2021年江西省宜春市飞剑潭中学高三数学文期末试题含解析

2021年江西省宜春市飞剑潭中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.△ABC中，∠C=90°，CA=CB=2，点M在边AB上，且满足=3，则?=(

)A． B．1 C．2 D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由?=（）?，再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出?的值．【解答】解：由题意得AB=2，△ABC是等腰直角三角形，?=（）?=0+=×=1．故选B．【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，注意向量和的夹角等于45°这一条件的运用．2.已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．参考答案：D考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆方程求出F和A的坐标，由对称性设出B、C的坐标，根据菱形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出B的纵坐标，将点B的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e的方程，即可得到该椭圆的离心率．解答：解：由题意得，椭圆（a＞b＞0，c为半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，则A（a，0），F（﹣c，0），∵抛物线y2=（a+c）x于椭圆交于B，C两点，∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）∵四边形ABFC是菱形，∴BC⊥AF，2m=a﹣c，则m=（a﹣c），将B（m，n）代入抛物线方程得，n2=（a+c）m=（a+c）（a﹣c）=（a2﹣c2），∴n2=b2，则不妨设B（（a﹣c），b），再代入椭圆方程得，+=1，化简得=，由e=，即有4e2﹣8e+3=0，解得e=或（舍去）．故选D．点评：本题考查椭圆、抛物线的标准方程，以及它们的简单几何性质，菱形的性质，主要考查了椭圆的离心率e，属于中档题．3.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），直线l：y=2x﹣2，若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（）A．1 B．2 C． D．4参考答案：B【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得其焦点位置以及渐近线方程，结合题意分析有=2，求出直线l与x轴交点坐标，即可得双曲线C的一个顶点坐标，即a的值，计算可得b的值，又由双曲线的焦点到渐近线的距离等于b，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线C的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），其焦点在x轴上，其渐近线方程y=±x，又由直线l平行于双曲线C的一条渐近线，则有=2，直线l：y=2x﹣2与x轴交点坐标为（1，0），即双曲线C的一个顶点坐标为（1，0），即a=1，则b=2a=2，故双曲线C的焦点到渐近线的距离为2；故选：B．4.设为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于A．第四象限

B．第三象限C．第二象限

D．第一象限参考答案：B

5.函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣） B．y=2sin（2x﹣） C．y=2sin（x+） D．y=2sin（x+）参考答案：A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据已知中的函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求出满足条件的A，ω，φ值，可得答案．【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，=，故T=π，ω=2，故y=2sin（2x+φ），将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，则φ=﹣满足要求，故y=2sin（2x﹣），故选：A．6.若实数满足，则的最大值为

A．

B．

C．

D．2参考答案：D满足条件的X的最大值为1，故的最大值为2，故选D．7.一直两个非零向量，其中为的夹角，若则的值为A.－8

B.－6

C.8

D.6参考答案：D略8.已知变量x，y满足的值范围是

参考答案：A9.从正六边形六个顶点及其中心这7个点中，任取两个点，则这两个点的距离大于该正六边形边长的概率为（） A． B． C． D． 参考答案：C略10.已知集合，,则A．

B．C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.右图是一个算法流程图，若输入x的值为，则输出y的值是

参考答案：－2由题意，故答案为－2．12.

20世纪30年代，里克特（C．F．Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪测量地震能量的等级，地震能量越大，地震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．假设在一次地震中，一个距离震中100km的测震仪记录的最大振幅是20，此时标准地震的振幅为0．001，则此次地震的震级为

(精确到0．1，已知）．参考答案：4.313.已知A，B是以F为焦点的抛物线上两点，且满足，则弦AB中点到准线距离为

.参考答案：

14.已知函数，则的解集为

．参考答案：略15.在△ABC中，若+=1，则=．参考答案：3【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】将切化弦，对条件进行化简，得出cosC，结合余弦定理得出a，b，c的关系．【解答】解：∵+=1，∴（+）=1，即?=1，∴sin2C=sinAsinBcosC．∴cosC==，又∵cosC=，∴a2+b2﹣c2=2c2，即a2+b2=3c2，∴==3．故答案为：3．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，结合正余弦定理是解决有关三角形知识的重要方法．16.已知实数，函数，若，则a的值为____.参考答案：17.已知(1-2x)n的展开式的二项式系数和为64,则它的展开式的中间项是

