2022-2023学年江苏省盐城市响水县灌江高级中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省盐城市响水县灌江高级中学高二上学期期末数

学试题

一、单选题

1.设S“是等差数列｛4｝的前〃项和，已知%=3,4=11，则&等于（）.

A.13B.35C.49D.63

【答案】C

=a1+d=3,,

【详解】试题分析：依题意有｛一一解得的=l,d=2,所以£=74+21”=49.

【解析】等差数列的基本概念.

【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念.在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为6和d

等基本量，通过建立方程（组）获得解.即等差数列的通项公式为=q+5-1M及前〃项和公式

5,=幽詈2=〃4+若2”，共涉及五个量q,d,〃,a”,s“，知其中三个就能求另外两个，即知三求

二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等

差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量生、d,掌握好设未知数、列出方程、解方程三

个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.

22

2.双曲线工-二=1的焦点到渐近线的距离为（）

42

A.y/2B.2C.RD.逅

3

【答案】A

【分析】根据点到直线距离公式进行求解即可.

【详解】由双曲线的标准方程可知：a=2,b==c=+股=J4+2=5/^，

该双曲线的焦点坐标为：（±布,0）,

双曲线的渐近线方程为：y=±^x^±42x-2y=0,

所以焦点到渐近线的距离为：酬竺

"（±0）2+（-2）2

故选：A

3.已知曲线y=«e，+xlnx在点(1,a)处的切线方程为y=2x+8,贝ij

A.a=e,b=-\B.a=e,h=\C.a=e'',b=\D.a=e'',b=-\

【答案】D

【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得。，将点的坐标代入直线方程，求得人

【详解】详解：y'=ae*+lnx+l,

k=y'\x^=ae+\=2,

将(1/)代入y=2x+6得2+b=l,匕=-l,故选D.

【点睛】本题关键得到含有a,〃的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系.

4.己知两点A。,-2),8(2,1),直线/过点P(O,-1)且与线段A8有交点，则直线/的倾斜角的取值

范围为()

7T3兀

B.21~4

兀兀、，兀3兀

D.一,_u―,—

42)(24

【答案】C

【分析】作出图形，求出抬,尸8的斜率，数形结合可求得直线/的斜率的取值范围，再由斜率与倾

斜角的关系可求出倾斜角的取值范围.

【详解】如图所示，直线厚的斜率如=含=一1,直线28的斜率%=丹=1.

由图可知，当直线/与线段A8有交点时，直线/的斜率

因此直线/的倾斜角的取值范围是0,-u-，兀.

L4」［4)

故选：C

5.已知｛〃〃｝是等比数列，生=2,=—,则4。2+。2〃3~*,+“〃〃〃+]=()

A.16(1-4-")B.16(1-2-")C.y(l-2-")D.争-4")

【答案】D

【分析】由%=2,%=；,可求出公比，从而可求出等比数的通项公式，则可求出凡。,用=(；产-5,

得数列是一个等比数列，然后利用等比数的求和公式可求得答案

a,11

【详解】由题得/=43=静

482

所以卬=叱2=2x(/=(；)4,

所以"尸(》"3•(#=(；尸.

所以色也=；,所以数列｛a„a„+l)是一个等比数列.

an-ia/i4

8U-(：)"]32

所以4%+%为+…+”,4用=----1=vf1-4^)-

1--3

4

故选：D

6.设/*)为可导函数，且满足lim)⑴则曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线的斜率

是

A.2B.-1C.yD.-2

【答案】D

【详解】由题，/(x)为可导函数，

/(l)-y(l-x)i./(l)-/(l-x)

•/hm——--------=-1=—hm——--------=-1=＞hm---L----=-2

XT。2x21。XXT。-X

⑴=-2,即曲线y=/(x)在点处的切线的斜率是-2,选D

【点睛】本题考查导数的定义，切线的斜率，以及极限的运算，本题解题的关键是对所给的极限式

进行整理，得到符合导数定义的形式.

7.已知S,是等差数列｛a,,｝的前〃项和，的＞0,品＜0,则S”的最小值为()

A.S4B.55C.S6D.5,

【答案】C

【分析】根据与＜0,可得％＜°，再根据的＞0,得”＞0,从而可得出答案.

【详解】解：因为工="♦；"!■!)=114<0,所以/<0，

又％=%+”>(),所以">0,

所以S“的最小值为工,.

故选：C.

