2023年全国新高考Ⅰ卷（新课标1）高考数学试卷真题（含答案逐题详解）

数学试题第数学试题第1页(共4页)绝密★启用前试卷类型：A2023年普通高等学校招生全国统一考试(新高考I卷)数学本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.2.3.4.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。考生必须保持答题卡的整洁。考试结朿后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合A/=(-2,-1,0,1,2},N={x|j_x_6,0},则M^N=A.{—2,—1,0,1}B.{0,1,2}C.{一2}D・{2}2.A.-iB.iC.0D.13.已知向量a=(1,1),A=(1,-1).若(。+而)丄(。+/小)，则B.A+//=—1C.M=1D.M=T4.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+<o)4.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+<o)设函数fix)=在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是5.设椭圆q：%+丁=w>1),c,：—+/=1的离心率分别为弓,a "45.6.A.2>/33B.D.V6过6.A.2>/33B.D.V6过(0,-2)与圆x2+y2-4x-\=Q相切的两条直线的夹角为。，则sina=1记&为数列｛%｝的前”项和，设甲：｛%｝为等差数列：乙：｛?｝为等差数列，则n甲是乙的充分条件但不是必要条件甲是乙的必要条件但不是充分条件甲是乙的充要条件甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件己知sin(a-/?)=-,cosasin/7=，,则cos(2a+ =A.B.C._9D._7_A.B.C._9D._7_9二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分。有一组样本数据.rpx2,.-,x6,其中*是最小值，a;是最大值，则易，玉，心，七的平均数等于工"2，.,%的平均数易，玉，工4，改的中位数等于X,,X2,,X6的中位数x2,x^,x4,x5的标准差不小于X],尤2,,七的标准差X2,X^,X4,X5的极差不大于为,沔，，工6的极差噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级L,,=20x其中常数po(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级:声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060-90混合动力汽车1050-60电动汽车1040己知在距离燃油汽车，混合动力汽车，电动汽车10m处测得实际声压分别为Pl，p2,P3,则A.P|Np2B.A.P|Np2B.p2>10p3C.P3=100poD.rW100p2A./(0)=0A./(0)=0C./(x)是偶函数H.已知函数/⑴的定义域为R,/(”)=)<f(x)+x"(y),则B.六1)=0D.才=0为/(》)的极小值点数学试题第2页(共4页)数学试题第数学试题第#页（共4页）下列物体中，能被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有直径为0.99m的球体所有棱长均为1.4m的四面体底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体底面直径为1.2m,高位0.01m的圆柱体三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）.在正四棱台ABCD-ABCU中，AB=2,4鸟=1,M=扼，则该棱台的体积为 己知函数f（x）=coscox-\（（o>Q）在区间[0,2n],有且仅有3个零点，则刃的取值范围是 已知双曲线C:三•-耳=1（0>0,8>0）的左、右焦点分别为鸟，F2.点/在。上，点8在y轴上，F2A=~F2B,则C的离心率为 . 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（10分）已知在△48C中，A+8=3C,2sin（A-C）=sin«.（1） 求sin4:（2） 设AB=5,求人8边上的髙.（12分）如图，在正四棱柱ABCD_ABGU中，AB=2,44,=4.点A?,B2,C2,侃分别在棱M，BBi，CCX,DDt±.,AA2=\,BB2=DD2=2,CC2=3.（1） 证明：B2C2//\D2；（2） 点P在棱84上，当二面角P-AC,-D2^J150。时，求&P.（12分）己知函数f（x）=a（ex+a）-x.