2021-2022学年广东省深圳市龙华区高二年级上册学期期末数学试题含答案

2021-2022学年广东省深圳市龙华区高二上学期期末数学试题

一、单选题

i.直线x-y+i=°的倾斜角为（）

A.30°B.45°C.120°D.135°

【答案】B

【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可.

【详解】x-N+l=°的斜率为1,故倾斜角夕满足tan6=l,又倾斜角大于等于0。小于mo。，故倾

斜角为45。.

故选：B

2.已知空间中两点'（-"2）,巩2,-2,1）,则网=（）

A.3B.36C.6D.9

【答案】B

【分析】计算/8=（3,-3,3）,再计算模长得到答案.

【详解】"（TJ-2）,8（2）,故刀=（3,-3,3）,故画=即再=3后

故选：B

3.各项为正的等比数列包｝中，出4=81,则｛%｝的前5项和55=（）

A.121B.120C.61D.45

【答案】A

【分析】根据等比数列性质和通项公式可求得公比“，代入等比数列求和公式即可求得结果.

【详解】设等比数列｛"J的公比为

vt7„>0）.-.（7>0）又出%=片=81,/2=才=9,解得：4=3,

故选：A.

4.圆£：/+/-4.・16=0与圆C2：x2+（y+lf=5的位置关系是（）

A.相交B.外切C.内切D.相离

【答案】C

【分析】根据两圆的位置关系的判定方法，即可求解.

【详解】由G：x"2-4x76=°与圆G：/+(〃+1)2=5,

可得圆心＜(2，。)。2(0，-1),半径K=2瓜为=加,

贝Ij|C,C2|=J(2-0)2+(0+1)2=V5,

且&_4=2石-逐=百，

所以“-&TCGI,所以两圆相内切.

故选：c.

5.如图，哈雷彗星围绕太阳运动的轨迹是一个非常扁的椭圆，太阳位于椭圆轨迹的一个焦点上，

已知哈雷彗星离太阳最近的距离为&75xl0'°m,最远的距离为5.30x1012m若太阳的半径忽略不计，

则该椭圆轨迹的离心率约为()

3、”.....

%,

A.0.88B,0.91

C.0.97D.099

【答案】C

_C

【分析】根据题意，列出与a+c,列方程组，求出。与%得到离心率，一2,可得答案.

【详解】根据图像，设椭圆的长轴为2。，焦距为2。，故根据题意，

a-c=8.75xl0\a+c=5.30xl012,

a=-x(8.75xlOlo+5.3OxlO12)c=-x(5.30xl012-8.75x10'°)

解得2\2,

c5.30X10I2-8.75X1012八〜

e=—=-------------------a097

a8.75xl0,0+5.30xl012

故选：C

6.己知双曲线C的渐近线方程为2x±3y=°,且经过点G拉，2),则C的标准方程为()

片一片口片一片=1片一片口Z_r=i

A.94B.128c.49D.218

【答案】A

【分析】根据共渐近线双曲线系的形式可假设双曲线方程为94,，代入点的坐标即可

求得结果.

X2A-。)

【详解】根据渐近线方程可设双曲线c方程为：5

•••双曲线C过点(82),.•./=2-1=1,

双曲线C的标准方程为：94

故选：A.

7.已知点“（7，°）,8。，0）,动点P满足而'=3而'则点P的轨迹方程为（）

——+匚=1j2_=l

A.32B.43

Cx2+y2+4x-l=0Dx2+y2-4x+\=0

【答案】D

【分析】由向量数量积及模长公式，计算即可.

【详解］设pGM,因为4~1，°）8（1,0）,所以而=（T-xf）,而=（1-x,-＞）

又因为苏2=3而2,所以J-4+（一4=3［（1-力+（-，）［,

即得2y2+2x2—8x+2=0

可得点P的轨迹方程为V+f_4x+1=0

故选:D.