8.已知双曲线C:\-£=l(a>()/>0)的左、右焦点分别为"，尸2,。为坐标原点，P为双曲线在第

一象限上的点，直线PO,尸鸟分别交双曲线C的左，右支于另一点M,N,若|P耳|=3|「6|,且

NM^N=60。，则双曲线的离心率为()

A.更B.3C.2D.也

22

【答案】D

【分析】由双曲线的定义可设I产鸟1=〃，1尸耳=3°,由平面几何知识可得四边形鸟为平行四边形,

三角形耳加入，用余弦定理，可得。，c的方程，再由离心率公式可得所求值.

【详解】由双曲线的定义可得归用-归用=2a,

由归娟=3|P用，可得|「闻=%|P同=3%

结合双曲线性质可以得到|PO|=|何。|,

而帆a=怩a，

结合四边形对角线平分，

可得四边形p不明为平行四边形，

结合N“EN=60。，故乙=60。，

对三角形耳加巴，用余弦定理，得到闾2_忻片「=2阿用眼RcosN呼叫，

结合出周=3|尸园,可得|峥|=〃，

|螭|=3a,上周=2c,代入上式子中，

得到/+9a2-4c2=3a2,即la2=4c2,

结合离心率满足e=£,即可得出《=也，

a2

【点睛】本题考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.

二、多选题

9.直线，：x—l=，"(y-l)和圆x?+y2-2y=0的位置关系是()

A.相离B.相切或相离C.相交D.相切

【答案】CD

【分析】直线/：x-i=，〃(y-D恒过点(1,1),且点(1,1)在圆上，直线的斜率不存在或存在且

不为0,结合图形判断直线=和圆工2+产-27=0的关系.

【详解】圆9+产-2)，=0可化为》2+(＞一1)2=1

圆心为(0,1),半径为1,

..•直线/：x—l=，w(y—1)恒过点(1,1),且点(1,1)在圆上

当机=()时，直线/:X-l='〃(y-l)与圆f+y2-2y=0相切，

当机片0时，直线/：x-l=机(丫-1)与圆W+y?-2y=0相交，

直线/:x-l=,w(y-1)和圆x2+y2-2y=0的关系是相交或相切，

故选：CD.

10.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中

的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国

传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,

40,50,则下列说法正确的是()

A.此数列的第20项是200B.此数列的第19项是180

C.此数列偶数项的通项公式为％“=2〃2D.此数列的前"项和为=

【答案】ABC

【分析】首先寻找出数列的规律，归纳出通项公式，然后判断各选项即可.

【详解】观察此数列，偶数项通项公式为出“=2"，

奇数项是后一项减去后一项的项数，4,1=%”-2〃，故C正确；

由此可得生o=2xl()2=200,故A正确；

《9="20-2°=18°,故B正确；

S.=〃(〃-1)=〃2-〃是一个等差数列的前〃项，而题中数列不是等差数列，

不可能有故D错误.

故选：ABC.

11.如图所示，一个底面半径为血的圆柱被与其底面所成的角为。=45。的平面所截，截面是一个

椭圆，则()

A.椭圆的长轴长为4

B.椭圆的离心率为乂2

4

C.椭圆的方程可以为《+$=1

42

D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2-a

【答案】ACD

【分析】结合图象根据椭圆的长轴，短轴的几何意义求椭圆的。，匕，由此判断各选项.

【详解】设椭圆的长半轴长为。，椭圆的长半轴长为方，半焦距为c,

由图象可得2acos45=2及，,。=2,

=>/2>c1=a2—h2<

C=y/2，

椭圆的长轴长为4,A对，

椭圆的离心率为交，B错，

2

圆的方程可以为=C对，

42

椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2-&,D对，

故选：ACD.

12.己知函数/(x)=x+sinx-xcosx的定义域为［-2乃,2万)，则()

A.f(x)为奇函数

B.f(x)在［0,p)上单调递增

C.f(x)有且仅有4个极值点

D.f(x)恰有4个极大值点

【答案】BC

【分析】由函数的定义域不关于原点对称，可知函数是非奇非偶函数，求出函数的导数,

利用导数分析函数的单调性与极值.

【详解】因为/(X)的定义域为［-2万,2万)，定义域不关于原点对称，

所以f(x)是非奇非偶函数，

又(x)=1+cosx-(cosx-xsinx)=1+xsinx,

当xi［O,p)时,f\x)>0,则在［0,p)上单调递增，

显然广(。)/0,令/'(x)=0,得sinx=」，

X

分别作出y=sinX,产一在区间［-2旗2")上的图象，

由图可知，这两个函数的图象在区间[-27,2乃)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相

切，

故/(x)在区间[-2%,2%)上的极值点的个数为4,且/(x)只有2个极大值点,

故选：BC.

