2020年河南中考数学一轮复习课件：§63-锐角三角函数

1.(2019河南,19,9分)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝塑

像DE在高55m的小山EC上.在A处测得塑像底部E的仰角为34°,再沿AC方向前进21m到达B处,测得塑像顶

部D的仰角为60°,求炎帝塑像DE的高度.(精确到1m.参考数据:sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67,

≈1.73)

A组河南中考题组解析在Rt△ACE中,∵∠A=34°,CE=55,∴AC=

≈

≈82.1.∴BC=AC-AB=82.1-21=61.1.

(4分)在Rt△BCD中,∵∠CBD=60°,∴CD=BC·tan60°≈61.1×1.73≈105.7.

(7分)∴DE=CD-CE=105.7-55≈51.所以炎帝塑像DE的高度约为51m.

(9分)思路分析已知EC=55,∠A=34°,先解Rt△ACE,求得AC的长,由BC=AC-AB得BC的长,再解Rt△BCD,求得

CD的长,可得DE=CD-CE≈51m.2.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干

支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低

杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高杠上点D到直

线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB

的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH.(结果精确到1cm.参考数据:sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈

0.168,tan80.3°≈5.850)解析

在Rt△CAE中,AE=

=

≈

≈20.7.(3分)在Rt△DBF中,BF=

=

≈

=40.

(6分)∴EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7≈151.∵四边形CEFH为矩形,∴CH=EF=151.即高、低杠间的水平距离CH约是151cm.

(9分)思路分析根据Rt△CAE和Rt△DBF中的边和角的数值,用正切函数分别求得AE,BF的长度,得EF=AE+AB+

BF,由矩形的性质可知CH=EF,可以求出问题的答案.方法总结解直角三角形的应用问题,一般根据题意抽象出几何图形,结合所给的线段或角,借助边角关

系、三角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件构造直角三角形,再解直角三角形,

求出实际问题的答案.3.(2017河南,19,9分)如图所示,我国两艘海监船A,B在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到指令,立即前往

救援遇险抛锚的渔船C.此时,B船在A船的正南方向5海里处,A船测得渔船C在其南偏东45°方向,B船测得渔

船C在其南偏东53°方向.已知A船的航速为30海里/小时,B船的航速为25海里/小时,问C船至少要等待多长时

间才能得到救援?

参考数据:sin53°≈

,cos53°≈

,tan53°≈

,

≈1.41

解析过点C作CD⊥AB交直线AB于点D,则∠CDA=90°.

(1分)设CD=x海里,则AD=CD=x海里.∴BD=AD-AB=(x-5)海里.

(3分)在Rt△BDC中,CD=BD·tan53°,即x=(x-5)·tan53°,∴x=

≈

=20.

(6分)∴BC=

=

≈20÷

=25海里.∴B船到达C船处约需25÷25=1(小时).

(7分)在Rt△ADC中,AC=

x≈1.41×20=28.2海里,∴A船到达C船处约需28.2÷30=0.94(小时).

(8分)而0.94<1,所以C船至少要等待0.94小时才能得到救援.

(9分)解题技巧本题是解三角形两种典型问题中的一种.以下介绍两种典型问题:(1)如图,当BC=a时,设AD=x,则CD=

,BD=

.∵CD+BD=a,∴

+

=a,∴x=

.

(2)如图,当BC=a时,设AD=x,则BD=

,CD=

,∵CD-BD=a,∴

-

=a,∴x=

.4.(2016河南,19,9分)如图,小东在教学楼距地面9米高的窗口C处,测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°,旗

杆底部B点的俯角为45°.升旗时,国旗上端悬挂在距地面2.25米处.若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端,则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

解析过点C作CD⊥AB,垂足为D,则DB=9米.

(1分)在Rt△CBD中,∠BCD=45°,∴CD=

=9米.

(3分)在Rt△ACD中,∠ACD=37°,∴AD=CD·tan37°≈9×0.75=6.75米.

(6分)∴AB=AD+DB=6.75+9=15.75米.

(7分)(15.75-2.25)÷45=0.3(米/秒).∴国旗应以约0.3米/秒的速度匀速上升.

(9分)5.(2015河南,20,9分)如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大

树顶端B的仰角是30°,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是48°.若坡角∠

FAE=30°,求大树的高度.(结果保留整数.参考数据:sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11,

≈1.73)

解析延长BD交AE于点G,过点D作DH⊥AE于点H.由题意知,∠DAE=∠BGA=30°,DA=6,∴GD=DA=6.∴GH=AH=DA·cos30°=6×

=3

.∴GA=6

.

(2分)设BC=x米.在Rt△GBC中,GC=

=

=

x.

(4分)在Rt△ABC中,AC=

=

.

(6分)∵GC-AC=GA,∴

x-

=6

.

(8分)∴x≈13.即大树的高度约为13米.

(9分)思路分析延长BD交AE于G,构造Rt△GBC,根据题意得∠BGC=30°,解Rt△GBC和Rt△ABC,由GC-AC=GA,

得出BC的值.解题关键构造直角三角形,设BC=x米,用x表示GC、AC是关键.B组2015—2019年全国中考题组考点一锐角三角函数1.(2019天津,2,3分)2sin60°的值等于

()A.1

B.

C.

D.2答案

C根据特殊角的三角函数值,可得sin60°=

,则2sin60°=2×

=

,故选C.2.(2018云南,12,4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,则∠A的正切值为

()A.3

B.

C.

D.

