2022年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷文科）数学含解析

2022年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷文科）数

学

题号—二三总分

得分

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设集合4={-2,—1,0,1,2},B={x|0<x<|},则=（）

A.[0,1,2}B.{-2,-1,0}C.[0,1}D.{1,2}

【答案】

A

【解析】

【分析】

本题考查集合的交集运算，属于基础题.

【解答】

解：直接通过交集的运算定义可得AnB={0,1,2}.

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取

10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位

社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

100%................................................................................♦.................♦

95%.....................................................................•............................♦

90%■■■•..........................•...........................*............................

褥85%..................•.........................•…-♦.................*…♦

后80%..........................♦............................................................*........*讲咫前

图75%...........................................................*.......................................•讲座后

70%............................*......................................................................

65%........♦......................................*..................................................

60%;.................♦.................♦............................................................

012345678910

居民编号

贝心）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70妍

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【答案】

B

【解析】

【分析】

本题主要考查统计图和平均数、中位数、标准差和极差的应用，考查读图能力、分析能

力，属于基础题.

根据图中数据，逐一判断每个选项即可.

【解答】

解：讲座前中位数为7。%+75%>70位,所以A错；

2

讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲

座后问卷答题的正确率的平均数大于85%所以8对；

讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后

正确率的标准差，所以C错；

讲座后问卷答题的正确率的极差为100殄-80%=20%,讲座前问卷答题的正确率的

极差为9560%=35%>20%,所以D错.

3.若z=1+i,则|iz+3司=()

A.4V5B.4A/2C.2^5D.2y/2

【答案】

D

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的模的运算以及共挽复数，复数的加减以及乘法运算，属于基础题.

【解答】

解：由z=1+i,故iz+35=i(l+i)+3(1—i)=2-2i,\iz+3z|=|2-2i|=

2V2.

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多

面体的体积为()

第2页，共16页

A.8B.12C.16D.20

【答案】

B

【解析】

【分析】

本题考查三视图还原几何体，及棱柱体积的求法，属于基础题.

【解答】

解：由三视图还原几何体，如图，

5.将函数/（x）=sin（3X+金（3>0）的图像向左平移］个单位长度后得到曲线C,若C

关于y轴对称，则3的最小值是（）

A.\B.；C.\D.；

6432

【答案】

C

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的平移变换，难度一般.

【解答】

解：记g(x)为f(x)向左平移5个单位后得到的曲线，

则gQ)==曲Muw+，+J),

由g(x)关于y轴对称,可得：於+]=也+ak€Z,

故有3=，+2k,3>0,所以3的最小值为

6.从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片

上的数字之积是4的倍数的概率为()

A.iB.iC.ID.|

【答案】

C

【解析】

【分析】

本题考查古典概型的概率计算，属于基础题.

【解答】

解：无放回随机抽取2张方法有1,2;1,3;1,4;1,5;1,6;2,3;2,4;2,5;2,6;3,

4;3,5;3,6;4,5;4,6;5,6;共15种，其中数字之积为4的倍数的是1,4;2,4;2,

6;3,4;4,5;4,6洪6种,P=卷=|・

7.函数、=(3'—3-*)(:皿在区间卜黑]的图象大致为()

第4页，共16页

【解析】

【分析】

本题考查函数图象的辨别，是基础题.

【解答】

解：令/(%)=(3*-3-x)cosx,x€[-酬],

则f(—x)=(3-x—3x)cos(—%)=一(3%—3-x)cosx=—/(%),

所以/(%)为奇函数，排除8D；

又当入时，3"-3T>O,cosx>0,所以/(%)>0,排除C.

8.当％=1时，函数/(x)=alnx+：取得最大值一2,则((2)=()

A.-1B.—|C.|D.1

【答案】

B

【解析】

【分析】

本题考查导数的最值问题，属于中档题.

【解答】

解：因为函数/(%)定义域为(0,+8),所以依题可知，/(I)=-2,f(l)=0,

而/'(x)=£>所以b=—2,a—b=0，即a=—2,b=—2，所以f'(x)=—|+

备,因此函数/(x)在(0,1)上递增，在(1,+8)上递减，X=1时取最大值，满足

题意，即有r(2)=-l+1=-i.

9.在长方体ABCD-4B1GD1中，已知Bi。与平面4BCD和平面44道避所成的角均为

30。，则()

A.AB=2AD

B.AB与平面4B1GD所成的角为30°

C.AC=CBi

D.Bi。与平面BBiGC所成的角为45°

【答案】

D

【解析】

【分析】

本题主要考查线面角的求解，属中档题.

作出线面夹角的平面角，通过解三角形求出即可.

【解答】

解：如图所示:

不妨设4B=a,AD=b,AAx=c,依题意及长方体的结构特征可知，Bi。与平面ABCD所

rh

成角为4当。8,当。与平面44遇道所成角为乙。/4所以sin30。=布=.，即b=c,

B1D=2c=7a2+匕2+”,解得Q=V2c.

对于4AB=a,AD=h,AB=£AD,A错误；

第6页，共16页

对于B,过8作BE_LAB［于E,易知BE_L平面力8心。，所以AB与平面ABC。所成角为

/.BAE,因为tanNB4E=£=区所以/BAEK30°,8错误；

a2

2222

对于C,AC=y/a+b=V3c，CB1=y/b+c=V2c,AC丰CBrC错误;

对于D,Bi。与平面BBiGC所成角为NDBiC,sm^DB1C=—=-

B]D2.C2

而0<乙DB[C<90°,所以<DB1C=45°.D正确.

