圆锥曲线分项复习题(有答案)

4为()A.4B.64C.20D.不确定答案:C2.过椭圆+=1(a>b>0)的焦点F(c,0)的弦中最短弦长是()2b22a22c22c2A.B.C.D.abab答案:A心率为2A．3答案:DB.B222C.C12(D.2 3x2x4.过原点的直线l与曲线C:+y2=1相交,若直线l被曲线C所截得的线段长不大于36,则直线l的倾斜角a的取值围是()66633344答案:D解析:用弦长公式5.如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线AB与BF交于D,且三BDB=90o,则椭圆11的离心率为()A3一12B2C2D332案:B解析:B22C2222C构造二次函数.ab2不同的交点,则椭圆的离心率e的取值围是()53A(,)25B(,)5523C(,)555D(0,)5答案:A解析:解齐次不等式:b<+c<a,变形两边平方.2(A(1,+∞)B(2,+w)C(1,2)D(1,2]答案:D转化为三角函数问题.121221解析:正弦定理、合比定理、更比定理.943为钝角时,点P横坐标的取值围是一<x<5F,F,点P为其上的动点,当三FPF1235解析:焦半径公式.54解析:略.122112解析:同填空(1)13.已知圆柱底面直径为2R,一个与底面成30o角的平面截这个圆柱,截面边界为椭圆,则此1椭圆离心率为2233解析:求a,b2acos30o=2R,：a=R,b=R,c=R33 解析:三角代换.3316.设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=.已知点P(0,)到这个椭圆上的22点的最远距离为7,求这个椭圆方程.aba222232222x4Pxyy+1)2=1,点P的对应点Q(x,y)002000122112xx212112k2k23(2+1)3x2x13k2k2x2x1综上:入=[,+)21222且倾斜角为a,则PF+QFPQ的值为11(A.42B.8C.22D.随a的大小变化案:A解析:用双曲线定义列方程可解xy22=0的右焦点作直线l交曲线于A、B两点,若AB=4则这样的直线存在()D答案:D过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条.1xxy23.直线y=x+5与曲线+=1的交点个数是()3925答案:D直线必与每个曲线交于两点.ab11位置关系为()A.切B.外切C.切或外切D.无公共点或相交.答案:C解析:用两圆切或外切的条件判断m3A.2答案:C31B.C.1D.22m几6.设9仁(0,),则二次曲线x2cot9一y2tan9=1的离心率的取值围是()41A.(0,)2B.(,)2答案:C2412xPFF()A.1B.B552C.2D.D55答案:A解析:勾股定理,双曲线定义联立方程组.412x()1A.0B.1C.D.22答案:A112305解析:不妨设x,y>0,由.2c.y=1：y=,P(,)pp2pp55523052305 3解析:略910.双曲线两条渐进线方程为4x士3y=0,一条准线方程为x=,则双曲线方程为53(0,b)两点.已知原点到直线l的距离为c,则双曲线的离心率为24圆在点A的切线与双曲线的一条渐进线平行,则双曲线的方程为16x2一y2=255 解析:用判别式和韦达定理解析:列方程组解.15.以圆锥曲线的焦点弦AB为直径作圆,与相应准线l有两个不同的交点,求证:①这圆锥曲线一定是双曲线;②对于同一双曲线,l截得圆弧的度数为定值.解:①如图:QH」ST,解:①如图:QH」ST,=+=eeeQH2QHAA+BB1②cos三SQH===11=为定值QS2QFABe所以弧ST的度数为定值.rr2cr一ra+b22334y解:如图建系:设双曲线方程为:一=1c则B(c,0),C(,h),A(-c,0)2Q1.过点(0,2)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有()ABCD答案:C解析:相切与相交均能产生一个公共点.2.一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分,它的方程为x2=2y(0y20),在杯放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部,则玻璃球的半径r的围为()A.0<r1B.0r<1C.0<r1D.0<r<2答案:C解析:设圆心A(0,t),抛物线上的点为P(x,y),列出是a 2p2答案:D4.