8.如图，是正四棱柱被平面EFG”所截得的几何体，若4B=2,BF=DH=2,

CG=3,则截面E/G”与底面Z8CD所成二面角的余弦值是（）

x/65/6

A.6B.3

百百

c.TD.T

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，平面的法向量为勺=（1，-1，2）,平面的一个法向量为

%=（0,0/），计算得到答案.

【详解】如图所示：以D4OC，。"为x/，z轴建立空间直角坐标系，

则F（2,2,2）,G（0,2,3）,“（0,0,2）,设平面EFGH的法向量为"1

］勺.HF=2x+2y=0

则［勺•〃G=2y+z=0,取工=1得到々=（1，-1,2）,

_cos6凡）=普篙=壬=坐~

平面N8CD的一个法向量为“2=（。，0,1）,同佃|,

76

故截面EFG"与底面N8C。所成二面角的余弦值是3,

故选：B

二、多选题

上+上=1

9.当"，取一定实数值时，方程”尸+35-/可以表示为（）

A.焦点在x轴上的椭圆

B.焦点在*轴上的双曲线

C.焦点在V轴上的椭圆

D.焦点在了轴上的双曲线

【答案】ABC

上+上7

【分析】比较病+3,5一/的正负以及大小，进而确定方程/+35-m2所表示曲线的形状.

【详解】:/+3>0,且5-/*0,则有：

当5-/<0,即“KF，-灼Ug,+s）时，方程-表示焦点在在x轴上的双曲线，B

正确；

当5-川>0,即时，则有：

x2yl

①当33>5",瞰吒夙M⑹时，方程再Tk=l表示焦点在X轴上的椭圆，A

正确；

②当/+3=5-川，即,"=±i时，方程西=l即为/+/=4,表示圆心在坐标原点，半

径为2的圆；

③当川+3<5-吃即加时，方程/7rH7=1表示焦点在v轴上的椭圆，c正确：

-2/fw2+3<0

对于D：若方程川+3+5」表示为焦点在y轴上的双曲线，则［5_/>0,无解，口错误

故选：ABC.

10.在正方体/8CD-48|CQ|中，若4“,AD=b,AAt=c）则下列正确的是（）

B.BD、=a+b—c

C.G4(=a-b-c

D.DB、=a-b+c

【答案】AD

【分析】根据空间向量基本定理，用f''，｝作为一组基底表示出空间向量，即可得到.

【详解】由已知可得，“，员"不共面，则®1"｝可以作为空间向量的一组基底.

对于A项，布=君+元+H=赤+而+羽=£+9+",故A项正确；

对于B项，BD^BC+CD+DD^-AB+AD+AA^-a+b+ct故R项错误.

对于C项，需=而+丽+麴=-而-而+羽=与-坂+",故c项错误;

对于D项，DBX=DA+AB+BBX=-AD+AB+AAx=a-b+c；故D项正确.

故选：AD.

]].1202年，意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一个数列{%},其递推公

式可以表示为《=%=1,。"=*+。"-2（〃23）,则下列结论正确的是（）

A.%=5

B+a3=a3a4

aa

C.%++%+…+2020=2022

a

D.q+。3+/+…+々2021=2022

【答案】ABD

【分析】根据递推关系+4-2对四个选项逐一分析判断即可.

【详解】由题意可知％=%=1,。3=%+，=2,4=%+%=3,。5=%+4=5,AB正确；

因为°2022=°2021+〃2020,“2021=。2020+02019,°2020=°2019+。2018,,%=02+6,02=%,

各式相加得%022+。2021+“2020」F%+出="2021+2（〃2020+。2019+^2018」卜，I）,

所以。2022=a2020+〃2019+。2018+…+2《，C错误；

因为。2022=^2021+〃2020=%021+〃2019+〃2018

==

二。2021+“2019+42017+。2016>"«2021+〃2019+a2017+。2015+472

=。2021+。2019+々2017+。2015卜/+4,Q正确；

故选：ABD

12.城市的很多街道都呈平行垂直状，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的

方式行走.仿此，如图，平面直角坐标系上任意不重合两点/（、”必），8（X2,刈），线段的中点为

M,中垂线为/.定义A,8间的折线距离以42）=归一々|+|必一词若。（》/）满足或4。="9,8）,

则下列说法正确的是（）

y、、i

[A---------7的2,必)

