高考数学函数必备教材

高三数学第一轮复习

函数

讲说人：肖云一、考试内容查看映射、函数、函数的单调性、函数的奇偶性；反函数、互为反函数的函数图象间的关系；指数概念的扩充、有理指数幂的运算性质、指数函数；对数、对数的运算性质、对数函数.函数的应用举例。

二、考试要求

1．了解映射的概念，理解函数的概念(三要素）。

2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。

4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质。

5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质。

6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题

㈠深化对函数概念的认识例1．下列函数中，不存在反函数的是（）

ABCD分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法，此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D中函数不存在反函数．于是决定本题选D．说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键

分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法，此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D中函数不存在反函数．于是决定本题选D．说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键

分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法，此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D中函数不存在反函数．于是决定本题选D．说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键

分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法，此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D中函数不存在反函数．于是决定本题选D．说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键

例2．已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的个数是．（

）A．0B．1C．0或1D．1或2㈡小结确定函数三要素的基本类型与常用方法

§1函数的定义域2、求函数的定义域的主要依据是：①分式的分母不为0；②偶次方根的被开方数非负；③对数的真数大于0；④指数、对数函数的底数大于0且不等于1；⑤指数为0或负数时，底数不为0；⑥实际问题的函数除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑有实际意义。1、函数的定义域是指自变量的取值范围。3、如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集。4、已知f(x)的定义域为D，求f[g(x)]的定义域时，可令g(x)∈D解得x的范围C，即为f[g(x)]的定义域；已知f[g(x)]的定义域为D，求f(x)定义域时，可先由x∈D，求出g(x)的范围C，即为f(x)定义域。§2函数的值域函数的值域就是在对应法则f的作用下，自变量x的值对应的y值的集合。〖方法小结〗1、求函数值域的常用方法有：①配方法：求形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数值域问题,要注意f(x)的取值范围对值域的影响.②真分式法:分式函数f(x)=形函数的值域，如f(x)=转化为f(x)=1－求值域;2x＋12x＋3ax＋bcx＋d5x＋3③反函数法:分式函数f(x)=形函数的值域，均可使用反函数法.ax＋bcx＋d④判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根,判别式Δ≥0,从而求得原函数的值域.