直线l过抛物线y2=a(x+1)(a>0)的焦点,并且与x轴垂直,若l被抛物线截得的线段长为4,则a=()11A.4B.2C.D.42答案:A解析:所截线段长恰为通径a=4pq(14A.2aB.C.4aD.2aa答案:C置,令焦点弦PQ平行于x轴,ypxp和它的准线交于E点,经过焦点F的直线交抛物线于P、答案:CkPEQEBPPQQ()答案:D解析:均值不等式1AOB.60OC.90OD.120O答案:答案:Cy2p解析:如图,FA=(1一,y),2p21y2pFB=(2一,y),因为A、F、B三点共线2p221p1py2y一y=yy2一y,：yy=一p22p12222p1221129.一动点到y轴距离比到点(2,0)的距离小2,则此动点的轨迹方程为解析:用抛物线定义.Q解析:考虑两种可能.42米解析:坐标法+=1的中心为顶点,以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点,则AB=3解析:略(2p,0)14.抛物线y2=x的焦点弦AB,求OA•OB的值.1212412124xBCBPBBB、C在x轴上的射影分别为B,C,P是线段BC上的点,且适合=1,求编POA11PCCC1解析:解析:设B(x,y),C(x,y),P(x,y),Q(x,y)112200y+y1.yy=1y22=2y1y2y212BPBBy2lyk(x_2)00k2_4kk_4---①又y0=k代入①式得y=4x+4-----------------------------------------②x_2000(x+2|x=03(x=3x_2由〈得〈0代入②式得:12x_3y_4=0由编>0得k<4_26或k>4+26,又由①式知y关于k是减函数且y士1200033033(4_46<y<4+46且y士4)33①求抛物线方程;解析:①设A(x,y),B(x,y),AB中点M(x,y)1122001202ylylypx12120kp所以M(4_p,p)依题意k.k=_1,：p=42k4_p_612S12SyyABS42008xyxy②由M(2,y)及k=,0ly41l:yy=(x2)令y=0得x=2y2AB0yK4004又由y2=8x和l:yy=(x2)得:y22yy+2y216=0AB0y00012212400()3=639A.y2=8xB.y2=8x(x>0)和y=0C.x2=8y(y>0)D.x2=8y(y>0)和x=0(y<0)答案:DA.y2=16(x-5)B.x2=16(y-5)C.x2=-16(y-5)D.y2=-16(x-5)答案:D33P().24242929答案:A333A(0,3y),B(x,0),又AB=3,由距离公式即得.2A.心B.外心C.重心D.垂心答案:C1211221212轨迹是().A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.线段答案:D解析:PF+PF=FF=2,作图可知点P的轨迹为线段.1212A.圆B.抛物线的一部分C.椭圆D.双曲线的一部分案:B1满足sinA一sinB=sinC,则顶点C的轨迹方程是().2412412答案:C1解析:A(一4,0),B(4,0),：a+b=c=8,点C的轨迹是以A、B为焦点长轴长为82A.抛物线B.直线C.圆D.线段案:B24151244是.9y2答案:3x2+=1(x0)4233代入+=1即得,再注意三角形三顶点不共线.3494是.94解析:设C(x,y),点C到l,l距离分别为,,5555,55,xxxyA(-1,0),B(1,0),且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点的轨迹方程是.4311111方程.y解:设圆心为M(x,y),B(x,y),则A(2x,0),C(x,y+R),oOA=CB000000003020092009几,已知线段AB在直线x=2上移动,O为原点.三AOB=9(9=(0,)),动2几(Ⅱ)当9=时,动点P的轨迹与直线OA交于C,D两点(点C在点D的下方),4PNPNx一2cos9==：cos9=又ox想2：x共,inPsinxcosyx几(Ⅱ)当9=时,动点P的轨迹方程为:(x一4)2一y2=8(x共4一22)4228xx=^^(*),81因点C在点D的下方,知:k=7不合题意,舍去.N4MN的长为()(A)13(B)8(C)16(D)82yy(目的：掌握抛物线的焦点弦长的求法)【解析】由条件，过焦点的直线为y=x1代入抛物线方程，并由抛物线的定义求得122且边平行于坐标轴的正方形部，那么m的取值围是()(目的：利用不等式判断直线与双曲线的交点的位置)m1【解析】将直线xy1=0代入双曲线x2y2=m求得y=，则有2222(目的：掌握直线与双曲线交点的特殊性-----与其渐近线的关系)y2y【解析】设过点A(0,2)的直线为y=kx+2代入双曲线x2=1，求出有一个解的k的4值。或讨论k与渐进线的斜率的关系。ABp=p(目的：利用定义理解抛物线的焦点弦的特殊性质)126．