答案

A∵AC=1,BC=3,∠C=90°,∴tanA=

=3.3.(2016福建福州,18,4分)如图,6个形状、大小完全相同的菱形组成网格,菱形的顶点称为格点.已知菱形的

一个角(∠O)为60°,A,B,C都在格点上,则tan∠ABC的值是

.

答案

解析如图,连接EA,EC,易知E、C、B三点共线.设小菱形的边长为a,由题意得∠AEF=30°,∠BEF=60°,AE=

a,EB=2a,∴∠AEB=90°,∴tan∠ABC=

=

=

.

4.(2017内蒙古包头,18,3分)如图,在矩形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC上一点,且FC=2BF,连接AE,EF.

若AB=2,AD=3,则cos∠AEF的值是

.

答案

解析连接AF.∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠B=∠C=90°.∵点E是CD的中点,AB=2,∴CE=1.∵FC=2BF,BC=3,∴BF=1,FC=2.易证△ABF≌△FCE,∴AF=EF,∠AFB=∠FEC,∵∠FEC+∠EFC=90°,∴∠AFB+∠EFC=90°,∴∠AFE=90°.∴△AEF是等腰直角三角形,∴cos∠AEF=cos45°=

.考点二解直角三角形1.(2019河北,3,3分)如图,从点C观测点D的仰角是

()

A.∠DAB

B.∠DCE

C.∠DCA

D.∠ADC答案

B点C观测点D的仰角是视线与过点C的水平线的夹角,故选B.2.(2016广西南宁,6,3分)如图,厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC=10米,∠B=36°,则中柱AD(D为底

边中点)的长是

()

A.5sin36°米

B.5cos36°米C.5tan36°米

D.10tan36°米答案

C∵tanB=

,∴AD=BD·tanB=5tan36°米.故选C.3.(2015四川绵阳,10,3分)如图,要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯,路灯的灯臂CD长2米,且与灯柱

BC成120°角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直.当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线

时照明效果最佳.此时,路灯的灯柱BC高度应该设计为

()

A.(11-2

)米

B.(11

-2

)米C.(11-2

)米

D.(11

-4)米答案

D延长BC、OD交于点E,∵CD⊥OD,∠DCB=120°,∴∠E=30°,∵∠B=90°,OB=22×

=11米,∴EB=11

米,在Rt△DCE中,CE=2DC=4米.∴BC=EB-CE=(11

-4)米,故选D.4.(2017山西,14,3分)如图,创新小组要测量公园内一棵树的高度AB,其中一名小组成员站在距离树10米的点

E处,测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE=1.5米,则这棵树的高度为

米(结果保留一位小

数.参考数据:sin54°=0.8090,cos54°=0.5878,tan54°=1.3764).

答案15.3解析由题意知BD=CE=1.5米,CD=BE=10米,在Rt△ADC中,由锐角三角函数可得AD=CDtan∠ACD=10tan54°=10×1.3764=13.764米,所以AB=AD+BD=13.764+1.5=15.264≈15.3米.5.(2019天津,22,10分)如图,海面上一艘船由西向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角

为31°,再向东继续航行30m到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45°.根据测得的数据,计算这座灯塔的

高度CD(结果取整数).参考数据:sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60.

解析根据题意,∠CAD=31°,∠CBD=45°,∠CDA=90°,AB=30,∵在Rt△ACD中,tan∠CAD=

,∴AD=

,∵在Rt△BCD中,tan∠CBD=

,∴BD=

=CD,又AD=AB+BD,∴

=30+CD,∴CD=

≈

=45.答:这座灯塔的高度CD约为45m.思路分析在Rt△ACD中利用∠CAD的三角函数表示出AD;在Rt△BCD中利用∠CBD的三角函数表示出

BD,进而根据AD=BD+30,求得CD的高度.6.(2019江西,20,8分)图1是一台实物投影仪,图2是它的示意图,折线B—A—O表示固定支架,AO垂直水平桌

面OE于点O,点B为旋转点,BC可转动,当BC绕点B顺时针旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE,经测

量:AO=6.8cm,CD=8cm,AB=30cm,BC=35cm.(结果精确到0.1)(1)如图2,∠ABC=70°,BC∥OE.①填空:∠BAO=

°;②求投影探头的端点D到桌面OE的距离;(2)如图3,将(1)中的BC向下旋转,当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时,求∠ABC的大小.(参考数据:sin70°≈0.94,cos20°≈0.94,sin36.8°≈0.60,cos53.2°≈0.60)解析(1)①160.②如图1,延长OA交BC于点F,

图1∵AO⊥OE,∴∠AOE=90°.∵BC∥OE,∴∠AOE=∠BFO=90°,在Rt△ABF中,AB=30cm,∵sin∠B=

,∴AF=AB·sin∠B=30·sin70°≈30×0.94=28.20(cm).∴AF-CD+AO=28.20-8+6.8=27.0(cm).答:投影探头的端点D到桌面OE的距离为27.0cm.(2)如图2,过点B作DC的垂线,交DC的延长线于点H.

图2在Rt△BCH中,HC=28.2+6.8-6-8=21(cm).∵sin∠HBC=

,∴sin∠HBC=

=0.6.∵sin36.8°≈0.60,∴∠HBC≈36.8°,∴∠ABC=70°-36.8°=33.2°.答:当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时,∠ABC为33.2°.7.(2018湖北黄冈,21,7分)如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,楼高AB=60米,在斜坡下的点

C处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A,C,E在同一直线上.(1)求坡底C点到大楼距离AC的值;(2)求斜坡CD的长度.

解析(1)在Rt△ABC中,AB=60米,∠ACB=60°,∴AC=

=20

米.(2)过点D作DF⊥AB于点F,则四边形AEDF为矩形,∴AF=DE,DF=AE.