、'/

U(x")

------------------------------------->

O--------------------------------x

A.无论A,B位置如何，M都满足C的条件

B.当再=%或凶=%时，C可取/上任一点

C.当直线48的斜率为±1时，C可取/上任一点

D.当直线力8斜率存在且不为0时，C均可取/上任一点

【答案】ABC

【分析】根据“折线距离”的定义逐项计算.

五强,江山]d(A,M}=再+乂-卫区=上强+上/

【详解】对于A,(22J,I，।2%222

"8,"々-詈+%一丐A=呼T

2,正确;

_C

对于B,假设演=、2,则/平行于X轴，设[2),则有：

d(4C)=|x]乂+必必2上=忖H+乂2上

y+>，y

</(S,C)=|x2x\+y2'=\x]x\'2'-=d(4,C)

,正确；

同理当乂=%时也正确；

%%=1,%=x2

则有马一看

对于C,设力8的斜率为1,贝1"的斜率为-1,

--+为_丫

y-x—+^^+2^

直线/的方程为：’212),化简得：22,

再，

r(Yr,+X?%()/1+M+XO1-3|

Cxo>xo+、1cdA,C=\x[2=|x,x0\+\x0

设I22J,则

d(B,C)=|X-X|+|X-x\^d(A,C}

200,正确；

同理当48的斜率为-1时也正确;

对于D,不妨假设'（°，°）*（4,2）,则的斜率为5,则/的斜率为-2,

“」）,直线’的方程为JT=-2（X-2）J=-2X+5,在/上取点“0,5）,

则有d（4C）=|0-0|+|0-5|=5,d（8,C）=|4-0|+|2-5|=7,“4C）H"（8,C）,错误；

故选：ABC.

三、填空题

13.经过点（1，-2）且与直线2x7+1=0平行的直线方程是.

【答案】2x-y-4=0

【分析】设出所求直线方程为2x-y+c=°,利用点（1，-2）的坐标求出°,即得答案.

【详解】由题意可设与直线2x-y+l=°平行的直线的方程为2x-y+c=°,

将（1,-2）代入2x-y+c=0,得c=-4,

故经过点（L-2）且与直线2x-y+l=°平行的直线方程是2x-y-4=0,

故答案为：2x-y-4=0

14.已知曲线（左片0）与抛物线V=8x的准线相切，贝必=.

【答案】4

【分析】确定抛物线V=8x的准线为x=-2,得到"=22得到答案.

【详解】抛物线V=8x的准线为x=_2,曲线与x=-2相切，

江工1

故人＞0且kk,则左=22=4.

故答案为：4

15.数列｛2〃｝与｛3"-1｝的所有公共项由小到大构成一个新的数列｛%｝,则q。=.

【答案】56

【分析】根据数列｛2册与｛3〃-D的性质确定数列S，，｝是以2为首项，6为公差的等差数列，从而可

得通项/，即可得《。的值.

【详解】解：数列｛2册与｛3〃-1｝分别是以2,3为公差，2为首项的等差数列，

则新的数列S”｝是以2为首项，6为公差的等差数列，所以a“=2+（〃-l）x6=6〃-4,

故4。=6x10-4=56.

故答案为：56.

四、双空题

工叵|

16.在平面直角坐标系x0中，满足/+/=1的点构成一个圆，经过点I?2J且与之相切的直

线方程是—；类似地，在空间直角坐标系°一.中，满足-+y2+z2=i的点构成的空间几何体

22

~3

是一个球，则经过点33且与之相切的平面方程是

—XH-----V=1—X——V+—Z=1

【答案】22-333

【分析】首先设切线上任一点P（XJ）,利用垂直关系建立等式，转化为切线方程;

设切面上任一点。（X/*）,同样利用垂直关系，转化为数量积表示的等式，即可球切面方程.

