平面几何地重要定理

PAGEPAGE3平面几何的重要定理平面几何是竞赛数学的重要内容，在解平面几何问题时，除应掌握平面几何证明的方法与技巧外，还要掌握平面几何的一些重要定理.下面对这些定理作一介绍.1．基本原理定理1（梅涅劳斯定理Menelaus）设分别是的边或其延长线上的点，且在边的延长线上的点的个数为奇数，则三点共线的充要条件是： .证必要性：设三点共线，如图1，过作交于，则，.图1充分性：设 （1）直线交的延长线于，则由必要性的证明知 （2）由（1），（2）得，从而由合比定理得： ，所以与重合.注定理1中要求中有奇数个点在其边的延长线上是必要的，否则结论不一定成立.例如，取分别为的中点，则有，但此时不共线.定理2（塞瓦定理Ceva）设分别是的边或其延长线上的点，且有偶数个点在边的延长线上，则三线共点或互相平行的充要条件是 .证必要性：若交于一点，如图2，因为分别交的三边于，由海涅劳斯定理得图2 （1）又直线分别交的三边于，由梅涅劳斯定理得 （2）（1）×（2）得.若，如图3，则，从而有.图3充分性因中必有一点在三角形的边上，不妨设点在边上，若与相交于点，如图2，连交边于，则由必要性的证明知 ，又，从而有，即，故与重合.所以三线共点.若，如图3，则 ，又从而有故所以，所以.定理3（斯特瓦尔特定理Stewart）设是的边上一点，则 （*）证如图4，设，则.在中，由余弦定理知 （1）在中，由余弦定理知 （2）图4（1）×（2）×，得 斯德瓦尔特定理给出了用的边长计算的公式.事实上，要确定点在上的位置，只需给出的值.设，则，从而有，，将代入（*）式即可用表示.特别地，当点为的中点时，，可得中线长公式 当为的平分线时，由角平分线定理知 ，从而可得角平分线长公式： ，其中分别为中所对的边长.定理4（托勒密定理Ptolemy）在凸四边形中，有 ，其中等号成立的充要条件是为圆内接四边形.证如图5，作，则∽，从而有 （1）又在与中，（因为∽）图5∽，从而有 （2）（1）+（2）得 等号成立的充要条件是点在线段上.又当点在线段上时，由作法知，从而有四点共圆.反之，当四点共圆时，易证点在线段上，故结论成立.定理5（西姆松定理Simson）从外一点P分别作三边的垂线，垂足为，则共线的充要条件是点在的外接圆上.证必要性如图6，设共线，因为四点共圆，四点共圆，从而有，所以四点共圆.充分性：设四点共圆，则 （1）又因为四点共圆，所以图6 （2）由（1），（2）知 （3）又因为四点共圆，所以 （4）将（3）代入（4）得 所以三点共线.注：当在的外接圆上时，人们把直线称为关于点的西姆松线.定理6（欧拉定理Euler）设的外心、重心、垂心分别为，则三点共线，且.证如图7，延长交于，延长交于，延长交于，则，为的中点.连，延长交的外接圆于点，则为的中点，.又图7.在四边形中，，所以为平行四边形，所以 .设交于，则由，知∽，所以.又在上，且，与重合，故三点共线.又，故结论成立.注：人们常把三点所连成的直线称为欧拉线.2．定理的应用梅涅劳斯定理提供了用直线截三角形的三边产生比例式的方法，也提供了三点共线的数量特征.塞瓦定理提供了由3线共点产生比例式的方法，也提供了三线共点的数量特征.斯特瓦尔特定理提供了三角形一顶点与对边上一点的连线长的计算公式.托勒密定理提供了圆内接凸四边形的边与对角线之间的等量关系，也提供了证明四点共圆的方法.西姆松定理提供了证明三点共线的又一方法.欧拉定理给定了三角形的外心、重心与垂心之间的位置关系与数量关系，下面说明这些定理的应用.例1在中，为的中点，为上一点，交于，如图8，已知 （1）求证：平分角.分析要证平分，只需证明 （2）图8因此需要沟通（1）式与（2）式的联系.由于图中有直线割三角形，所以可用梅涅劳斯定理再建立一个等量关系.注意到梅涅劳斯定理的等式中，割线上的线段不在等式中出现.因此我们选用割三角形.证由梅涅劳斯定理得 （3）因为为的中点，所以，代入（3）得 （4）由（1），（4）得,,所以平分.在中，是的中点，平分，在上的射影为，交于，如图9，求证：.分析要证，需证，而是两交线与分三角形的边所成的线段，因而可连交于，再对用塞瓦定理，得图9 将代入上式，得，故需证，即需证为的中点，再结合涉及中线与角平分线时的辅助线的作法可得如下证法.证连并延长交于，延长相交于，因为，平分，所以为等腰三角形，从而有 .又因为为的中点，为的中点，所以，所以为的中位线，所以，再由塞瓦定理和上面的分析易知 ,从而有.例3在中，已知，是的平分线，为上一点且，如图10，求证：.分析要求出，由斯特瓦尔特定理知只需求出点与点分所成的比.证设，则.图10又因为平分，所以，由斯特瓦尔特定理知：所以 （1）又，代入（1）得 .例4从锐角的外心分别向三边作垂线，垂足分别为，设的外接圆和内切圆的半径分别为，求证.分析如图11，由于，又四点共圆，所以可用托勒密定理建立与的联系.证如图11，连结，设的所对的边长分别为，因为图11四点共圆，所以由托勒密定理知 ,即. （1）同理可得 （2） （3）（1）+（2）+（3）得 （4）又因为 （5）由（4），（5）得 ,.例5的顶点A在与的内角平分线和外角平分线上的射影分别为，如图12，为的内心，求证：共线.分析要证垂足共线，可考虑用西姆松定理.证延长交于点，因为是从点分别向的三边所作的垂线.图12又所以四点共圆.由西姆松定理知三点共线.同理可证共线，从而知四点共线.例6设分别为的边的中点，求证：的外心在的欧拉线上.分析因为的重心与的重心重合，所以的外心在的欧拉线上的充要条件是的垂心在的欧拉线上，易证的垂心为的外心.证设的外心为，重心为，垂心为，由于的三条中线与的三条中线分别重合，所以与的重心重合.如图13，因为为的垂直平分线，而.同理可证，为的垂心，所以的欧拉线与的欧拉线重合，故的外心在的欧拉线上.图13习题91．如图，的的外角平分线与边的延长线交与，的平分线与边交于，的平分线与边交于，求证：三点