设CD=x米,在Rt△CDE中,DE=

x米,CE=

x米,在Rt△BDF中,∠BDF=45°,∴BF=DF=AB-AF=

米,∵DF=AE=AC+CE,∴20

+

x=60-

x,解得x=80

-120,即CD=(80

-120)米.1.(2019吉林长春,6,3分)如图,一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上,梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹

角为α,则梯子顶端到地面的距离BC为

()

A.3sinα米

B.3cosα米C.

米

D.

米C组教师专用题组考点一锐角三角函数答案

A因为sinα=

,所以BC=ABsinα=3sinα(米).2.(2018天津,2,3分)cos30°的值等于

()A.

B.

C.1

D.

答案

B根据特殊角的三角函数值可知,cos30°=

,故选B.3.(2017甘肃兰州,3,4分)如图,一个斜坡长130m,坡顶离水平地面的距离为50m,那么这个斜坡与水平地面夹

角的正切值等于

()

A.

B.

C.

D.

答案

C在直角三角形中,根据勾股定理可知水平的直角边长为120m,故这个斜坡与水平地面夹角的正

切值等于

=

,故选C.思路分析先利用勾股定理求得第三边的长,再利用正切的定义求正切值.4.(2017黑龙江哈尔滨,8,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,则cosB的值为

()A.

B.

C.

D.

答案

A由勾股定理可得BC=

,所以cosB=

=

.故选A.5.(2017山东滨州,7,3分)如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,点D是CB延长线上的一点,且BD=BA,则tan∠DAC的值为

()

A.2+

B.2

C.3+

D.3

答案

A设AC=a,则AB=

=2a,BC=

=

a,∴BD=AB=2a,∴tan∠DAC=

=2+

.6.(2016广东,8,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),那么cosα的值是

()

A.

B.

C.

D.

答案

D过点A作AB垂直x轴于B,则AB=3,OB=4.由勾股定理得OA=5.∴cosα=

=

.故选D.

7.(2015内蒙古包头,4,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,若斜边AB是直角边BC的3倍,则tanB的值是

()A.

B.3

C.

D.2

答案

D在Rt△ABC中,设BC=x(x>0),则AB=3x,∴AC=

=2

x.则tanB=

=2

.故选D.8.(2015天津,2,3分)cos45°的值等于

()A.

B.

C.

D.

答案

B本题考查特殊角的三角函数值.cos45°=

.9.(2015河北,9,3分)已知:岛P位于岛Q的正西方,由岛P,Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上.符

合条件的示意图是

()

答案

D本题考查方向角的简单识别,选D.10.(2015甘肃兰州,4,4分)如图,△ABC中,∠B=90°,BC=2AB,则cosA=

()

A.

B.

C.

D.

答案

D设AB=k(k>0),则BC=2k,∵∠B=90°,∴AC=

=

k,∴cosA=

=

=

,故选D.11.(2017山东烟台,14,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=

,则sin

=

.答案

解析在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=

,∴sinA=

,∴∠A=60°,∴sin

=

.12.(2017黑龙江哈尔滨,22,7分)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB的两个端点均在小正方形

的顶点上.(1)在图中画出以AB为底、面积为12的等腰△ABC,且点C在小正方形的顶点上;(2)在图中画出平行四边形ABDE,且点D和点E均在小正方形的顶点上,tan∠EAB=

.连接CD,请直接写出线段CD的长.

解析(1)正确画图.(2)正确画图.CD=

.考点二解直角三角形1.(2018重庆,10,4分)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底

部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°,升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米,升旗台坡面CD的坡度i

=1∶0.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米,则旗杆AB的高度约为

()(参考数据:sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.6)

A.12.6米

B.13.1米

C.14.7米

D.16.3米答案

B如图,延长AB交ED的延长线于M,作CJ⊥DM于J.则四边形BMJC是矩形.

在Rt△CJD中,

=

=

,设CJ=4k,DJ=3k,k>0,已知CD=2,则有9k2+16k2=4,解得k=

,∴BM=CJ=

,DJ=

,又∵BC=MJ=1,∴EM=MJ+DJ+DE=

,在Rt△AEM中,tan∠AEM=

,∴tan58°=

≈1.6,解得AB≈13.1(米),故选B.思路分析延长AB交ED的延长线于M,作CJ⊥DM于J,则四边形BMJC是矩形.在Rt△CJD中求出CJ、DJ的

长,再根据tan∠AEM=

即可解决问题.方法总结解直角三角形的实际应用问题的关键是根据实际情况建立数学模型,正确画出图形,找到直角

三角形.根据题目中的已知条件,将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题,画出平面几何图形,弄清已知

条件中各量之间的关系,若图中有直角三角形,根据边角关系进行计算即可;若图中没有直角三角形,可通过

添加辅助线构造直角三角形来解决.2.(2016重庆,11,4分)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动.如图,在点A处测得直立于

地面的大树顶端C的仰角为36°.然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处,然后沿水平方向行走6米

至大树底端D处,斜面AB的坡度(或坡比)i=1∶2.4,那么大树CD的高度约为(参考数据:sin36°≈0.59,cos36°

≈0.81,tan36°≈0.73)

()

A.8.1米

B.17.2米

C.19.7米

D.25.5米答案

A作BF⊥AE于F,如图所示,

易知四边形BDEF为矩形,则FE=BD=6米,DE=BF,∵斜面AB的坡度i=1∶2.4,∴AF=2.4BF,设BF=x米,则AF=2.4x米,在Rt△ABF中,x2+(2.4x)2=132,解得x=5(舍负),∴DE=BF=5米,AF=12米,∴AE=AF+FE=18米,在Rt△ACE中,CE=AE·tan36°≈18×0.73=13.14米,∴CD=CE-DE=13.14-5≈8.1米,故选A.3.(2019内蒙古呼和浩特,20,7分)如图(1),已知甲地在乙地的正东方向,因有大山阻隔,由甲地到乙地需要绕行

丙地.已知丙地位于甲地北偏西30°方向,距离甲地460km,丙地位于乙地北偏东66°方向,现要打通穿山隧道,

建成甲乙两地直达高速公路.如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C,可抽象成图(2)所示的三角形,求

甲乙两地之间直达高速线路的长AB(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可).