形如y=(a1,a2不同时为0)的函数的值域常用此法但要注意函数的定义域不是R时还需要用二次方程根的分布来求解.a1x2+b1x+c2a2x2+b2x+c2⑤单调性法:利用函数在其定义域或定义域的子集上的单调性求出函数的值域.⑥换元法:运用代数或三角代换,将所给函数化成值域容易求出的另一类函数⑧不等式法:利用基本不等式求函数值域,但要注意其使用的条件“一正、二定、三相等”。⑦数形结合法:利用函数所表示的几何意义或函数图象,借助于几何方法求出函数值域.3、求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己积累经验，掌握规律。2、求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。4、二次函数在区间[m，n]上的最值一般分<m，m≤≤n和＞n三种情况进行讨论。－b2a－b2a－b2a例3．已赴知解此奏类问手题，刘在于册找规攻律，婚寻求蔬简洁撇的求馋解，阶且莫路先将x值代堆入，街再求控和；注否则弦将浪房诚费宝筝贵时污间例4．已知f(x+199)=4x＋4x+3(x∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．分析：由f(伟x＋19行9)的解炒析式深求f(孟x)的解匆析式敬运算演量较岂大，慎但这五里我惕们注疾意到党，y=塌f(威x＋19炉9)与y=械f(搁x)，其图利象仅羡是左劫右平仅移关梯系，平它们崇的最仓值是休一样自的。谊求得f(造x)的最链小值驼即f(恼x＋19喝9)的最促小值北是2例5已知躲函数f(历x)定义婆域为(0，2)，求函经数跪的逮定义辉域定义域为例6．例6．例7．求m,n?[2宁,彩4烫]实数余，求k的范团围?例8．实数散，求m的范萝围?例9．(三)函拐数的设性质及应共用§1抢函竟数的长单调雁性1、言定义篮：设劣函数f(缴x)的定生义域既为I：如果倾对于坝属于场定义刑域内撞某个培区间峡上的驾任意挡两个增自变红量x1、x2，当x1＜x2时，蓬都有f(竖x1)促＜f烧(x2)禽（览f(兰x1)播＞f断(x2)医），那么谢就说f(任x)在这估个区漠间上梢是增含（减谎）函露数。2、击函数引的单急调性韵必须汇在定叠义域钉内进般行，候在定宋义域篮内的命不同金区间枪上可己能有希不同术的单艘调性例，因灿此必散须说顺明在雀哪个使区间抗上递珍增或剃递减尚。〖方修法小德结〗1、钳根据内定义爽证明碧函数笋单调深性的命方法钓：①设x1、x2∈A依，且设x1＜x2；②作差煮：f(来x1)－戏f(牢x2)，并变饶形（寻分解惕、配晓方、班通分涉等）特；③基判断忠差的轮符号艰，并壤作结素论。2、桨根据晌导数欲判断犁函数网单调宝性的末方法池：已知翻函数y=刃f(欧x)（1苍）分叨析y=旋f(强x)的定拼义域晃；（释2）鞋求导披数y´=f´(x悠)（3纹）解年不等年式f´(x吐)>0篇，解膜集在叨定义毯域内票的部怀分为券增区资间（4利）解织不等蹦式f´(x索)<0挤，左解集疤在定结义域泉内的怒部分坐为减诉区间3、犬复合嚼函数槽单调圣性的挺判断赛方法都：设y=诱f(视u)版，u控=g括(x羡)，宇x∈痕(a丘,b象),英u∈告(m桶,n糟)，都是阅单调瞎函数伏，则y=糕f(百g(产x)缎)在[a,爽b]上也设是单撤调函咳数。劫若y=缩慧f(符u)是(m污,碎n)上的法增（葱减）套函数怎，则y=泼f(攀g(赴x)延)的增秀减性蠢与u=诸g(种x)的增减址性相贵同（陵相反备）。鼓也可寻概括余为“剖同增违、同叮减为太增，腊一增运一减僵为减声”。§2函数略的奇岁偶性1、裳定义监：如冠果对迈于函升数f(猎x)的定耕义域档内的血任一薪个x,都有f(章－x灶)=姐f蕉(x嚷)(或f(锋－x毯)=织－坑f(扇x)摩），那么f(塑x)是偶舱函数拨（或投奇函爬数）都。2、躬图象董特征旬：奇娇函数弱的图击象关做于原璃点对浅称；速偶函馆数的个图象列关于y轴对术称。3、奇奇偶条函数裹的定爬义域奔一定行关于爹原点掀对称慨。4、谣函数禽可分峡为：牙奇函拘数、冶偶函小数、新非奇晶非偶司函数至、既槐是奇勿函数阻又是访偶函括数（f(汽x)拍=妇0特）。5旨.搏复合习函数意奇偶我性规骄律若函纵数g(伞x)障，f锦(x旨)，矛f[维g(轻x)椒]的定贱义域木都是考关于叮原点宇对称让的，报则u=砖g(跑x)馋，y驶=f越(u葬)都是喘奇函擦数时勺，y=累f[卷g(田x)凉]是奇画函数咐；u=野g(躁x)茫，y滚=f霜(u密)都是状偶函叉数，晋或者鼠一奇指一偶斤时，y=沫f胸[g旋(x慎)]是偶灰函数例1函数y=log(x2-2x+3)的定义域为_____值域为_____，单调增区间为______，减区间为______。解：x2-2x+3>0∴x∈Rx2-2x+3=(x-1)2+2≥2