则O8J.80,即

212,

-X——y+—Z=1

化简为333

L+"212,

—X——y+—z=1

故答案为：22♦.333

五、解答题

17.如图，在平面直角坐标系x帆上，有点火2，1),以5,-2),C(4,3).

(I)证明："8C是直角三角形;

(2)求“8C的外接圆方程.

【答案】(1)证明见解析

⑵炉+J?_9]_,+]4=0

【分析】(1)由两点之间斜率公式，根据两直线垂直的斜率关系，可得答案；

(2)根据直角三角形外接圆的性质，利用中点坐标公式以及两点之间距离公式，可得答案.

-2-13-1

k—=_]k=~~-=1

【详解】(1)依题意得加5-2,比4-2，所以3屋"w=T,

所以2/C,即是直角三角形.

(2)取8c的中点

所以会的外接圆方程是[一为=T

写成一般式：^2+r-9x-y+14=0

18.已知等差数列S"｝中，%=40,°3+%=76

(1)求｛%｝的通项公式;

(2)若｛""｝的前〃项和为S”，求S，的最大值.

202-2〃

【答案】⑴/-5

(2)2020

【分析】（1）计算6=38,得到等差数列公差，得到通项公式.

1,

S.=——（W2-201W）

（2）计算5,根据二次函数性质得到最值.

d=06一一=

【详解】（1）%+“9=2&=76,%=38,设｛““｝的公差为d,q=40,所以6-15,

…+（〃-”=40.竽=亚产

（2）（法一）"一一》,所以SC是单调递减数列，

202-2%

%=-5~~°

200-2A，八

因为q>°,设但“｝的前4项和最大，则15即上=100或101,

5100=S10,=100x40+x(-||=2020

S”的最大值为2V5>

2（）

j_==nn-l

Cl-A/\\QHCl.Hd

（法二）5,4=40,MJ的前〃项和为S.2,

s”=-1（1-201"）

即5,对称轴“=100.5,

所以"=100或〃=101时S”取最大值,最大值为S。。=Sm=2020.

.《+反=1

19.已知尸为椭圆C/b2~（a>6>0）上一点，耳，耳是C的焦点，PFJPF]

⑴若附|=2附求椭圆C的离心率；

（2）若点P的坐标为（3,可，求椭圆C的标准方程.

【答案】（1「一3

D=1

⑵4520

【分析】⑴设耳4（c,0）,附|=加,则阀|=2①，利用椭圆定义和勾股定理

,c25

p--_______

一§,从而求出答案：

（2）（法一）设耳（一6°）,6©°）,求出附「、女J、忻以，利用尸”门马得

C,再由2aHp用+归用求出“，利用〃=a2-c2,从而得到椭圆方程；

（法二）设耳（-C，。），耳（C，。），利用椭圆定义和勾股定理得归用,-闾=2（/-/）=2吟

C_一俨用.|P乙|=/=-|耳到x4=4c.M八,,,,

—」21-1可得"=4°,由尸（3,4）在椭圆上得9/+16/=//，结合

/=〃+,2解得可得答案

【详解】⑴设6（一C，°）,尸2（c，0）,

依题意，不妨设陶=”,则阀卜2加，

\PFt\+\PF2\=3m=2a‘,25

所以眄『+\PF2f=5〃/=4/解得‘一/一§,

亚

e=—

即3.

（2）（法一）设6（-C,。），玛（c,0）,

则归用2=（3+4+16,|尸用2=（3_4+16,忻闾2=4巴

由用_L用得|P£『+|「周2=1与用2,

即（3+c『+16+（3-c）2+16=4<?,解得c=5,

所以任川=J（3+c）、16=46,附|=J（3-c）2+16=2色

2222

所以2=附|+|尸玛I=6石,gpa=45,b=a-c=20,

x2y2]

故椭圆C的的方程为4520.