解析过C作CD⊥AB,垂足为D,在Rt△ACD中,∵∠ACD=30°,∴AD=AC·sin30°=460×

=230km,CD=AC·cos30°=460×

=230

km,在Rt△BCD中,tan∠BCD=

,而∠BCD=66°,∴BD=CD·tan66°=230

tan66°km,∴AB=AD+DB=230(1+

tan66°)km.答:甲乙两地之间直达高速线路的长为230(1+

tan66°)km.

方法总结解直角三角形的应用,要根据题意抽象出数学图形,构造适当的直角三角形,解直角三角形,得出

实际问题的答案.4.(2019湖北黄冈,22,7分)如图,两座建筑物的水平距离BC为40m,从A点测得D点的俯角α为45°,测得C点的

俯角β为60°.求这两座建筑物AB,CD的高度.(结果保留小数点后一位,

≈1.414,

≈1.732)

解析延长CD交过A点的水平线于点M,则∠AMC=90°,AM=BC=40m.在Rt△ADM中,tanα=

,∴DM=AM·tanα=40·tan45°=40m,在Rt△ACM中,tanβ=

,∴CM=AM·tanβ=40·tan60°=40

m,∵AB=CM,∴AB=40

≈40×1.732≈69.3m.则CD=CM-DM=40

-40=69.3-40=29.3m.答:建筑物AB的高度约为69.3m,建筑物CD的高度约为29.3m.

思路分析先延长CD交过A点的水平线于点M,然后分别在Rt△ADM和Rt△ACM中由正切求出DM和CM,

进而求出AB,CD的高度.5.(2019吉林,21,7分)墙壁及淋浴花洒截面如图所示.已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm,花洒AC的长

为30cm,与墙壁的夹角∠CAD为43°,求花洒顶端C到地面的距离CE(结果精确到1cm).(参考数据:sin43°=0.68,cos43°=0.73,tan43°=0.93)

解析如图,过点C作CF⊥AB于点F,则∠AFC=90°.

(1分)在Rt△ACF中,AC=30cm,∠CAF=43°,∵cos∠CAF=

,∴AF=AC·cos∠CAF=30×cos43°=30×0.73=21.9(cm).

(5分)∴CE=BF=AB+AF=170+21.9=191.9≈192(cm).因此,花洒顶端C到地面的距离CE约为192cm.

(7分)评分说明:(1)计算过程与结果中,写“=”或“≈”均不扣分;(2)计算过程不加单位不扣分.6.(2019四川成都,18,8分)2019年,成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事,这大幅提升了成都市

的国际影响力.如图,在一场马拉松比赛中,某人在大楼A处,测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°,底部D的

俯角为45°,如果A处离地面的高度AB=20米,求起点拱门CD的高度.(结果精确到1米;参考数据:sin35°≈0.57,

cos35°≈0.82,tan35°≈0.70)

解析如图,作CE⊥AB于点E,∴∠AEC=∠CEB=90°,

由题意得∠CDB=∠EBD=90°,∠1=35°,∠2=45°.∴四边形CDBE为矩形.∴CD=BE,CE=DB.在Rt△ABD中,BD=AB=20米,∴CE=20米.在Rt△ACE中,AE=CE·tan∠1.∴BE=AB-AE=20-20·tan35°≈6米.∴CD≈6米.答:起点拱门CD的高度约为6米.解题关键本题为解直角三角形的实际问题,过点C作CE⊥AB构造出直角三角形和矩形是解题关键.7.(2018内蒙古呼和浩特,21,7分)如图,一座山的一段斜坡BD的长度为600米,且这段斜坡的坡度i=1∶3(沿斜

坡从B到D时,其升高的高度与水平前进的距离之比).已知在地面B处测得山顶A的仰角为33°,在斜坡D处测

得山顶A的仰角为45°.求山顶A到地面BC的高度AC是多少米.(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即

可)

解析过点D作DH⊥BC,垂足为H.

∵斜坡BD的坡度i=1∶3,∴DH∶BH=1∶3.在Rt△BDH中,BD=600,∴DH2+(3DH)2=6002,∴DH=60

,∴BH=180

.设AE=x米,在Rt△ADE中,∠ADE=45°,∴DE=AE=x,又HC=DE,EC=DH,∴HC=x,EC=60

,在Rt△ABC中,tan33°=

=

,∴x=

,∴AC=AE+EC=

+60

=

.答:山顶A到地面BC的高度为

米.8.(2018天津,22,10分)如图,甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m,从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯

角为48°,测得底部C处的俯角为58°,求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整数).参考数据:tan48°≈1.11,tan58°≈1.60.

解析如图,过点D作DE⊥AB,垂足为E.

