/24第三十五页，共六十七页，编辑于2023年，星期五无量纲化示例：火箭发射m1m2xrv0g星球表面竖直发射火箭.初速v,星球半径r,星球表面重力加速度g.研究火箭高度x随时间t

的变化规律.t=0时x=0,火箭质量m1,星球质量m2牛顿第二定律，万有引力定律——3个独立参数6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析2023/5/24第三十六页，共六十七页，编辑于2023年，星期五用无量纲化方法减少独立参数个数[x]=L,[t]=T,[r]=L,[v]=LT-1,[g]=LT-2变量x,t和独立参数r,v,g的量纲用参数r,v,g的组合,分别构造与x,t具有相同量纲的xc,tc

（特征尺度）—无量纲变量如利用新变量将被简化令6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析2023/5/24第三十七页，共六十七页，编辑于2023年，星期五

xc,tc的不同构造1）令为无量纲量用无量纲化方法减少独立参数个数的不同简化结果6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析2023/5/24第三十八页，共六十七页，编辑于2023年，星期五3）令为无量纲量2）令为无量纲量用无量纲化方法减少独立参数个数6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析2023/5/24第三十九页，共六十七页，编辑于2023年，星期五1)2)3)的共同点只含1个参数——无量纲量解1)2)3)的重要差别考察无量纲量在1)2)3)中能否忽略以为因子的项？1)忽略项无解不能忽略项无量纲化方法6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析2023/5/24第四十页，共六十七页，编辑于2023年，星期五2)3)忽略项不能忽略项忽略项1)2)3)的重要差别无量纲化方法6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析2023/5/24第四十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期五火箭发射过程中引力m1g不变即x+rr原问题可以忽略项是原问题的近似解1)2)3)的重要差别无量纲化方法6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析2023/5/24第四十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期五为什么3)能忽略项，得到原问题近似解，而1)2)不能?1）令2）令3）令火箭到达最高点时间为v/g,高度为v2/2g,大体上具有单位尺度项可以忽略项不能忽略无量纲化方法6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析2023/5/24第四十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期五

选择特征尺度的一般讨论见：林家翘著《自然科学中确定性问题的应用数学》无量纲化

无量纲化是研究物理问题常用的数学方法.

选择特征尺度主要依赖于物理知识和经验.

恰当地选择特征尺度可以减少独立参数个数，还可以辅助确定舍弃哪些次要因素.6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析2023/5/24第四十四页，共六十七页，编辑于2023年，星期五蛛网模型（Cobwebmodel)运用弹性原理解释某些生产周期较长的商品在失去均衡时发生的不同波动情况的一种动态分析理论。6.4市场经济中的蛛网模型6.4.1背景2023/5/24第四十五页，共六十七页，编辑于2023年，星期五问题供大于求现象

商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定?

当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定?价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求

描述商品数量与价格的变化规律.商品数量与价格在振荡6.4市场经济中的蛛网模型2023/5/24第四十六页，共六十七页，编辑于2023年，星期五蛛网模型gx0y0P0fxyOxk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格.消费者的需求关系生产者的供应关系减函数增函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,且xk+1=xk+2=…=x0,yk+1=yk+2=…=y0

供应函数6.4市场经济中的蛛网模型2023/5/24第四十七页，共六十七页，编辑于2023年，星期五xyOfgy0x0P0设x1偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点xyOy0x0P0fg曲线斜率蛛网模型6.4市场经济中的蛛网模型2023/5/24第四十八页，共六十七页，编辑于2023年，星期五在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方程模型方程模型与蛛网模型的一致6.4市场经济中的蛛网模型2023/5/24第四十九页，共六十七页，编辑于2023年，星期五~商品数量减少1单位,价格上涨幅度~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量考察,的含义~消费者对需求的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格.经济稳定结果解释6.4市场经济中的蛛网模型2023/5/24第五十页，共六十七页，编辑于2023年，星期五经济不稳定时政府的干预办法1.使尽量小，如=0

以行政手段控制价格不变2.使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xyOy0gfxyOx0gf结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直6.4市场经济中的蛛网模型2023/5/24第五十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期五模型的推广

生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量.生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件6.4市场经济中的蛛网模型2023/5/24第五十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期五方程通解(c1,c2由初始条件确定)1,2~特征根，即方程的根平衡点稳定，即k,xkx0的条件:平衡点稳定条件比原来的条件放宽了!模型的推广6.4市场经济中的蛛网模型2023/5/24第五十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期五背景

多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持.

通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标.分析

体重变化由体内能量守恒破坏引起.

饮食（吸收热量）引起体重增加.

代谢和运动（消耗热量）引起体重减少.

体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5<BMI<25~

正常；BMI>25~超重;BMI>30~肥胖.6.5减肥计划——节食与运动2023/5/24第五十四页，共六十七页，编辑于2023年，星期五模型假设1）体重增加正比于吸收的热量——每8000kcal增加体重1kg；2）代谢引起的体重减少正比于体重——每周每千克体重消耗200

~320kcal

(因人而异),相当于70kg的人每天消耗2000

~3200kcal；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg,

每周吸收热量不要小于10000kcal.6.5减肥计划——节食与运动2023/5/24第五十五页，共六十七页，编辑于2023年，星期五某甲体重100kg，目前每周吸收20000kcal热量，体重维持不变.现欲减肥至75kg.第一阶段：每周减肥1kg，每周吸收热量逐渐减少,直至达到下限（10000kcal）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标.2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划.1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划.减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案.6.5减肥计划——节食与运动2023/5/24第五十六页，共六十七页，编辑于2023年，星期五

确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗20000/100=200kcal基本模型w(k)~第k周(末)体重c(k)~第k周吸收热量~代谢消耗系数(因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收20000kcal,w=100kg不变=1/8000(kg/kcal)6.5减肥计划——节食与运动2023/5/24第五十七页，共六十七页，编辑于2023年，星期五

第一阶段:w(k)每周减1kg,c(k)减至下限10000kcal第一阶段10周,每周减1kg，第10周末体重90kg吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划6.5减肥计划——节食与运动2023/5/24第五十八页，共六十七页，编辑于2023年，星期五

第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75kg1）不运动情况的两阶段减肥计划基本模型6.5减肥计划——节食与运动2023/5/24第五十九页，共六十七页，编辑于2023年，星期五

第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75kg第二阶段19周,每周吸收热量保持10000kcal,体重按减少至75kg.6.5减肥计划——节食与运动2023/5/24第六十页，共六十七页，编辑于2023年，星期五运动t=24(每周跳舞8h或自行车10h),14周即可.2）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热