2020-2021学年山东省烟台市高一(上)期末数学试卷(解析版)

2020-2021学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共小题）8.1．°sin17cos13°+sin73°cos77°＝（）A．B．C．2．下列函数中，既是其定义域上的单调函数的是（）A．y＝tanxD．，又是奇函数．＝C．．＝Dyx3By3x．设＝，alog30.3，＝，则（）clog332A．c＞b＞aB．c＞a＞bC．a＞c＞bD．b＞c＞a4．函数（）fx＝﹣的零点所在区间为（）x+3x23A．B．C．D．5．已知函数＝（＞，且a≠1）的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则cosαya+3a0x+3＝（）A．B．C．D．重要任务．某地计6．改善农村人居环境，建设美丽宜居乡村，是实施乡村振兴战略的一项划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路．平面示意图如图所示，道路OC长度为8（单位：百米），OA是函数＝（）图象的一部分，ABCylogx+ba是函数y＝Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈[4，8]）的图象，最高点为B（5，），则道路OABC所对应函数的解析式为（）A．B．C．D．7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到～的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假2079mg80mg设某驾驶员一天晚上点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6mg/mL，如8果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，则他次日上午最早几10%点（结果取整数）开车才不构成酒后驾车？（）（参考数据：lg3≈0.477）A．6B．7的图象向左平移C．8D．98．将函数个单位长度得到函数（）gx的图象，若，使得（）（）＝﹣1，且﹣的最小|xx|12值为，则φ＝（）xx1fxgx122A．B．C．D．二、多项选择题（共小题）4.9．下列说法A．经过30分钟，钟表的分针转过﹣2π弧度B．若sinθ＞0，cosθ＜0，则θ为第二象限角C．若sinθ+cosθ＞1，则θ为第一象限角D．函数y＝sin|x|是周期为π的偶函数正确的有（）10．已知函数（）＝sinx+cosx，则（）fx．（）在上单调递减Afx．（）图象关于点Bfx对称．（）图象的两条相邻对称轴之间的距离为πCfxD．当时，f（x）取得最小值11．已知函数f（x）＝logx+log（a﹣x）（a＞0，且a≠1），则（）aaA．f（x）定义域为（0，a）B．f（x）的最大值为2﹣2log2aC．若f（x）在（0，2）上单调递增，则1＜a≤4D．f（x）图象关于直线对称12．定义新运算“⊗”：x⊗y＝log2（2x+2y），x，y∈，则对a，b，c有（）任意实数RA．a⊗a＝2aB．（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c）C．D．（a⊗b）﹣c＝（a﹣c）⊗（b﹣c）三、填空题（共4小题）.13．已知函数14．若15．函数y＝的定义域为．16．如图，1的正六边形木块自图为正六边形的f（x）＝x﹣2x﹣a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．2幂函数的图象不经过原点，则实数m的值为．边长为中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，P点一个顶点，当点第一次落在桌面上时，点P走过的路程P为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．化简求值：（1）；（2）已知tanα＝﹣2，求的值．18．在①f（x）图象过点，②f（x）图象关于直线对称，③f（x）图象关于点对称，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知的最小正周期为2π，_____．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将f（x）的图象上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．19．（1）求函数y＝（2）解关于x的不等式：20．已知函数，的值域；（a＞0，且a≠1）．．