（1） 讨论/（x）的单调性；（2） 证明：当白＞0时，求证：/U）＞21n«+|.（12分）设等差数列0｝的公差为d，且d＞l.令如=■匀，记7；分别为数列｛%｝,｛々｝的an前n项和.（1） 若3角=3%+%,§+7；=21,求｛《J的通项公式：（2） 若｛"｝为等差数列，且S的-心=99,求（12分）甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5.（1） 求第2次投篮的人是乙的概率；（2） 求第，次投篮的人是甲的概率；（3） 己知：若随机变量X,服从两点分布，且P（Xj=1）=1-P（Xj=0）=冬,i=则£（饮）=£"记前，，次（即从第1次到第"次投篮）中甲投篮的次数为V,求E（Y）.；=! r=i（12分）在直角坐标系xQy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0,9的距离，记动点户的轨迹为（1） 求附的方程；（2） 己知矩形ABCD有三个顶点在呼上，证明：矩形ABCD的周长大于以.2023年全国统一高考数学试卷（新课标I卷）（适用地区：山东、广东、湖南、湖北、河北、江苏、福建、浙江）注意事项：答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.己知集合〃={一2,-1,0,1,2},N={x|x2_x_6N0},则=A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2}C.{-2}D-{2}【答案】C【解析】•.•/_x_6N0。(x-3)(*+2)耳，N=g-2]U[3,4<o),又M=(-2,-1,0,1,2},.・.〃nN={-2},故选C.2.已知z=———,则z-3=2+21A.-i B.iC.0D.1【答案】A【解析】3=±±=0项1)=&=-2+2i2(l+i)(l-i)41._1.-项，券"z“3.己知向量q=(1,1),方=(1,-】).若(a+Zb)±(a+/jb)则A.人+〃=1 B.2+//=-1C.2//=lD."=一1【答案】D【解析】由题意得4+払=（1+人,1一；1）,4+夂6=（1+//,1-“），•.•（口+払）丄伽+/^），（。+您）・（4+/^）=0艮卩（1+人）（1+#）+（1—人Xl-"）=0，整理得加=-1，故选D.4,设函数在区间（0,1）单调递减，则。的取值范围是(-oo,-2] B.(-2,0) C.(0,2] D.[2,-ko)

【答案】D【解析】・.・y=2x在R上是单调増函数，.•.函^=x(x-a)=(x--)2-—在(0,1)上单调递2 4减，.•.；Nl=»々e[2,+co),故选D.设椭圆G：号+*2=](白>1),c2z^-+y2=1的离心率分别为e】’e?.若e?=,则。=A2f B.41 C.>/3 D.\/6【答案】A【解析】由。2=国，得涉=3涉，即土1=3•写，解得。=瓯.过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-\=0相切的两条直线的夹角为a,贝ijsina=1 B.匝 C.晅 D.亟4 4 4【答案】B【解析】圆C：x2+y2-4x-l=0化简得(x-2)2+y2=5,圆心为C(2,0),r=y/5,设Z.CPA=0则a=20Z.CPA=0则a=20如图湿0=岩=我则cosO=^=2V2=匝C.甲是乙的充要条件=匝C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件又不是必要条件sina=sin20=2sin^cos记％为数列｛%｝的前项和，设甲：｛%｝为等差数列；乙：[斗｝为等差数列，则A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件【答案】C【解析】数列｛%｝为等差数列+b=S“=〃S—受=斗=加*25为等差数列，所以甲是乙的充要条件'己知sin(a-0)=；,cosasin^=\,则cos(2a+2")=3 6a，6a，6B-9以-9【答案】B【解析】已知sin(a-^)=sinacos/?-cosasin/?=-,cosasin^=-,3 6所以sin(a+/?)=sinacosP+cosasin,所以cos(2a+2p)=cos2(a+/?)=l-2sin2(a+^)=l-2x^—J=-二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。有一组样本数据玉,沔,・••,*，其中也是最小值，％是最大值，则习,毛,工4，毛的平均数等于Xl,x2,,x6的平均数x2,xitx4,x5的中位数等于不，也,…,％的中位数x2,xi9x4,xs的标准差不小于为％,…,％的标准差d%%的极差不大于xpx2,,x6的极差答案：BD【解析】对于选项A,如1、2、2、2、4的平均数不等于2、2、2、2的平均数，故错误对于选项B,不妨设玛寻3。4。