三、填空题

13.直线4：mx+2y+\=Q,l2：x+(m-l)>'-l=0,若///4，则相=.

【答案】2

【分析】由两直线平行的判定列方程求参数，注意验证排除重合的情况.

【详解】由题设，=贝I],/-机-2=(/n+l)(相-2)=(),

所以〃7=-1或机=2,

当m=一1,1]：-x+2y+l=0,12：尢一2》一1=0重合，不合题设；

当帆=2,/,：2x+2y+l=0,l2：x+y—l=0平行，满足题设；

故m=2.

故答案为：2

14.函数y=；x2-lnx的单调减区间为.

【答案】(0,1)

【分析】利用导数研究函数单调性即可得到结论.

【详解】解：r(x)=.r--=—=U+1)U~1),x>0,

XXX

由/'(x)<(),即(x+l)(x-l)<0,解得一1<X<1,

■.•x>0,.-.0<x<l,即函数的单调减区间为(0,1),

故答案为：(0,1)

15.已知数列｛4｝满足4=1,且。用=含.则数列｛4｝的通项公式为4=.

【答案】-

n

【分析】倒数型求数列通项公式，第一步求倒数，第二步构造数列，求通项.

【详解】因为4向=-7,所以二［--'=1,所以数列盥-是首项为1,公差

«„+■4向anan%+la„糠“

为1的等差数列，所以-^=〃，4=1

4,n

故答案为：—.

n

16.若椭圆/■+£=i（a>b>0）和圆/+丫2=（|+C）2（c为椭圆的半焦距）有四个不同的交点，则

椭圆的离心率e的取值范围是.

【答案】（增,|）

【分析】当圆的直径2/"=6+2c介于椭圆长轴和短轴长度范围之间时，椭圆和圆有四个不同的焦点，

由此列不等式，解不等式求得椭圆离心率e的取值范围.

【详解】由于椭圆和圆有四个焦点，故圆的直径2r=/7+2c,介于椭圆长轴和短轴长度范围之间，即

2/><6+2c<2«.由得。<2c,两边平方并化简得［<二■<1,即造^<e<1①.由6+2,<2«得

5a25

b<2a-2c,两边平方并化简得5e2—8e+3>0,解得0<e<3②.由①②得更<e<3.故填

555I55J

【点睛】本小题主要考查椭圆和圆的位置关系，考查椭圆离心率取值范围的求法，属于中档题.

四、解答题

17.已知以点A（-1,2）为圆心的圆与直线小x+2y+7=0相切，过点B（-2,0）的直线/与圆A相交于

M,N两点，。是的中点，|MN|=2炳.

⑴求圆A的标准方程；

（2）求直线/的方程.

【答案】（l）（x+l）2+（y-2『=2O

⑵x=—2或3x-4y+6=0

【分析】（1）由圆与直线相切结合点线距离公式可得半径，即可求得标准方程：

（2）分别讨论直线/与x轴垂直与否，设出直线方程，结合垂径定理、点线距离公式列方程即可解

得参数.

由圆与直线卜x+2y+7=0相切得R=t±^tZl=2石,

【详解】（1）设圆A半径为R,

•••圆A的标准方程为(x+l『+(y—2)2=20.

(2)i.当直线/与X轴垂直时，即X=—2,止匕时|MN|=242石)一(-1+2『=2炳,符合题意;

ii.当直线/不与x轴垂直时，设方程为'=%(工+2),即y+2/=0,

_,_____|-k-2+2用3

。是MN的中点，|MN|=2M,4Q=j20-19=1,即AQu1~~f-——1=1,解得左=二，，直线/

a+14

为：3x—4y+6=0.

・・•直线/的方程为x=—2或3x—4)，+6=0.

18.在公差为d的等差数列｛%｝中，已知6=10,且％,2%+2,5%成等比数列.

(I)求。〃；

(II)若d<0,求同+同+|丹卜---卜同.

f121/h

——n2Hn.n<11,

【答案】(1)氏=-〃+11或6=4〃+6.(II)22

-n2-—H+110,n>12.

、22

【详解】试题分析：

(I)由题意求得数列的公差"后可得通项公式.(II)结合条件可得为=f+11,分”411和“212两种

情况去掉|q,|中的绝对值后，利用数列｛《,｝的前n项和公式求解.

试题解析：

(I)•.•4,24+2,5%成等比数列，

(2a2+2)'=5a③冽>

整理得12_31_4=0,

解得d=—1或4=4,

当d=—1时，cin=10-(w-l)=—n+l1；

当d=4时，an-10+4（/i—l）=4/1+6.