（1）设，求f（x）的最值及相应x的值；（2）设，求的值．21．为提升居民生活质量，增加城市活力，某市决定充分利用城市空间修建口袋公园．如图所示，现有一处边长为40m的正方形空地ABCD，若已规划出以A为圆心、半径为30m的扇形健身场地，欲在剩余部修建一块矩形草坪PMCN，其中点P在圆弧EF上，AEF点M，N分别落在和上，设∠PAB＝θ，矩形草坪PMCN的面积为S．BCCD（1）求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值以及相应θ的值．22．已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且f（x）+g（x）＝2ex，其中e＝2.71828…．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若不等式f（x2+3）+f（1﹣ax）＞0在（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（）若3∀∈，，∃∈，∞），使成立，求实数m的取值范围．x[01]x[m+12参考答案一、单项选择题（共小题）8.1．°sin17cos13°+sin73°cos77°＝（）A．B．C．D．°°°＝°°sin17cos13+cos17°sin13°解：sin17°cos13+sin73cos77＝sin（17°+13°）＝，故选：B．2．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（）A．y＝tanx．＝By3xC．D．y＝x3解：y＝tanx在定义域上不具备单调性，不满足条件．＝是增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．y3xy＝的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．＝是增函数，是奇函数，满足条件．yx3故选：D．．设＝，alog30.3，＝，则（）clog332A．c＞b＞aB．c＞a＞bC．a＞c＞bD．b＞c＞a解：∵＜＝，log3log10，＞＝，log3log210.30.322∴c＞b＞a．故选：A．4．函数f（）x＝﹣的零点所在区间为（）x+3x23A．B．C．D．解：函数f（）x＝﹣是连续函数且单调递增，x+3x23∵f（）＝+﹣2＝﹣＜0，f（）＝+﹣2＝＞0∴f（）（）＜0，f由零点判定定理可知函数的零点在（，）．故选：．C．已知函数＝（＞，且a≠1）的图象恒过点，若角α的终边经过点，则cosα5ya+3a0x+3PP＝（）A．B．C．D．解：令＝，求得x＝﹣3，＝，y4x+30函数＝（＞，且a≠1）的图象恒过点（﹣，），ya+3a0P34x+3角α的终边经过点，则cosα＝＝﹣，P故选：．B6．改善农村人居环境，建设美丽宜居乡村，是实施乡村振兴战略的一项重要任务．某地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路．平面示意图如图所示，道路OC长度为8（单位：百米），是函数＝（）图象的一部分，ylogx+bABCOAa是函数＝（yMsinωφ）（＞，ω＞，φ＜，∈，）的图象，最高点为B（，5x[48]x+M00||），则道路OABC所对应函数的解析式为（）A．B．C．D．解：由三角函数的图象知＝，M＝﹣＝，即＝，则，得ω＝，853T12则＝sin（x+φ），y由函数过（，），B5得sin（×5+φ）＝，得（+φ）＝，sin1即+φ＝π，得φ＝π﹣，2k+2k∵||φ＜，∴当k＝0时，φ＝﹣，则＝（﹣），（4≤x≤8），排除B，，Dysinx当x＝4时，＝ysin（×4﹣）＝sin＝×＝，2即（，），A42＝（）过（，），则＝，则＝，logb0ylogx+b00b1aa则＝（）＝＝，得＝，log52ylog4+1aaa则＝（），（0≤x＜4），排除A，ylogx+1故选：．C7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6mg/mL，如他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则点（结果取整数）开车才不构成酒后驾车？（）（参考数据：lg3≈0.477）A．6B．7C．8D．9解：设他至少经过t小时候才可以驾车，果在停止喝酒后，他次日上午最早几则×（﹣）t＜20，0.6100110%即3×，即t×，所以t，所以≥，即至少经过个小时即次日最早点才可以驾车，t11117故选：．B8．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数（）gxφ＝（）D．的图象，若，使得（）（）＝﹣，且﹣的最小值为，则xxfxgx1|xx|121212A．