∴y=log(x2-2x+3)≤-1单调增区间为（-∞,1]，减区间为[1,+∞）例2、求函数的单调区间

例3．若y=膨lo剧g(蔑2-废ax韵)在［事0，汁1］隔上是x的减等函数娘，则a的取沫值范大围是旋（邻）A．享(0研，1绕)沟B妖．(啄1，峰2)C．芒(0页，2导)穗D阻．[病2，株+∞摩)分析哲：本计题必逝须保孟证：①使lo来g(滤2-派ax握)有意狱义，术即a＞域0且a≠乔1，仆2-烧ax龄＞0僻．②使lo思g(航2-泡ax心)在[熔0，顿1]根上是x的减辞函数蒸．由绵于所谅给函撇数可逃分解营为y=lo窄gu，u芝=2鹿-a寸x，其中u=芽2-剑ax在a＞吴0时为栗减函滑数，浓所以心必须a＞购1；字③[脑0，歪1]必须土是y=娘lo鱼g(遵2-锐ax魄)定义造域的宏子集例4．若y=端ax狗+l阀nx3在（呜0，叶1］磨上是x的增星函数肤，求a的取栽值范为围例5．求函胡数y=替ax投+l殖nx3在(捷0,剂1]菠上的蹄最大惩值？例6燥．设a>徒0，是上潜的偶碑函数岔。（I）求a的值腥；（II贤）证明f(峡x)在R上是捏增函肃数。例7升已知愧函数f(t)满足著对任拴意实根数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y出)+xy+1殊,且f(－浑2)离=－居2.求f(1访)的值(四)代数谈推理讨题为求f(1)的值，需令令令

例8厦已知疯函数f（贺x）在（年－1甚，1攻）上掉有定直义，且满漏足x、宁y∈也（－兄1，仰1）有证明勿：f（校x）在（婚－1忙，1坏）上往为奇围函数例9唯已知颂函数y=f(x)旬(x0认)满足缴对任河意非贩零实零数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y博)1、仓求证f(1教)＝壤f(到-1腾)=纽奉02、警求证y=f(x)是偶函励数3、律若y=f(x)在（改0，故＋）睛上是纪增函垦数解不膜等式f(品x)格+f影(x云-1棉/2依)筐0单元测试一、单选题1）若指数函数y=f(x)反函数的图像过点(2,-1)，则此指数函数是（）(A)y=()x(B)y=2x(C)y=3x(D)y=10x2）若f(x)=，则f()=-的解为（）（A）2（B）-2（C）±2（D）±13）若函数y=f(x)的定义域是[-2,2]，则函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域是（）(A)[-4,2](B)[-2,2](C)[-2,4](D)[-4,-2]4）设集合A和B都是坐标平面上的点集|(x,y)|x∈R,y∈R|，映射f:A→B把A中的元素(x,y)映射成B中的元素(x+y,x-y)，则在映射下，象(2,1)的原象是（）(A)(3,1)(B)(,)(C)(,-)(D)(1,3)5）函数y=f(x)的定义域和值域都是(-∞,0),那么函数y=f(-x)的图像一定位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限6）如果0<a<1,0<x2<x1，则下列各式中正确的是（）（A）1<ax2<ax1（B）ax1<ax2<1（C）ax2<ax1<1（D）ax1<1<ax27）若函数f(x-1)是偶函数，则函数f(x)()(A)以x=1为对称轴(B)以x=-1为对称轴(C)以y轴为对称轴(D)不具有对称性8）已知f(x)=asinx+b+4(a,b∈R)，且f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（）（A）-5（B）5（C）-3（D）39）已知饲函数f(倘x)栽，(忧x∈R)满足尽：(1贺)f(笼1+俘x)卖=f盖(1凳-x疫)；必(2寇)在[霸1,广+∞)上为璃增函欲数；(3富)x1<0煤,x2>0码，且x1+x2<-箱2，则f(烘-x1)与f(谦-x2)的大芬小关杯系是梁（）(A)夹f轮(-奸x1)>知f(隙-x2)架(盏B)著f店(-依x1)=纪f(帝-x2)(C售)赏f(产-x1)<脾f(华-x2)鲜(吩D)无法壳确定10）若f(仿x)为奇漫函数糕，且弃在(-∞,0尾)内是锻增函避数，妹又f(辟-2枕)=吸0，则x·言f(云x)割<0的解刚集为与（）(A)暑(穿-2艺,0丢)∪(0血,2喂)茅(赢B)晓(恢-∞,-欣2)∪(2打,+∞)(C惠)广(-∞,-锋2)∪(2忘,+∞)但(洞D)轧(齐-2窜,0艳)∪(2相,+∞)11）若f(傍x)悲,g反(x既)均为餐奇函咱数，时且F(蛾x)堆=a骂f(殖x)嘴+b铃g(霞x)类+1在(己0,课+∞)上有古最大该值4，则F(骡x)在(咱-∞,0额)上有董最小志值（思）（A）颜-4灵（B野）-臣2（孟C）雾-1阿（D刊）312语）定义鄙在R上的掌函数y=历f(计x)有反侨函数监，则插函数y=拴f(证x+腔a)抚+b的图皂像与y=胜f-1(x甚+a盟)+胁b的图疮像间收的关都系是胜（）(A)关于陷直线y=饶x+幼a+如b对称(B)关于峡直线x=周y+穷a+五b对称(C)关于蔽直线y=白x+尝a-腾b对称(D)关于弃直线x=乌y+没a-拍b对称二、填空题13）已知函数f(x)=ax2+b(x<0)的图像过点(-2,11),f(x)的图像过点(2,-1)，则a=___，b=___。14）已知logx3<logy3<0，则0,1,x,y之间的大小关系是_________。15）已知0<a<1，则方程a|x|=|logx|。实根的个数是____个。16）设函数g(x)=是奇函数，则a=__。三、滨解答浊题17）设f(倦x)是R上的叫偶函稍数,且在抵区间(-∞,0年)上递斯增，贪若有f(间2a2+a芬+1尖)<立f(舅3a2-2未a+振1)造，求a的取仁值范筋围。解：∵2a2+a营+1俊>03a2-2皇a+册1>再0∴2a2+a上+1话>3测a2-2僻a+答1a2-3统a<包0膝0<蛮a<脊318）已知常数a>1，变数x,y之间有关系式：logax+3logxa-logxy=3。（1）若x=at(t≠0)，试求以a,t表示y的表达式；（2）若t的变化范围为[1,+∞)此时y的最小值为8，求a和x值。解：（1）logax+3logxa-logxy=3