则∠AED=∠BED=90°.由题意可知,BC=78,∠ADE=48°,∠ACB=58°,∠ABC=90°,∠DCB=90°.可得四边形BCDE为矩形.∴ED=BC=78,DC=EB.在Rt△ABC中,tan∠ACB=

,∴AB=BC·tan58°≈78×1.60≈125.在Rt△AED中,tan∠ADE=

,∴AE=ED·tan48°.∴DC=EB=AB-AE=BC·tan58°-ED·tan48°≈78×1.60-78×1.11≈38.答:甲建筑物的高度AB约为125m,乙建筑物的高度DC约为38m.思路分析过点D作DE⊥AB,构造直角△ADE和矩形BCDE,通过解直角△ABC和直角△ADE可求出答案.9.(2018云南昆明,19,7分)小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国——南亚博览会”的竖直标语

牌CD,她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°,测得隧道底端B处的俯角为30°(B,C,D在同一条直线上),AB

=10m,隧道高6.5m(即BC=6.5m),求标语牌CD的长(结果保留小数点后一位).(参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90,

≈1.73)

解析如图,过点A作AE⊥BD于点E,

(1分)

由题意得∠DAE=42°,∠EAB=30°,在Rt△ABE中,∠AEB=90°,AB=10,∠EAB=30°,∴BE=

AB=

×10=5.

(2分)∵cos∠EAB=

,∴AE=AB·cos30°=10×

=5

.

(4分)在Rt△DEA中,∠DEA=90°,∠DAE=42°,∵tan∠DAE=

,∴DE=AE·tan42°≈5

×0.90=

,

(5分)∴CD=BE+ED-BC=5+

-6.5≈6.3(m).

(6分)答:标语牌CD的长约为6.3m.

(7分)思路分析作AE⊥BD于点E,构造直角△DEA和直角△ABE,解直角△DEA和直角△ABE,求得BE,DE的长,

进而可求出CD的长度.10.(2017安徽,17,8分)如图,游客在点A处坐缆车出发,沿A→B→D的路线可至山顶D处.假设AB和BD都是直

线段,且AB=BD=600m,α=75°,β=45°,求DE的长.(参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,

≈1.41)

解析在Rt△BDF中,由sinβ=

可得,DF=BD·sinβ=600×sin45°=600×

=300

≈423(m).

(3分)在Rt△ABC中,由cosα=

可得,BC=AB·cosα=600×cos75°≈600×0.26=156(m).

(6分)所以DE=DF+EF=DF+BC=423+156=579(m).

(8分)11.(2017陕西,20,7分)某市一湖的湖心岛有一棵百年古树,当地人称它为“乡思柳”,不乘船不易到达,每年

初春时节,人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳.小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距

离.于是,有一天,他们俩带着测倾器和皮尺来测量这个距离.测量方案如下:如图,首先,小军站在“聚贤亭”

的A处,用测倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23°,此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米;然

后,小军在A处蹲下,用测倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24°,这时测得小军的眼睛距地面的高度AC

为1米.请你利用以上所测得的数据,计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长(结果精确到1米).(参

考数据:sin23°≈0.3907,cos23°≈0.9205,tan23°≈0.4245,sin24°≈0.4067,cos24°≈0.9135,tan24°≈0.4452)解析作BD⊥MN,垂足为D,作CE⊥MN,垂足为E.设AN=x米,则BD=CE=x米.在Rt△MBD中,MD=x·tan23°米.在Rt△MCE中,ME=x·tan24°米.

(4分)

∵ME-MD=DE=BC,∴x·tan24°-x·tan23°=1.7-1.∴x=

.∴x≈34.∴“聚贤亭”到“乡思柳”之间的距离约为34米.

(7分)12.(2017江西,17,6分)如图1,研究发现,科学使用电脑时,望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°,而当手指

接触键盘时,肘部形成的“手肘角”β约为100°.图2是其侧面简化示意图,其中视线AB水平,且与屏幕BC垂

直.(1)若屏幕上下宽BC=20cm,科学使用电脑时,求眼睛与屏幕的最短距离AB的长;(2)若肩膀到水平地面的距离DG=100cm,上臂DE=30cm,下臂EF水平放置在键盘上,其到地面的距离FH=7

2cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°.

参考数据:sin69°≈

,cos21°≈

,tan20°≈

,tan43°≈

,所有结果精确到个位

解析(1)如图,∵AB⊥BC,∴∠B=90°.在Rt△ABC中,α=20°,AB=

≈20÷

=55(cm).

(3分)(2)如图,延长FE交DG于点I,∵DG⊥GH,FH⊥GH,EF∥GH,∴IE⊥DG,∴四边形GHFI是矩形,∴IG=FH,∴DI=DG-FH=100-72=28(cm).

(4分)在Rt△DEI中,sin∠DEI=

=

=

,∴∠DEI≈69°.

(5分)∴β=180°-69°=111°≠100°.∴此时β不符合科学要求的100°.

(6分)13.(2017天津,22,10分)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向,距离灯塔120海里的A处,它沿正南方向航

行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,求BP和BA的长(结果取整数).参考数据:sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05,

取1.414.

解析如图,过点P作PC⊥AB,垂足为C,由题意可知,∠A=64°,∠B=45°,PA=120,在Rt△APC中,sinA=

,cosA=

,∴PC=PA·sinA=120×sin64°,AC=PA·cosA=120×cos64°.在Rt△BPC中,sinB=

,tanB=

,∴BP=

=

≈

≈153(海里),BC=

=

=PC=120×sin64°,∴BA=BC+AC=120×sin64°+120×cos64°≈120×0.90+120×0.44≈161(海里).答:BP的长约为153海里,BA的长约为161海里.思路分析在Rt△APC中,利用∠A的三角函数求出PC和AC;在Rt△PCB中利用∠B的三角函数求出BC和

PB即可解决问题.解题关键解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确画出图形,找准

三角形.14.(2016山东青岛,18,6分)如图,AB是长为10m,倾斜角为37°的自动扶梯,平台BD与大楼CE垂直,且与扶梯

AB的长度相等,在B处测得大楼顶部C的仰角为65°,求大楼CE的高度(结果保留整数).

