微分几何第一课

微分几何第一课第一页，共三十二页，编辑于2023年，星期二天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。第二页，共三十二页，编辑于2023年，星期二微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或曲面在它一点邻域的性质，换句话说，微分几何是研究一般的曲线和曲面在“小范围”上的性质的数学分支学科。。第三页，共三十二页，编辑于2023年，星期二Euler（瑞士,1707-1783）：1736年首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。将曲率描述为某一特殊角的变化率也是Euler的工作。他在曲面论方面也有重要贡献，特别值得一提的是他在测地线方面的一些工作，最早把测地线描述为某些微分方程组的解。第四页，共三十二页，编辑于2023年，星期二G.Monge（法国,1746-1818）：在筑城垒这个实际问题的推动下，他1771年开始写了关于空间曲线论的论文，发表于1785年，他用的是几何方法，并反映了他对偏微分方程的兴

趣。Monge写了第一本微分几何课本《分析

在

几何学上的应用》，这是微分几何最早的

一

本著作。1807年出版，这课本共印了五版，一直发行到Monge逝世后三十年，足见该

书在当时的重要作用。第五页，共三十二页，编辑于2023年，星期二F.Frenet(1816~1868)与J.Serret(1819~1885)分别于1847年和1851年独立地得出现在通称的Frenet-Serret方程（或Frenet方程）后，空间曲线论才最后统一起来。第六页，共三十二页，编辑于2023年，星期二高斯（德国，1777-1855，）：1827年，发表了《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。第七页，共三十二页，编辑于2023年，星期二R.Riemann（1826~1866）才进一步发展了Gauss的内在几何学，1854年他在哥丁根大学就职演讲中深刻地揭示了空间与几何两者之间的差别。Riemann将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是仅仅把它看作欧氏空间中的一个几何实体，从而他认识到二次微分形式（现称为黎曼测度）是加到流形上去的一个结构，因此在同一流形上可以有众多的黎曼测度。Riemann意识到这件事是非凡的重要，把诱导测度与外加的黎曼测度两者区分开来，从而开创了黎曼几何，作出了杰出的贡献。其后，Levi-Civita等人进一步丰富了经典的黎曼几何。第八页，共三十二页，编辑于2023年，星期二克莱因（德国）：1872年在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，用变换群对已有的几何学进行了分类。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。第九页，共三十二页，编辑于2023年，星期二射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起又经以富比尼为首的意大利学派所发展。二十世纪二、三十年代E.Cartan开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立起李群与微分几何之间的联系，从而为微分几何的发展奠定了重要基础且开辟了广阔的园地，影响极为深远。陈省身将Cartan的方法发扬光大，他关于纤维丛和示性类的理论，建立了微分几何与拓扑的联系，是一个光辉的里程碑。20世纪30年代起中国苏步青及其学生们以及苏联С.∏.菲尼科夫等进一步发展了射影微分几何。

第十页，共三十二页，编辑于2023年，星期二由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独立学科。微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微分几何学的理论。第十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期二从局部微分几何到黎曼几何、微分流形与纤维从理论的发展过程可以看到，除了微分几何本身研究中所产生的研究问题外，其他数学学科及物理学、力学等也推动了微分几何的发展。第十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期二微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线，还要讨论测地线的性质等。另外，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。

第十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期二在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。

第十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期二近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲面整体性质的研究，使微分几何学同黎曼几何、拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系，这些数学分支和微分几何互相渗透，已成为现代数学的中心问题之一。第十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期二微分方程：达布的《曲面论》一书就包含了丰富的古典微分方程的内容。é.嘉当和凯勒所发展的外微分方程理论，对于解析函数领域的一大类局部微分几何问题，给出了一般的有效的方法。整体微分几何的发展，需要运用更深入的，现代化的分析工具，特别是偏微分方程理论以及与之有关的非线性分析。

第十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期二在线性理论中，一个突出的成果是Atiyah和Singer的指标定理：紧致微分流形上的一个线性椭圆算子的零空间的维数与象空间的维数都是有限数，其差称为指标，这个定理指出，这种指标可以表示为和流形（或纤维丛）及椭圆算子有关的拓扑不变量，而过去的黎曼-罗赫定理，希策布鲁赫的指标定理等都是它的特殊情形。这个定理对于确定杨-米尔斯方程的解的存在性和其自由度，起了重要作用。此外，流形上的拉普拉斯算子的特征值的研究也是一个重要方面。

第十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期二微分几何学所遇到的偏微分方程大多是非线性的，调和函数的概念被推广成黎曼流形间的调和映射，它联系于一个推广的狄利克雷积分的变分问题，其欧拉方程是非线性的椭圆型方程组，J.伊尔斯等人用了多种分析的技巧证明了各种存在性和不存在性定理近年来，R.舍恩和K.K.乌伦贝克又对广义解的奇性作了深入的分析。极小曲面理论近年来得到更深入的发展，研究范围日趋广泛，而且对流形的拓扑以及广义相对论中的数学问题均有重要应用。在调和映射、极小曲面，以及其他许多微分几何问题上，大范围变分方法成了重要工具，非线性泛函的极小元素或临界元素的正则性和存在性起了很大作用。如果考虑洛伦茨流形到黎曼流形的调和映射，就归结为双曲型偏微分方程的整体解的存在性问题，这方面成果国际上较少，谷超豪证明了闵科夫斯基平面到完备黎曼流形的调和映射的柯西问题的整体存在性定理，某些调和映射在物理学中称为非线性σ模型，是物理学家独立地提出的。