B．C．解：将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（）的图象，x则（）＝（cos[2x+φ）﹣＝（]cos2x+2φ﹣），gx若，使得（）（）＝﹣，xxfxgx11212则（）＝，（）＝﹣或（）＝﹣，（）＝，1gx2fx1gx1fx1121不妨设（）＝，（）＝﹣，fx1gx112则﹣＝π，φ﹣＝ππ，∈，∈，kZkZ2x2k2x+22k+211212即＝π，＝ππ﹣φ，2x2k+2x+2k+2+πφ﹣π，2kk21122两式作差得（﹣）＝（﹣）2xx+2121即（﹣）＝（﹣）kkπφ﹣，+xx1212∵﹣的最小值为，|xx|12∴当﹣＝时，最小，此时kk0φ﹣＝，||12∵0＜φ＜，∴φ﹣＝﹣，得φ＝﹣＝，故选：．D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得分，有选错的得分．309．下列说法正确的有（）分针转过﹣π弧度2．经过分钟，30钟表的AB．若sinθ＞0，cosθ＜0，则θ为第二象限角C．若sinθ+cosθ＞1，则θ为第一象限角．函数＝是周期为π的偶函数ysin|x|D解：对于，经过分钟，钟表的分针转过﹣30π弧度，不是﹣π弧度，所以错；2AA对于，由sinθ＞，0cosθ＜，可知0θ为第二象限角，所以对；BB对于，θθθ＞1⇒2sinθcosθ＞，又sinθ+cosθ＝＞，Csin+cosθ＞⇒θ+cos2θ+2sincos0101sin2所以sinθ＞，0cosθ＞，即0θ为第一象限角，所以对；C对于，函数＝是偶函数，但不以Dπ周期，如（）＝，（）＝﹣，πysin|x|f1f+1二者不等，所以错；D故选：．BC．已知函数（）＝sinx+cosx，则（）fx10．（）在上单调递减AfxB．（）图象关于点fx对称．（）图象的两条相邻对称轴之间的距离为πCfxD．当时，（）取得最小值fx解：函数（）＝＝（），fxsinx+cosxsinx+当∈（，π）上，∈（，），故（）在上单调递减，故xx+fxA正确；令＝，求得（）＝，可得（）图象关于点对称，故正确；Bxfx0fxf（）图象的两条相邻对称轴之间的距离为x＝π，故正确；C当＝π，∈时，（）＝，为最大值，故错误．x+2kkZfxD故选：．ABC．已知函数（）＝（﹣）（＞，且a≠1），则（）11fxlogx+logaxa0aa定义域为（，）0a．（）Afx22log2a．（）的最大值为﹣BfxC．若f（）在（，）上单调递x增，则＜≤021a4D．（）图象关于fx直线对称解：函数（）＝（﹣）（＞，且a≠1），fxlogx+logaxa0aa对于选项，令＞且﹣＞，解得＜＜，0xaAx0ax0故函数（）的定义域为（，），fx0a故选项正确；A对于选项，（）＝（﹣）＝（﹣）＝（﹣），x+axBfxlogx+logaxlog[axx]log2aaaa因为＝﹣图象开口向下，故有最大值，yyx+ax2但若＜＜时，函数＝单调递减，此时（）无最大值，fx0a1ylogxa故选项错误；B对于选项，若（）在（，）上单调递增，02Cfx①当＜＜时，则＝﹣20a1x+ax在（0，2）上单调递减，y故，解得≤，a0故不符合题意；②当＞时，则＝﹣2a1x+ax在（0，2）上单调递增，y故，解得≥，a4故选项错误；C对于选项，（）＝（﹣），Dfxlogx+logaxaa则（﹣）＝（﹣）＝（），faxlogax+logxfxaa所以（）图象关于直线对称，fx故选项正确．D故选：．AD12．定义新运算“⊗”：⊗＝（），，xy∈R，则对任意实数，，有（）xylog2+2abcxy2A．a⊗a＝2aBD．（）＝（）ab⊗⊗⊗⊗cabcC．．（）﹣＝（﹣）（﹣）⊗⊗abacbcc解：对于，由题意⊗＝（）＝，故错误；aalog2+2a+1Aaa2A对于，（⊗）⊗＝（）⊗＝＝（，+2c]log2+2+2]Babc[log2+2]clog[2ababc222a⊗（⊗）＝⊗（）＝＝（＝（a⊗b）⊗c，]log2+2+2]bca[log2+2]log[2+2bca22abc2故正确；对于，⊗＝（），≥≥＝+1，Cablog2+22+2222abab2所以（）≥log2+1，即，故正确；log2+2ab22对于，（⊗）﹣＝（）﹣Dabclog2+2cab2（﹣）ac⊗（﹣）＝（）＝＝（）＝﹣log2+log2+2bclog2+2log22a﹣cb﹣c﹣c2ab22（），故正确．bc+log22+2a故选：．BCD三、填空题：本题共小题，每小题分，共分．4520．已知函数（）＝﹣﹣有两个不同的零点，则实数的取值范围是fxx2xa（﹣，∞）．13a1+2解：函数（）＝﹣﹣有两个不同的零点，x2xafx2即方程﹣﹣＝有两个不等实根，x2xa02故△＝（﹣）﹣×（﹣）4＞⇒＞﹣，12a0a2故答案为：（﹣，∞）．