参考数据:sin37°≈

,tan37°≈

,sin65°≈

,tan65°≈

解析过B作BF⊥AE于F,

在Rt△ABF中,sin37°=

,∴

≈

,∴BF≈6.∵∠BFE=∠BDE=∠DEF=90°,∴四边形BFED是矩形.∴BF=DE=6.在Rt△BCD中,tan65°=

,∴

≈

,∴CD≈

.∴CE=CD+DE=

+6≈27.答:楼高CE约为27米.15.(2016新疆乌鲁木齐,20,10分)如图,建筑物AB的高为6m,在其正东方向有一个通信塔CD,在它们之间的

地面点M(B,M,D三点在一条直线上)处测得建筑物顶端A、塔顶C的仰角分别为37°和60°,在A处测得塔顶C

的仰角为30°,求通信塔CD的高度.(精确到0.01m)

解析过点A作AE⊥CD于E,由题意,易知四边形ABDE是矩形,∴AB=DE=6m,AE=BD.设CE=xm,在Rt△AEC中,∠AEC=90°,∠CAE=30°,∴AE=

=

xm.在Rt△CDM中,CD=CE+ED=(x+6)m,∴DM=

=

m.在Rt△ABM中,BM=

=

m.由AE=BD=BM+DM,得

x=

+

(x+6),解得x=

+3,∴CD=

+9≈15.90m.答:通信塔CD的高度约为15.90m.16.(2016天津,22,10分)小明上学途中要经过A,B两地,由于A,B两地之间有一片草坪,所以需要走路线AC,CB.

如图,在△ABC中,AB=63m,∠A=45°,∠B=37°,求AC,CB的长.(结果保留小数点后一位)参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,

取1.414.

解析如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D.在Rt△ACD中,tanA=

,sinA=

,∠A=45°,

∴AD=

=CD,AC=

=

CD.在Rt△BCD中,tanB=

,sinB=

,∠B=37°,∴BD=

,CB=

.∵AD+BD=AB,AB=63,∴CD+

=63.解得CD=

≈

=27.00.∴AC=1.414×27.00=38.178≈38.2,CB≈

=45.0.答:AC的长约等于38.2m,CB的长约等于45.0m.17.(2016内蒙古呼和浩特,18,6分)在一次综合实践活动中,小明要测某地一座古塔AE的高度.如图,已知塔基

顶端B(和A、E共线)与地面C处固定的绳索的长BC为80m.他先测得∠BCA=35°,然后从C点沿AC方向走30

m到达D点,又测得塔顶E的仰角为50°.求塔高AE.(人的高度忽略不计,结果用含非特殊角的三角函数表示)

解析已知∠BCA=35°,BC=80m,由题意得∠EDA=50°,DC=30m.在Rt△ABC中,cos35°=

,∴AC=BCcos35°=80cos35°(m).

(2分)在Rt△ADE中,tan50°=

,

(3分)∵AD=AC+DC=(80cos35°+30)m,

(4分)∴AE=[(80cos35°+30)tan50°]m.

(5分)答:塔高为[(80cos35°+30)tan50°]m.

(6分)18.(2016陕西,20,7分)某市为了打造森林城市,树立城市新地标,实现绿色、共享发展理念,在城南建起了

“望月阁”及环阁公园.小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度,

来检验自己掌握知识和运用知识的能力.他们经过观察发现,观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得,

因此经过研究需要两次测量.于是他们首先用平面镜进行测量,方法如下:如图,小芳在小亮和“望月阁”之

间的直线BM上平放一平面镜,在镜面上做了一个标记,这个标记在直线BM上的对应位置为点C.镜子不动,

小亮看着镜面上的标记,他来回走动,走到点D时,看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重

合.这时,测得小亮眼睛与地面的距离ED=1.5米,CD=2米;然后,在阳光下,他们用测影长的方法进行了第二次

测量,方法如下:如图,小亮从D点沿DM方向走了16米,到达“望月阁”影子的末端F点处,此时,测得小亮的

影长FH=2.5米,身高FG=1.65米.如图,已知:AB⊥BM,ED⊥BM,GF⊥BM.其中,测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计.请你根据题中提供的

相关信息,求出“望月阁”的高AB的长度.解析由题意得∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°,∠ACB=∠ECD,∠AFB=∠GHF.∴△ABC∽△EDC,△ABF∽△GFH.

(3分)∴

=

,

=

.即

=

,

=

,

(5分)解之,得AB=99(米).答:“望月阁”的高度为99米.