5，今不，工4，毛的中位数为—；利,不％,…,％的中位数为心1,所以B正确；2对于选项C，內,易,・・・,七的数据波动性更大，所以C错误；对于选项D,不妨设沔。3寻4寻5，则玉小2寻3。4寻5。6，所以毛-，力6-玉，故正确•噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度最声音的强弱，定义声压级4=20xlg£,其中常数Po(p°>O)是听觉下限阈值，p是实际声压，下表为不同Po声源的声压级A.p*2【答案】ACDB.A.p*2【答案】ACDB.如>1°史3C・p3=100poD.Pi<100pz声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060〜90混合动力汽车1050〜60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处洲得实际声压分别为P”P2，P3则燃油汽车厶=20xlgAG[60,90],PoTOC\o"1-5"\h\z/.A=10^,Lpie[60,90] ①Po色=102。，厶司50,60] ②Po%= =io2=ioo ③p。对于A选项，由表知,所以4正确;如-如1 n对于B选项，②+③，典=1020w[102,10p,・.・查＜10,所以B错误

P3 An妬对于C选项，冬=1。2。=1()2=100,所以C正确Po如-如对于D选项，GXg),4=1020c[10°,102],.・.4即,100],P/100P2,所以D正确Pl P2已知函数/(X)定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)^贝VA./(0)=0 B./(1)=0C./(x)是偶函数 D.x=0为/3)的极小值点答案：ABC对于选项A,令x=0,*=0,/(0)=0,所以A正确；对于选项B,令x=l,y=\,/(Ix1)=I2x/(I)+12x/(I)=2/(I)=>/(I)=0所以B正确;对于选项C,令工=-1,*=-1,/[(-I)x(-1)]=(-I)?x/(-l)+(-1)2x/(-l)=2/(-1)n/(-I)=0再令X=_l,y=X，/[(-I)xx]=x2x/(-l)+(_1)2Xf(x)=/(-x)=f(x)所以C正确；对于选项D,函数/(同=0为常数函数，且满足原题f(xy)=y2fM+x2f(y)t而常数函数没有极值点，所以D错误.下列物体，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有直径为0.99m的球体所有棱长均为1.4m的四面体底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体答案：ABD

对于A选项，正方体内切球直径为1米，故A正确；对于B选项，如图，正方体内部最大的正四面体棱长为皿＞1.4,故B正确;对于C选项，如图，底而直径为0.01米，可忽略不计.高为1.8米，可看作高为1.8米的线段，而体对角线为0V1.8,故C错误对于D选项，如图，高为0.01米，可忽略不计，看作直径为1.2米的平面图.E、F、G、H、I、J为各棱中点，六边形EFGHIJ为正六边形，其棱长为孚m,其内切圆直径为FH.AZGFH=ZGHF=30°,:・FHFH.AZGFH=ZGHF=30°,:・FH=WfG=y[^GH=^m,修）=§＞（1.2）2=1.44所以D选项正确三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）.【答案】64【解析】若选修2门课，则需要从体育类和艺术类中各选择1门，共有C；C：=16种；若选修3门课，则分为两种情况，2门体育类1门艺术类或2门艺术类1门体育类，共有2C：C：=48种；故选课方法一共有48+16=61种.

在正四棱台4BCD-ABCQi中，刀8=2,础=1,絕邓,则该棱台的体积为 【答案】华0【解析】在等腰梯形MC/C中，AC=24i,A,C,=5/2,AA{=41，则力=V=S(S+§+廁“=!(1+4+序7)x^=平已知函数/(x)=cos6yx-l(ey＞0)在区间[0,2可有且仅有3个零点，则刃的取值范围是【答案】[2,3)【解析】xe[0,2z],coxe[0,2am],则4兀《25＜6兀，所以2《企＜3. 已知双曲线。:&一4=1(。＞°他＞0)的左右焦点分别为£禹.点N在C上，点B在yab轴上，曲丄薜，F\A=--F\B，则C的离心率为. 【答案】学【解析】设BF2=3m,则有AF2=2mtBF}= =2m+2a在RMB鸟中，（5m）2=（3/n）2+（2m+2a）2BP3m2=2am+a2即o=或。=一3?«（舍），又cos/-AF^=-cos/BF^F、,即伽八闵一伽+2弑=工,即cF_2g_%.2x2mx2c代入a=m,有2x2mx2c代入a=m,有e=~^~四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(10分)已知在心C中，A+B=3C,2sin(4—C)=sin3.