椭圆x2+4y2=4长轴上的一个顶点为A，以A为直角顶点作一个接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是。(目的：椭圆的对称性在解题中的运用)【答案】(1)由|ly=-x2+ax+2(1)由|ly=-x2+ax+2B5C5VABC255252(1)求证：抛物线与直线相交；(2)求当抛物线的顶点在直线的下方时，a的取值围；(3)当a在(2)的取值围时，求抛物线截直线所得弦长的最小值。线相交弦长等问题)【解析】：直线与抛物线总相交。2242442(2)设直线与抛物线的交点为A(x,y),B(x,y)，1122则218．已知中心在原点，顶点A,A在x轴上，离心率为的双曲线经过点P(6,6)123(I)求双曲线的方程；II动直线l经过编APA的重心G，与双曲线交于不同的两点M,N，问是否存在直12线l使G平分线段MN。试证明你的结论。【解析】x2y221 (I)设所求的双曲线方程为-=1Qe=且双曲线经过点P(6,6)，所以a2b23x2y2所求所求的双曲线方程为-=1。91212假设存在直线l使G(2,2)平分线段MN,设M,N的坐标分别为(x,y),(x,y)1122(2)得(2)得 2212(x2-x2)=9(y2-y2)(x+x)(x-x)=9(y+y)(y-y)121212121212221212x-x3MN1443||a2b2(目的：利用向量的观点和方程的思想，求直线与圆锥曲线的方程及有关性质)【解析】122(y=x+m(x+x=2m则〈亭x2-2mx-m2-2a2=0：〈12........(1)l2x2-y2=2a2lxx=-m2-2a212又因为OP•OQ=-3,PQ=4RQ,12121212(x-x=4x(x=-3x2122121y2y所以，所求的直线与双曲线方程分别是y=x士1,x2-=12圆锥曲线(2)C,0)的直线与双曲线x2-y2=1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k412的取值围是()AkBk(C)k共3(D)k<1(目的：掌握判断直线与双曲线位置关系的基本方法)VBMN的重心恰好落在椭圆的右焦点，则直线l的方程是()(目的：能够利用直线与圆锥曲线的特殊位置关系求出相关量)【解析】11221212123．过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有()(A)4条(B)3条(C)2条(D)1条(目的：掌握判断直线与抛物线位置关系的方法)【解析】当直线垂直于x轴时满足条件，当直线不垂直于x轴时，设直线方程为(A)8+43(B)8-43(C)8土43(D)无法确定(目的：理解抛物线的对称性在解题中的运用)【解析】利用抛物线的对称性求解。r代入(1)得m=-3或m=-13m(目的：学会运用间接、假设的方法解决存在性问题)222=-22=-2-3m(目的：学会运用函数的观点解决几何问题)a2b2PM•PF=0,PN+PM=0,(Ⅰ)求点N的轨迹C的方程；aKA与KB的夹角为9，求证：0<9<2(目的：能够将向量形式所表达的图形的几何性质转化为解析式，并学会运用向量的方法解决问题)【解析】 (Ⅰ)设N(x,y),QPN+PM=0,即P为MN的中点，yM(一x,0),P(0,).2yyAxyB(x,y),则yy=一4a2，KA=(x+a,y),KB=(x+a,y),1122121122KA•KB=(x+a)(x+a)+yy212212(4a)24a4a4124122KA•KB2(Ⅰ)求双曲线S的方程；(Ⅱ)当k>0时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为2，求斜率k的值和相应的点B的坐标。(目的：理解双曲线的渐进线、对称性及等轴双曲线的特征，并运用他们之间的关系解【解析】AA方程为y2x2=2。(Ⅱ)直线l:y=k(x2)(k>0)设在l上方与l平行且相距2的直线l'的直线方kxkxy+c=0由=2：c=2(1+k2k)：l'的方程是(Ⅰ)当k=1时方程只有一组解，符合题意。此时B(2,2)(Ⅱ)当k1时，由l'与S有且只有一个公共点，25525综上所述：k=0,B(0,2);k=1,B(2,2);k=,B(22,10)579．已知抛物线c：y2=x和抛物线c：y2=x,是否存在直线l，使直线l与抛物线1222c,c从下到上顺次交于点p,p,p,p,且这些点212341234直线l的方程，若不存在，请说出理由【解析】解：(1)假设存在直线y=kx+m符合题意，解〈亭ky2-y+ly=kx+m112k2232k1234111424k2k(1)假设直线l的斜率不存在，设想方程x=n(n>0)，代入y2=x亭y=n,y=n,代入y2=n-亭y=-,y=,若1222223212344132|ly-y=3(y-41327已知7已知点P是抛物线y2=2x上的动点，焦点为F，点A的坐标是A(,4)，则F(A)2(B)49(C)2(D)5(目的：熟练掌握抛物线的定义在解题中的灵活应用。 