.参考答案：答案：-160x3

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分15分）如图，在四面休ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，(Ⅰ)求证：AC⊥BD；(Ⅱ)若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C－AD－B的余弦值。

参考答案：（I）证明（方法一）：∵，，．∴．

∴．………2分取的中点，连结，则，．………………3分又∵，……4分平面，平面，∴平面，……5分∴………………6分（方法二）：过作⊥于点．连接．…1分∵，，．∴．∴⊥．…3分又∵，……4分平面，平面，∴⊥平面．……5分又∵平面，∴．……………6分（方法三）：………………2分

………………3分………4分，……5分∴．……………6分（II）解（方法一）：过作⊥于点．则平面，又∵平面⊥平面，平面平面，∴⊥平面．……8分过做⊥于点，连接．………………9分∵⊥平面，∴⊥，又，∴⊥平面，∴⊥．…10分∴为二面角的平面角．…………11分连接．∵，∴⊥．∵，，∴，．∵，∴．………12分∴∴．…………13分∴，…………14分∴．∴二面角的余弦值为．………………15分（方法二）：由（I）过作⊥于点，连接∵，∴⊥．∵平面⊥平面，∴⊥．…………7分分别以为轴建立空间直角坐标系．………………8分∵，，∴，．∵，∴．………………9分．…10分可得，．………11分设平面的法向量为，则，取，得一个．……………………12分取平面的法向量为．……13分．……14分∴二面角的余弦值为．…………………15分19.（本题满分12分）已知如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，过D与PB垂直的平面分别交PB、PC于F、E。

（1）求证：DE⊥PC；

（2）当PA//平面EDB时，求二面角E—BD—C的正切值.参考答案：（本题满分12分）（1）证明：平面DEF

又平面ABCD又

………4分

从而DE⊥平面PBC

…………6分（2）解：连AC交BD于O，连EO,由PA//平面EDB及平面EDB∩平面PAC于EO知PA//EO

……7分是正方形ABCD的对角线AC的中点为PC的中点

又…………………8分设PD=DC=a，取DC的中点H，作HG//CO交BD于G，则HG⊥DB，EH//PD

平面CDB。由三垂线定理知EG⊥BD故为二面角E—BD—C的一个平面角。

………10分易求得

∴二面角E—BD—C的正切值为

(用向量法做参考给分)…………12分略20.甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌，甲口袋内的四张牌分别为红桃A，方片A，黑桃Q与梅花K，乙口袋内的四张牌分别为黑桃A，方片Q，梅花Q与黑桃K，从两个口袋分别任取两张牌．（Ⅰ）求恰好抽到两张A的概率．（Ⅱ）记四张牌中含有黑桃的张数为x，求x的分布列与期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）基本事件总数n==36，恰好抽到两张A包含的基本事件个数m==15，由此能求出恰好抽到两张A的概率．（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（Ⅰ）甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌，甲口袋内的四张牌分别为红桃A，方片A，黑桃Q与梅花K，乙口袋内的四张牌分别为黑桃A，方片Q，梅花Q与黑桃K，从两个口袋分别任取两张牌．基本事件总数n==36，恰好抽到两张A包含的基本事件个数m==15，∴恰好抽到两张A的概率p==．（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）===，P（X=1）===，P（X=2）===，P（X=3）===，∴X的分布列为：X0123PE（X）==．21.在淘宝网上，某店铺专卖孝感某种特产．由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，1＜x≤5）满足：当1＜x≤3时，y=a（x﹣3）2+，（a，b为常数）；当3＜x≤5时，y=﹣70x+490．已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产600千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．（1）求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；（2）若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f（x）最大（x精确到0.1元/千克）．参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由题意，代入数据求出a，b；从而求出函数的解析式；（2）由于是分段函数，讨论其各部分的最大值，从而求函数的最大值点．【解答】解：（1）由题意：x=2时y=600，∴a+b=600，又∵x=3时y=150，∴b=300．∴．（2）由题意：，当1＜x≤3时，f（x）=300（x﹣3）2（x﹣1）+300=300（x3﹣7x2+15x﹣8），f'（x）=300（3x2﹣14x+15）=（3x﹣5）（x﹣3），∴时有最大值