第十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期二有些微分几何学问题还必须求解“真正”非线性偏微分方程，这是比拟线性方程的非线性程度更高的偏微分方程，其难度更大，突出的事项是丘成桐解决了由卡拉皮所提出的一个猜想，证明了某种爱因斯坦-凯勒流形的存在定理，这需要求解复蒙日-安培方程，它的非线性程度更高，需要有高度的分析技巧。丘成桐还解决了一系列的其他的与非线性偏微分方程有关的几何问题。具有复结构的微分流形特别是凯勒流形在多元复变函数和代数几何中起着重要的作用。

第十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期二本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论，主要内容有：（1）曲线论。包括参数曲线，曲线的弧长，曲线的曲率和Frenet标架，挠率与Frenet公式，曲线论基本定理，曲线在一点处的标准展开，平面曲线。（2）曲面论。包括曲面的定义，切平面与法线，曲面的第一基本形式，曲面上正交参数网的存在性，保长对应，保角对应，可展曲面，曲面的第二基本形式，法曲率，Gauss映射与Weingarten映射，主曲率和主方向的计算，Dupin标形和曲面在一点的标准展开，某些特殊曲面，曲面论基本定理。

（3）曲面的内蕴几何，包括测地曲率和测地挠率，测地线，测地坐标系，常曲率曲面，Gauss-Bonnet公式。第二十页，共三十二页，编辑于2023年，星期二本书共10章，第1章～第5章为第一部分，系统讲述了三维欧氏空间中曲线、曲面的局部几何理论和曲面的内蕴几何学，这部分内容可作为数学专业本科生微分几何必修课教材；第6章～第10章为第一部分，介绍有关曲面整体理论的一些基本结果，是整体微分几何一些经典问题选讲，它涉及数学的其它领域，可作为高年级本科生的专业课教材或课外阅读材料。这是我们的教材第二十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期二陈维恒编著的《微分几何》是北京大学微分几何课程教材，并为普通高等教育“十五”国家级规划教材，其前身《微分几何初步》曾于1995年获教育部优秀教材一等奖。第二十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期二本书主要介绍了微分几何方面的基础知识、基本理论和基本方法。主要内容有：Euclid空间的刚性运动，曲线论，曲面的局部性质，曲面论基本定理，曲面上的曲线，高维Euclid空间的曲面等，除第一章外其余各章均配有习题，以巩固知识并训练解题技巧与钻研数学的能力。

本书可作为大学数学各专业本科生的教学用书，也可供数学教师和数学工作者参考。第二十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期二M.贝尔热著名法国数学家，法国微分几何老前辈。曾任法国科学高等研究所（IHES）所长。贝尔热教授撰写过多本成功的几何著作，并以书的精巧论述而见长。本书主要由法国资深微分几何学家贝尔热在巴黎大学多年讲授微分几何课程讲稿的基础上编纂而成。

本书强调几何与分析的有机结合，始终坚持对于分析，揭露其几何实质，而对于几何，则洞察其分析精髓。本书对于常微分方程、单位分解、临界点、拓扑度和流形上的微积分等研究微分几何的各种工具做了相当充分的讲解。内容重点是曲线的局部和整体理论，对于曲面的局部和整体理论则做了比较全面的概述，而对于其详尽的证明则推荐相关的文献供读者查阅。书中配备了丰富的习题。

本书是基础数学和应用数学系本科生乃至其他理工科学生学习微分流形和微分几何的优秀参考书。第二十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期二本书介绍曲线和曲面几何的入门知识，主要内容包括欧氏空间上的积分、帧场、欧氏几何、曲面积分、形状算子、曲面几何、黎曼几何、曲面上的球面结构等。修订版扩展了一些主题，更加强调拓扑性质、测地线的性质、向量场的奇异性等。更为重要的是，修订版增加了计算机建模的内容，提供了Mathematica和Maple程序。此外，还增加了相应的计算机习题，补充了奇数号码习题的答案，更便于教学。

本书适合作为高等院校本科生相关课程的教材，也适合作为相关专业研究生和科研人员的参考书。第二十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期二本书是（英文版）一本关于曲线和曲面微分几何的导论，介绍微分几何这两个方面的局部特性与整体特性。同传统的微分几何教材不同，本书更广泛地应用初等线性代数的知识，并把重点放在基本的几何论据上。

为取得概念与实际材料之间的适度平衡，本书还包含大量的例子，并合理安排习题，其中包含经典微分几何的某些实际题材。ManfredoP.doCarmo1963年于加利福尼亚大学伯克利分校获得博士学位，目前就职于巴西国家数学与应用数学研究所(IMPA)。第二十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期二本书系统地论述了微分几何的基本知识。全书共八章并两个附录。作者以较大的篇幅，即前三章和第六章介绍了流形、多重线性函数、向量场、外微分、李群和活动标架法等基本知识和工具。在有了上述宽广而坚实的基础之后，论述微分几何的核心问题，即联络、黎曼几何以及曲面论等。第七章复流形，既是当前十分活跃的研究领域，也是第一作者研究成果卓著的领域之一，包含有作者独到的见解和简捷的方法。第八章Finsler几何是本书第二版新增的一章，它是第一作者近来提倡的研究课题，其中Chefn联络具有突出的性质，使得黎曼几何成为Finsler几何的特殊情形。最后两个附录，介绍了大范围曲线论和曲面论，以及对微分几何与理论物理关系的论述，为这两个活跃的前沿领域提出了不少进一步的研究课题。

此书可作为高等院校数学和理论物理等专业高年级、研究生选修课和研究生课教材，或学习参考书，也可供从事数学和物理等相关学科研究人员参考。第二十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期二陈省身，开创并领导着整体微分几何、纤维丛微分几何、“陈省射示性类”等领域的研究，他是历史以来惟一获得世界数学界最高荣誉“沃尔夫奖”的中国人，被称为“当今最伟大的数学家”，被国际数学界誉为“微分几何之父”。第二十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期二“黎