33 662(C)663(D)333(目的：理解焦点三角形中各边之间的关系)F212以弦AB为直径的圆与l的位置关系是()(A)相交(B)相切(C)相离(D)不确定(目的：加深对椭圆的第二定义的理解，并推广到双曲线和抛物线)【解析】利用抛物线的定义，将AB的长转化为A,B到准线的距离即可。12(目的：理解用向量的方法解决有关夹角的问题有其简便之处)12(目的：运用抛物线焦点弦的性质求重心坐标)33【解析】设A(x,y),B(x,y)则重心G(,)，因为直线AB过焦点，所以112233121211221212121212x2x已知椭圆+y2=1的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相2(目的：结合例1，进一步探讨圆锥曲线的共性)3(2,0)，EF的中点为N(,0)。23若AB垂直于x轴，则A(1,y),B(1,y),C(2,y)：AC中点为N(,0)，即AC过EF中1112若直线AB不垂直于x轴，由直线AB过点F，且由BC//x轴知点B不在x轴上，故直线x2x记A(x,y),B(x,y),C(2,y)，且x,x满足二次方程+k2(x1)2=1,即11222122112,得x0,的斜率分别是k=1 y1=2k(x1)1,k=y2=2k(x1)x32x132x321222xxx112x312112121(I)求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？(II)求PN的取值围；(目的：运用向量、函数、不等式工具探讨圆锥曲线的轨迹和几何性质)【解析】设设43P(x,y),P到右准线的距离为00P(x,y),P到右准线的距离为00PN10d2PN10d222203BCO (I)求椭圆的方程；(目的：综合运用向量、直线与圆锥曲线的位置关系、对称性等几何性质解决问题)【解析】x2y2 (I)由条件，设所求的椭圆方程为+=x2y2a2b2：C(1,1)代入椭圆方程得b2=4344(Ⅱ)若三PCQ的平分线垂直于OA，则PC、QC倾斜角互补，设PC所在的直线方程为〈x23可得〈x23可得PC3k2+1CP3k2+1y=,P3k2+1QkQ3k2+1PQ一1AB3D．0xy24．以一＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()412xyxyxyxy解析：双曲线一＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±12124y椭圆的方程为+＝1．11的长分别是p、q，则+等于()pqA．2a1B．2aC．4a4a11解析：当直线平行于x轴时，由于F点的纵坐标为，因此x＝－，x＝，4aP2aQ2a1111pq|x||x|PQ1122xx12等于()A．4B．－4C．－p2D．以上都有可能pp解析：由已知|AB|＝x＋＋x＋，∴(x－x)2＋(y－y)2＝(x＋x＋p)2，12221212121212112212p2y2y2p2yy∴12＋2yy＋p2＝0，∴yy＝－p2，xx＝，∴12＝－4．p21212124xx1235A．(,)243924d=，555xy2x2y2xy2x2y2A．重合x2y2bx2y2x2y2bx2y2abab2aababa±x、y＝x与y＝x关于直线y＝x对称，y＝－x与y＝－x关于直线y＝x对babab9．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点y10．设P是椭圆9+4＝1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cosF1PF2的最小值是()1A．－9B．－11C．91D．2000122|PF||PF|55122(3+x)(3一x)30305=905901∴当x＝0时，cosFPF最小，最小值为－．01291161则|AP|＝4cos29+(sin91)2=3(sin9+)2+．∴当sinθ＝－333421|AP|最大，此时P的坐标为(±,)．3342133x2y2x2y2于x轴的双曲线的弦．如果∠PFQ＝90°，则双曲线的离心率是_________．2解析：由|PF|＝|QF|，∠PFQ＝90°，知|PF|＝|FF|即222112e_________．pp解析：圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝16，抛物线的准线为x＝－，由题设可知3＋2211221122121212121212xxxy215．P为椭圆+＝1(a＞b＞0)上一点，F为它的一个焦点，求证：以PF为直径ab1证明：设PF的中点为M，则两圆圆心之间的距离为111