∴=logax+-3

∴logay=loga2x-3logax+3y=a=a（2）当t=时y小=a=8

∴a=8=16此时x=16=6419）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx，其中a,b,c满足a>b>c,a+b+c=0（1）求证：两函数的图像交于不同的两点A，B；（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围。解：(1)y=ax2+bx+c∴ax2+bx+c=-3xy=-bxax2+2bx+c=0①△=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4[(a+)2+c2]∵a>b>ca+b+c=0∴a>0c<0∴△>0∴两函数图象交于两个不同点。（2）设方程两个根分别为x1,x2则x1+x2=-x1x2=|A1B1|2=(x1+x2)2-4x1x2=(-)2-===4a>b>ca+b+c=0∴a>0c<0a>-a-c>c

∈(-2,-)∴|A1B1|2∈(3,12)<|A1B1|<220）如图所示，铁路线上AB段长100千米，工厂C到铁路的距离CA为20千米，现在要在AB上某一点D处，向C修一条公路，已知铁路与公路的每吨千米的运费之比为3:5，为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最省。D点应选在何处？解：设|AD|=x铁路上每吨千米运费为3k，公路为5k。总运费y=5k+3k(100-x)(0≤x≤100)∴=5-3xADBC令=t∴(t+3x)2=25(x2+400)∴16x2-6tx+10000-t=0

△=36t2-4×16(10000-t)≥0∴t≥80当t=80时x=15时，即D取在距A15千米处，总运费量省。法2设∠ACD=a则总运费量y=3(100-20tana)+5×=300+()小=此时tana=∴AD=15（千米）21）已知结函数f(喂x)挣=3x且f-1(1楼8)乒=a鞠+2峡，g嗓(x然)=喷3ax-4x的定误义域碌为区