所以=-〃+11或4=4〃+6.

(II)设数列｛%｝前〃项和为S〃，

一〃+11,

当时，&=一〃+11之0,

[221

.•・同+同+|蜀+…+|qj=q+/+---+6F,,=Srt=--n+—n；

当“212时,an=-n+ll<0,

同+同+…+…+|4|

=%+%+••,+〃[]_

=S“-(S,,-Su)

=-\+2S„

33+U0.

22

1221…

——n+—n,n<l1,

22

综上图+同+…+|。“|

—n2-—H+110,n>12.

,22

9

9已知数列&｝的前〃项和S,二蟹

（1）求数列｛4｝的通项公式;

⑵求数歹I」申的前〃项和q.

【答案】（1）4=〃

⑵7；=2—甯

【分析】（1）利用S,与的关系求数列｛4｝的通项公式；

（2）利用错位相减法求和即可.

【详解】（1）因为S,,=正2,故当"N2时，S=（〃一］+（〃―1）,

22

两式相减得%=〃（〃N2）,

又由题设可得《=，=望=1,

从而｛4｝的通项公式为：«„=»；

⑵因为I=:+假+—+…+£,

1123n-1n

产下+无+及+…+『尹’

两式相减得•(1)

lr=l+±+l++±-2L=2~F_2L=I_ZLL2

用L或传.2"222232"2n+1,12n+,2B+,

1----

2

所以r=2-〃岁+2•

20.已知函数f(x)=gx3-；(a2+a+2)x2+a2(a+2)x,aGR.

(1)当a=-l时，求函数y=f(x)的单调区间；

(2)求函数y=f(x)的极值点.

【答案】(1)递增区间为(-00,+oo)；(2)见解析

【分析】(1)先求解导数，利用导数取值的正负可得单调区间；

(2)先求解导数，结合导数零点情况判断函数极值点的情况.

【详解】(1)当a=-l时，f(x)=1x3-x2+x.V/(x)=x2-2x+l=(x-1)2>0,

故函数在R内为增函数，单调递增区间为(-00,+oo).

(2)V/(x)=x2"~(a2+a+2)x+a2(a+2)=(x-a2)[x-(a+2)],

①当a=-l或a=2时，a2=a+2,•••/'(x)加恒成立，函数为增函数，无极值；

②当a<-l或a>2时，a2>a+2,

可得当xd(-00,a+2)时，.f'(x)>0,函数为增函数；

当xC(a+2,a2)时，/'(x)V0,函数为减函数；

当xd(a2,+oo)时，/(x)>0,函数为增函数.

当*=2+2时，函数有极大值f(a+2),当x=a2时，函数有极小值f(a2).

③当一l<a<2时，a2Va+2.

可得当xW(-00,a2)时，/(x)>0,函数为增函数；

当xd(a2,a+2)时，f'(x)<0,函数为减函数；

当xd(a+2,+oo)时，f'(x)>0,函数为增函数.

当*=2+2时，函数有极小值f(a+2)；当x=a2时，函数有极大值f(a2).

综上可得：当a=-l或a=2时，函数无极值点；当aV-l或a>2时，函数有极大值点a+2,函数

有极小值点a2；当-l<a<2时，函数有极大值点a2,函数有极小值点a+2.

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值点问题，函数的极值点为导数的变号零点,

侧重考查数学运算的核心素养.

21.已知椭圆c：5+A=ig>/7>o)的离心率为孝，片，工分别为椭圆C的左，右焦点，M为

椭圆C上一点，△“打鸟的周长为4+2后.

(1)求楠圆C的方程；

(2/为圆/+丁=5上任意一点，过P作椭圆C的两条切线，切点分别为A,B,判断丽・丽是否为

定值?若是，求出定值：若不是，说明理由，

【答案】⑴三+丁=1

4

(2)是;PAPB=O

【分析】(1)由离心率和焦点三角形周长可求出&C,结合关系式得出匕，即可得出椭圆C的方程；

(2)由尸8平行于y轴特殊情况求出而.而=o,即％松/徵=-1；当尸8平行于y轴时，设过p的直

线为y=Mx-%)+%,联立椭圆方程，令△=()化简得关于A的二次方程，由韦达定理即可求解.

【详解】(1)由题可知，e=£=3,2“+2c=4+2道，解得”=2,c=百，又解得2=1,

a2

故椭圆的标准方程为：—+J2=1;

(2)

如图所