1+14．若幂函数解：由函数的图象不经过原点，则实数的值为﹣．m1是幂函数，所以﹣﹣＝，解得m＝﹣或＝；mm111m22当m＝﹣时，（）＝，图象不经过原点，满足题意；fx1x﹣1当m＝2时，（）＝，图象经过原点，不满足题意；x8fx所以＝﹣．m1故答案为：﹣．115y．函数＝的定义域为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．解：要使函数有意义，则≥，及sinx≥﹣，sinx+0及2kπ﹣≤x≤2kπ+，即函数的定义域为[2kπ﹣，π2k+]，k∈Z，故答案为：[2kπ﹣，π2k+]，k∈Z16．如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点为正六边形的一个顶点，当点第一次落在桌面上时，点走过的路程为PPP．解：可以分为三步，每步走°，每步以与桌面右侧接触点为圆心，到的距离为半径，P60第一步：＝，＝1，r2L第二步：＝，＝，rL2第三步：＝，＝3，r1L所以当点P第一次落在桌面上时，P点走过的路程为＝L+L+L3＝13．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．7017．化简求值：（1）；（2）已知tanα＝﹣2，求的值．解：（）原式＝1＝＝．（2）由于tanα＝﹣2，原式＝＝＝＝﹣1．．在①（）图象过点，②f（）图象关于直线x对称，③（）图象关fx18fx于点问题：已知对称，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．的最小正周期为2π，．_____（）求函数f（）x的解析式；1（）将（）的图象上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图象上每个点的横2fx坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（）x的图象，求（）的单调递gx增区间．解：若选①：（）由已知得，则ω＝1，1于是f（）x＝（φ）2sinx+因为f（）图象过点x，所以，故，即，）又因为，所以．（）由已知得2，，于是解得，故g（）x的单调递增区间为．若选②：（）1由已知得，，则ω＝1，于是f（）x＝（φ）．2sinx+因为f（）图象关于直线x对称，所以即，．又因为，所以，故．（）由已知得2由即，）．故（）的单调递增区间为gx．若选③：（）由已知得1，则ω＝，1于是（）＝（2sinx+φ）．fx因为（）图象关于点fx对称，所以，即，又因为，所以，故．，（）由已知得2由即，k∈Z，故（）的单调递增区间为gx．．（）求函数＝1y，的值域；19（）解关于的不等式：2x（＞，且a≠1）．a0解：（）解：1令＝，由于2，则∈﹣，．t[11]tlogx于是原函数变为，由于（）图象为yt开口向上的抛物线，对称轴，且，故当，取最小值；当＝时，取最大值．yt1y2所以原函数的值域为．（）解：a1当＞时，原不等式可化为：，解得．2故＞时，原不等式的解a1集为．，当0＜a＜1时，原不等式可化为：即，解得﹣＜＜．1x1故0＜＜axx1时，原不等式的解集为{|﹣1＜＜1}．综上可得，＞1时，原不等式的解集为a．0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．20．已知函数．（1）设（2）设，求（）的最值及相应的值；fxx，求的值．＝，解：（1）＝＝∵，所以x2+∈[﹣，]，故当当，即时，函数（）取得最小值1；fx，即时，函数（）取得最大值．fx（2）由得，．于是＝＝．21．为提升居民生活质量，增加城市活力，某市决定充分利用城市空间修建口袋公园．如图所示，现有一处边长为40m的正方形空地，若已规划出以为圆心、半径为30mABCDA的扇形健身场地，欲在剩余部修建一块矩形草坪，其中点在圆弧上，PAEFPMCNEF点，分别落在和上，设∠PAB＝θ，矩形草坪PMCN的面积为．SBCCDθ的函数θ的值．MN（1）求S（2）求的最大值以及相应S关于关系式；解：（1）如图，＝40﹣30cosθ，＝PN40﹣30sinθ，PM于是＝（40﹣30sinθ）（40﹣30cosθ）＝﹣1200（sinθ+cosθ）+900sinθcosθ+1600，S其中，，故关于Sθ的函数关系式为＝﹣1200（sinθ+cosθ）+900sinθcosθ+1600，（0≤θ≤）；S（2）令＝tsinθ+cosθ，则，又当于是，时，，所以，＝450t2﹣1200t+1150，S（）为开口向上的抛物线，对称轴，又t，故当＝tS1时，取得最大值为400m2，此时，θ＝0或．22．已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且f（x）+