(7分)19.(2015上海,22,10分)如图,MN表示一段笔直的高架道路,线段AB表示高架道路旁的一排居民楼.已知点A

到MN的距离为15米,BA的延长线与MN相交于点D,且∠BDN=30°.假设汽车在高架道路上行驶时,周围39米

以内会受到噪音的影响.(1)过点A作MN的垂线,垂足为点H.如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶,当汽车到达点P处时,噪音开

始影响这一排居民楼,那么此时汽车与点H的距离为多少米?(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板.当汽车行驶到点Q时,它与这一排居民楼的距离QC为39米,那么对于这一排居民楼,高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长?(精确到1米)(参考数据:

≈1.7)解析(1)连接AP.由题意,知AH⊥MN,AH=15,AP=39.在Rt△APH中,由勾股定理得PH=36.答:此时汽车与点H的距离为36米.(2)由题意可知,PQ段高架道路旁需要安装隔音板,QC⊥AB,∠QDC=30°,QC=39.在Rt△DCQ中,DQ=2QC=78.在Rt△ADH中,DH=

=15

.∴PQ=PH-DH+DQ=36-15

+78≈114-15×1.7=88.5≈89.答:高架道路旁安装的隔音板至少需要89米长.20.(2015江苏镇江,24,6分)某海域有A、B两个港口,B港口在A港口北偏西30°的方向上,距A港口60海里.有一

艘船从A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B港口南偏东75°方向的C处.求该船与B港口之间

的距离即CB的长(结果保留根号).

解析∵∠BAE=30°,BF∥AE,∴∠ABF=30°.

(1分)∵∠FBC=75°,∴∠ABC=45°.

(2分)∵∠CAE=45°,∴∠BAC=75°.

(3分)∴∠C=60°.过点A作AD⊥BC,垂足为D,

(4分)

在Rt△ADB中,∠ABD=45°,AB=60海里,则BD=AD=30

海里.在Rt△ADC中,∠C=60°,AD=30

海里,则CD=10

海里.∴BC=(30

+10

)海里.

(6分)21.(2015江苏南京,23,8分)如图,轮船甲位于码头O的正西方向A处,轮船乙位于码头O的正北方向C处,测得

∠CAO=45°.轮船甲自西向东匀速行驶,同时轮船乙沿正北方向匀速行驶,它们的速度分别为45km/h和36

km/h.经过0.1h,轮船甲行驶至B处,轮船乙行驶至D处,测得∠DBO=58°.此时B处距离码头O有多远?(参考数据:sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60)

解析设B处距离码头Oxkm.在Rt△CAO中,∠CAO=45°,∵tan∠CAO=

,∴CO=AO·tan∠CAO=(45×0.1+x)·tan45°=4.5+x.

(2分)在Rt△DBO中,∠DBO=58°,∵tan∠DBO=

,∴DO=BO·tan∠DBO=x·tan58°.

(4分)∵DC=DO-CO,∴36×0.1=x·tan58°-(4.5+x).∴x=

≈

=13.5.因此,B处距离码头O大约13.5km.

(8分)22.(2015浙江绍兴,20,8分)如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°,向前

走6m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.(1)求∠BPQ的度数;(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1m).备用数据:

≈1.7,

≈1.4.

解析如图,延长PQ交直线AB于点C.(1)∠BPQ=90°-60°=30°.(2)设PQ=xm,则QB=QP=xm,在△BCQ中,BC=x·cos30°=

xm,QC=

xm,在△ACP中,CA=CP,∴6+

x=

x+x,x=2

+6,∴PQ=2

+6≈9m,即该电线杆PQ的高度约为9m.一、填空题(共3分)1.(2018西华一模,12)若关于x的方程x2-

x+sinα=0有两个相等的实数根,则锐角α的度数为

.55分钟66分答案30°解析∵关于x的方程x2-

x+sinα=0有两个相等的实数根,∴Δ=(-

)2-4×1×sinα=0,解得sinα=

,∴锐角α=30°.二、解答题(共63分)2.(2019平顶山一模,19)我国北斗导航装备的不断更新,极大方便人们的出行.光明中学组织学生利用导航到

“金牛山”进行研学活动,到达A地时,发现C地恰好在A地正北方向,且距离A地11.46千米.导航显示路线应

沿北偏东60°方向走到B地,再沿北偏西37°方向走一段距离才能到达C地,求B,C两地的距离(精确到1千米).(参考数据sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,

≈1.73)

解析设BC=x千米.过点B作BD⊥AC,交AC于点D,在Rt△BDC中,∠CBD=90°-37°=53°,∴CD=xsin53°≈0.8x,BD=xcos53°≈0.6x,在Rt△ADB中,∠DAB=60°,∴AD=

BD=

×0.6x≈1.73×0.2x=0.346x,∵AC=AD+DC=11.46,∴0.346x+0.8x=11.46,∴x=10.答:B,C两地的距离约为10千米.3.(2019新乡一模,19)如图所示,某数学活动小组要测量山坡上的信号塔PQ的高度,他们在A处测得信号塔顶

端P的仰角是45°,信号塔底端点Q的仰角为31°,沿水平地面向前走100米到B处,测得信号塔顶端P的仰角是68°,求信号塔PQ的高度.(结果精确到0.1米,参考数据:sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,tan68°≈2.48,tan31°≈0.60,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86)

解析如图,延长PQ交直线AB于点M,则∠PMA=90°,

设PM=x米,在Rt△PAM中,∠PAM=45°,∴AM=PM=x米,∴BM=(x-100)米,在Rt△PBM中,∵tan∠PBM=

,∴tan68°=

≈2.48,解得x≈167.57,在Rt△QAM中,∵tan∠QAM=

,∴QM=AM·tan∠QAM=167.57×tan31°≈167.57×0.60≈100.54(米),∴PQ=PM-QM=167.57-100.54≈67.0(米).答:信号塔PQ的高度约为67.0米.思路分析本题考查解直角三角形的应用.延长PQ交直线AB于点M,设PM=x米,先由三角函数求出PM,再由

三角函数求出QM,进而得出PQ的高.4.(2019焦作一模,20)某学校为增加体育馆观众座席数量,决定对体育馆进行施工改造.如图,为体育馆改造

的截面示意图.已知原座位区最高点A到地面的铅直高度AC为15米,原坡面AB的倾斜角∠ABC为45°,原坡脚

B与场馆中央的运动区边界的安全距离BD为5米.如果按照施工方提供的设计方案施工,新座位区最高点E

到地面的铅直高度EG保持15米不变,使A,E两点间的距离为2米,使改造后坡面EF的倾斜角∠EFG为37°.若

学校要求新坡脚F需与场馆中央的运动区边界的安全距离FD至少保持2.5米(即FD≥2.5米),请问施工方提

供的设计方案是否满足安全要求?请说明理由.