（法二）设顼―C5°）,用（G。），

]PF]\+\PF2\=2a

又由1附『+附|2=叱得附口尸闾=2面一02）=2〃，

加5金=小外吐心〃右而品.”J忻用x4=4c

即△尸"22,另一方面△"再2,

所以〃=4c,

2+%

由尸（3,4）在c上得/y,^9b2+i6a2=a2b2,

所以9c+4a2=/c,

又由/=6V+4c,解得c=5,

江+广=1

即下=20,a2=45,即椭圆C的的方程为4520.

20.截至2020年末，某城市普通汽车（除新能源汽车外）保有量为30。万辆.若此后该市每年新增

普通汽车8万辆，而报废旧车转购新能源汽车的约为上年末普通汽车保有量的10%,其它情况视为

不计.

（1）设从2020年起该市每年末普通汽车的保有量构成数列｛七｝,试写出〃，，与4M的一个递推公式，

并求2023年末该市普通汽车的保有量（精确到整数）；

（2）根据（1）中为与“用的递推公式，证明数列｛氏-80｝是等比数列，并求从哪一年起，该市普通汽

车的保有量首次少于15。万辆？（参考数据：09%0.39,09°=0.35,0.9"^0.31,0.9,2«0.28）

【答案】⑴"向=0,9%+8,240（万辆）

⑵证明见解析，2031年末

【分析】（1）根据题意得到递推公式，再依次计算得到答案.

⑵变换得到知+|-80=0.9*（%-80）,得到证明，再计算得到答案.

a=300

［详解］（1）'.%+1=0・9%+8,=0.9x300+8=278>%=09x278+8=258,

所以2023年末该市普通汽车的保有量%=0・9x258+8*24°（万辆）.

（2）%+1=0-9%+8得%-80=0.9、（4,_80）,而q-80=220,

故g-80｝是首项为22。，公比为0.9的等比数列，

所以%-80=220x0.9'T,即=220x0.9"-1+80,

77

解〃.=220x0.9"M+80<150得°9一〈五031〈无<°35,求得〃加2,

即从2031年末开始，该市普通汽车的保有量首次少于150万辆.

21.如图1,边长为2的菱形“58中，ND4B=120。,E,O,尸分别是月8,BD,8的中点.

现沿对角线8。折起，使得平面48O_L平面8CD,连接/C,如图2.

（2）若过E,O,尸三点的平面交/C于点G,求四棱锥/-OEGF的体积.

_3

【答案】⑴4

旦

⑵12

诙=（0,一直一、

【分析】（1）证明W平面B8,建立空间直角坐标系，得到I22A

OF=（L^o\

（22人再计算夹角得到答案.

（2）计算平面OEG尸的法向量为”=63,6,3）,再计算A到平面OEGE的距离为'=亍，最看计

算体积得到答案.

【详解】（1）连接°”，℃,平面48。，平面8c。，平面48。c平面88=80,

OA1BDfCMu平面480,故04_L平面BCD,

分别以℃,0。，°4所在直线为x,y,Z轴建立空间直角坐标系，

则”0,0,1）,8（0,-后0）C（l,0,0）,09,乙0）,

—=卜，一0F=（L^Q

因为之产分别是48,8的中点，所以I22）,122

_3

OEOF24_3

cos/EOF==

\OE\-\OF\1x14

所以

（2）连接EG,FG,AF,

设平面°EG尸的法向量为〉=（x，%z）,则万.赤=0,n-OF=0,

必+]4=0

2

1%=。

令乂=有，贝产=-3,4=3,所以万=G3，&，3）,

即

AEn3

荏=h=

设A到平面0EGF的距离为〃，而PT一标一〒

依题意得四边形°EG9是-个菱形，血尸«0,兀），sm/EOF-Jl-布

所以%娜=2邑四==不，

v_1<,