求sin-4；设43=5,求力8边上的高.【答案】(1)聲：(2)6.【解析】（1）因为A+B+C=兀,A+B=3C,所以A+B+C=4C=7rf解得C=^,4所以2sin（J-Q=sin（^+C）,即2sinJcosC-2cosJsinC=sinJcosC+cosJsinC,化简得sinJcosC=3cosAsinC,所以sinJ=3cosJ,因为sin'力+海2刀=],0<A<7Tt解得sinA=2^1210TOC\o"1-5"\h\z(2)由sinA=^12.得，cos/="Q,所以sinB= ,10 10 5m壮中理AB AC BC負 5 AC BC由正弦定理^―=-—=—得，-f==—==—=,sinC sinB sin/I V2 2v5 3V10T—~\0~解得^C=2>/i0,BC=3$,设SB边上的高为h,由三角形的面积公式，-ACBC^C=-ABh,2 2解得人=6.（12分）如图，在正四棱柱ABCD-A.Bfi.D,中，AB=2,"=4,点鸟，B*02,久分别在棱BB],CC）,DD】上,AA2=\,BB2=DD2=2,CC2=3.（1） 证明：&G//4D2；（2） 点P在棱BB】上,当二面角户一4。2一。2为150°，求B2P.【答案】（1）见解析；（2）B2P=1.【解析】（1）作依析BB】于E,ZV7丄CG于F；则A2E//D2Ff在aA2FED1中，又C2F=B2E=\,则C2BJ/EFI/&D2,得证.（2）如图建系，设P(O,O,h)，又C2(2,0,3)，瓦(0,2,1),。2(2,2,2)测液=(2,0,1),林=(2,-2,2),帝=(0,—2,方一1),平面4。2弓的法向量嘉=(1,一1,一2),平面的法向量〃2=(方一3,方一1,2),则=^=|cosl50°|,则人=1或/?=3,所以B2P=\.n\{n2 '(12分)已知函数f(x)=a(et+a)-x.讨论/(x)的单调性；证明：当。>0时，/(x)>21na+|.【答案】见解析【解析】(1)f\x)=aex-l,当応0时，，(x)v0在R上恒成立，/(X)在R上单调递减；当。>0时，令/。)=0,x=-\na,在(-oo,-lna)±/(x)<0,在(-Ina,+00)±/'(x)>0；所以/(x)在(*,-阮)上单调递减，在(-1",做)上单调递增；综上所述：当応0时，/(x)在R上单调递减；当。>0时，/(x)在(Yo,-lna)上单调递减，在(-lna,-H»)上单调递増。(2)由(1)可得，当。>0时，当x=-ln。时，最小值/(x)„jn=/(-lna)=l+a2+lna»要证/(x)>21na+-^成立，即证最小值丿(X)顽=l+a2+lna>21n£7+-2 2»即证a2-Ina-->0> h(a}=a2-Ina--,贝0h'(a)=2a--=———，2 2 «a综上所述,综上所述,4=：+卜修)・21.21.(12分)令帅）=0,解得Q=g,当心时，方'0）＜0,当心时，方'0）＜0,人（。）单调递减,当心gz）吋，〃（“）＞0,方（〃）单调递増,所以当。=专时，最小值"(a)min=?+f-!=~~>0»所以当々＞0时，/（x）＞21na+|成立.20.（12分）设等差数列｛%｝的公差为且d＞\.令b〃=5~，记&,7；分别为数列｛%｝,｛如｝的前an〃项和.（1） 若3绚=30+电，S3+马=21,求｛%｝的通项公式；（2） 若｛》〃｝为等差数列，且S的-玲=99,求d・【答案】（1）a=3n；（2）d=—“ 50［解析】（1）由3四=3^|+a3»得0=d；9又S3+弓=。|+佝+丹+4+奶+缶=6d+—=21,d即2"2_7d+3=0,所以d=3,故a„=3n.（2）由题意得，设’；_：：：,则a＞rn=n2+n,即（p〃+q）（s〃+，）=/+〃，由此可得：psn2+（tp+sq）n+tq=n2+n,显然iq=。,g=0或，=0;当£=0时，bn=sn»显然与题意不符，所以q=0,又因为等差数列｛%｝的公差为d,即p=d,a,,=dn,所以止切=呂二=啤，c H•*» /Y99则S99-农=（0f）+（。2-奶）+（。3-么）+・.・+（%9-奴）=ZM=1即fd-？］x竺业-99x4=99,可得d=—.d）2d 50

甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.求第2次投篮的人是乙的概率；求第，次投篮的人是甲的概率；己知:若随机变量X,•服从两点分布，且F(X,=l)=l-P(X,=O)=q.0=l,2,则EiXi\=记前〃次(即从第1次到第〃次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).【解析】第1次投篮有两种情况：甲投篮、乙投篮，概率均为0.5.如果第1次是甲投篮，则第2次是乙投篮当且仅当甲在第1次投篮中未命中；如果第1次是乙投篮，则第2次是乙投篮当且仅当乙在第1次投篮中命中.根据全概率公式，第2次投篮的人是乙的概率：0.5x(1-0.6)+0.5x0.8=0.6记4为第，次投篮的人是甲的概率，则1-月为第i次投篮