解析施工方提供的设计方案不满足安全要求.理由如下:在Rt△ABC中,AC=15米,∠ABC=45°,∴BC=

=15米,在Rt△EFG中,EG=15米,∠EFG=37°,∴GF=

≈

=20米,∵EG=AC=15米,AC⊥BC,EG⊥BC,∴EG∥AC,∴四边形EGCA是矩形,∴GC=EA=2米,∴BF=GF-GC-BC=20-15-2=3米,∵BD=5米,∴FD=BD-BF=5-3=2<2.5.∴施工方提供的设计方案不满足安全要求.5.(2019开封一模,19)如图,某数学社团测量坡角∠BCD=30°的斜坡上大树AB的高度.小东在离山脚底部C点

1米的F处,测得大树顶端A的仰角为45°,树底部B的仰角为20°,测得斜坡上树底部B点到山脚C点的距离为6

米,求树AB的高度.(sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36)

解析作EG⊥BD于G,则四边形EFDG是矩形.在Rt△BDC中,∠BDC=90°,BC=6

米,∠BCD=30°,∴DC=BC·cos30°=6

×

=9米,∴DF=DC+CF=9+1=10米,∴GE=DF=10米.

(3分)在Rt△BGE中,∠BEG=20°,∴BG=EG·tan20°≈10×0.36=3.6(米).

(6分)在Rt△AGE中,∠AEG=45°,∴AG=GE=10米.∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4(米).答:树AB的高度约为6.4米.

(9分)

6.(2018濮阳一模,19)如图,线段AB、CD分别表示甲、乙两建筑物的高,BA⊥AD,CD⊥DA,垂足分别为A、D.

从D点测得B点的仰角α为60°,从C点测得B点的仰角β为30°,甲建筑物的高AB=30米.(1)求甲、乙两建筑物之间的距离AD;(2)求乙建筑物的高CD.

解析(1)在Rt△ABD中,AD=

=

=10

(米).答:甲、乙两建筑物之间的距离AD为10

米.(2)作CE⊥AB于点E,则四边形CDAE是矩形.如图所示,在Rt△BCE中,CE=AD=10

米,BE=CE·tanβ=10

×

=10(米),则CD=AE=AB-BE=30-10=20(米).答:乙建筑物的高度CD为20米.7.(2018郑州二模,19)黄河,既是一条源远流长、波澜壮阔的自然河,又是一条孕育中华民族灿烂文明的母亲

河.数学课外实践活动中,小林和同学们在黄河南岸小路上的A,B两点处,用测角仪分别对北岸的观景亭D进

行测量.如图,测得∠DAC=45°,∠DBC=65°.若AB=200米,求观景亭D到小路AC的距离.(结果精确到1米,参考

数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14)

解析如图,过点D作DE⊥AC,垂足为E,设BE=x米,则AE=(x+200)米.

在Rt△DEB中,tan∠DBE=

,∵∠DBE=65°,∴DE=xtan65°.在Rt△DEA中,∵∠DAE=45°,∴AE=DE,∴200+x=xtan65°,解得x≈175.4,∴DE=200+x≈375(米).答:观景亭D到小路AC的距离约为375米.8.(2017郑州二模,20)如图,高铁列车座位后面的小桌板收起时可以近似地看作与地面垂直,展开小桌板后,

桌面会保持水平.其中图1、图2分别是小桌板收起时和展开时的实物图,图3中的实线是小桌板展开后的示

意图,其中OB表示小桌面的宽度,BC表示小桌板的支架.连接OA,此时OA=75厘米,∠AOB=∠ACB=37°,且支

架长BC与桌面宽OB的长度之和等于OA的长度,求点B到AC的距离.(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75)

解析如图,延长OB交AC于点D,则OD⊥AC.

设BD=x厘米.在Rt△AOD中,OA=75厘米,∠AOD=37°,cos∠AOD=

,∴OD=OAcos∠AOD≈75×0.8=60厘米,∴OB=OD-BD=(60-x)厘米.在Rt△BCD中,∠BCD=37°,BD=x厘米,sin∠BCD=

,∴BC=

≈

=

x厘米.∵OB+BC=OA,即60-x+

x=75,∴x=22.5.∴点B到AC的距离是22.5厘米.思路分析延长OB交AC于点D,构造Rt△AOD和Rt△BCD,解直角三角形,求得BD的长.1.(2019洛阳一模,20)如图1,我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额,图2中的线段BC就是悬挂在墙壁

AM上的某块匾额的截面示意图.已知BC=1米,∠MBC=37°,从水平地面点D处看点C,仰角∠ADC=45°,从点E

处看点B,仰角∠AEB=53°,且DE=2.2米,求匾额悬挂的高度AB.

参考数据:sin37°≈

,cos37°≈

,tan37°≈

解答题(共72分)60分钟72分解析如图,过C作CF⊥AM于点F,作CH⊥AD于H,则四边形AHCF是矩形,所以AF=CH,CF=AH.

在Rt△BCF中,BC=1,∠CBF=37°