10.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S/和

S甲V甲

S.体积分别为七和七.若廿=2,则尸=()

、乙V乙

A.V5B.2V2C.V10D.—

4

【答案】

C

【解析】

【分析】

本题考查圆锥的结构特征，侧面积和体积的运算，利用公式代入计算即可.

【解答】

解：设母线长为1,甲圆锥底面半径为G,乙圆锥底面圆半径为r2,

则?=鬻=置=2,所以巳=2「2，

3/兀'2

又等+等=2兀，则牛=i,所以「］=|〃万=?,

所以甲圆锥的高无I=J/2_“2今,

乙圆锥的图为

所以#=片1=第=内.

。乙严22h2Tx等2

11.已知椭圆。9+卷=l(a>b>0)的离心率为a,&分别为C的左、右顶点，B

为C的上顶点.若西・瓦石=-1,贝UC的方程为()

A.江+艺=1

1816

【答案】

B

【解析】

【分析】

本题主要考查根据椭圆的性质求椭圆的方程，属于中档题.

【解答】

由题意，A^-a,0),4式a,0),B(0,b)，所以西=(-a,-b),砒=(a,-b),

BA^-BA^=-a2+b2=-1①.又1-浮力即接42,代入①式解得「2=

9,b2=8,

所以C的方程为三+”=1.

98

12.已知97n=10,a=10m-11,b=8m-9,则()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查指数对数变换比较大小，属于中档题.

【解答】

解：由9m=10,可得m=log910e(1,1.5).

根据a,b的形式构造函数/(x)=xm-X-l(x>1),则/z(x)=7nxm-1-1,

令f'W=0,解得X。=疝三，由m=log910e(1,1.5)知x0e(0,1).

f(x)在(l,+8)上单调递增，所以y(10)>/(8),即a>b,

又因为/(9)=9"g910-10=0,所以a>0>b.

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.己知向量五=(m,3),方=+1).若五1石，则m=.

【答案】

【解析】

第8页，共16页

【分析】

本题考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，属于基础题.

【解答】

解："alb

m+3(m+1)=0,解得m=―^

14.设点M在直线2%+y-1=0上，点(3,0)和(0,1)均在。M上，则。M的方程为

【答案】

(x-I)2+(y+=5

【解析】

【分析】

本题主要考查圆的方程的知识，属于基础题.

【解答】

设圆心M(a,1-2d)则r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(1-2a-I)2,

解得a=1.

从而得。M的方程为(x-I)2+(y+=5.

15.记双曲线《=l(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C

无公共点”的e的一个值.

【答案】

2(答案不唯一)

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的基本概念，属于基础题.

【解答】

解：因为双曲线C的渐近线方程为y=±：x,

要使直线y=2x与C无公共点，则只需要2>T即可，

由g42律萨44,所以©2=盘45,

解得1<e<V5.

故e的值可以取2.

16.已知团48c中，点。在边BC上，Z.ADB=120=2,CD=2BD.当若取得最小

值时.，BD=

【答案】

V3-1(^C-1+V3)

【解析】

【分析】

本题考查余弦定理解三角形，及基本不等式求最值，属于较难题.

【解答】

解：设CD=2BD=2m>0,

则在回48。中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADCOSLADB=m2+4+2m,

在团4CD中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADCOS/LADC=4m2+4-4m,

所以痂一而+4+2m-mZ+4+21n--M)+高

>4-I?=4-2V3

2如+1)•品,

当且仅当巾+1=高即巾=百一1时，等号成立，

所以当笠取最小值时，m=V3-l.

三、解答题(本大题共7小题，共80.0分)

17.甲、乙两城之间的长途客车均由4和B两家公司运营，为了了解这两家公司长途客

车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

准点班次数未准点班次数

A24020

B21030

第10页，共16页

(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有

关.

附.K2=____会但____,

r'(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2》k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

【答案】

解：(1)4公司一共调查了260辆车,其中有240辆准点，得A公司准点的概率=赛=0.923,

B公司一共调查了240辆，其中有210辆准点，则B公司准点的概率=芸=0.875.

(2):由题意得2x2列联表:

准点班次数未准点班次数合计

A24020260

B21030240

合计45050500

._n{ad-be)2_500(240X30-210X20)2_3之〉？7

(a+fe)(c+d)(a+c)(b+d)260x240x450x50

所以有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关

【解析】本题考查独立性检验的应用，频率与概率的关系，属于中档题.

18.记又为数列｛册｝的前n项和.已知?+71=2即+1.

(1)证明：｛斯｝是等差数列；

(2)若。好。7,成等比数列，求右的最小值.

【答案】

2

解：(1)因为?+n=2c1n+1,BR2Sn+n=2nan+n(T),

2

当n22时，2Sn-i+(n—l)=2(n—l)an_1+(n—1)(2),

22

(T)—得，2szi+n-2Sn_1一(n—l)—2?iQn+—2(九一l)an_]—(n-1),

即2册+2n-1=2nan-2(n—1)。九一1+1,

即2(几-l)an-2(n-1)%1T=2(n-1),所以％l-an_x=1,n>2且九6N*,

所以是以1为公差的等差数列.

(2)由(1)可得&4=%+3,a7=%+6,ag=at+8,

又。4，a?,。9成等比数列，所以a72=a『a9，

即(％+6)2=(%+3)•(%+8),解得出=-12,

所以。门二九一13,所以Sn=—]2n+n(n-l)=工〃2_竺“=~~约)一经，

n2222\2/8

所以，当n=12或n=13时(Sn)min=-78.

【解析】本题考查等差数列的判定与等比数列性质、等差数列前n项和最值问题.

19.小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装

盒.包装盒如图所示：底面4BCD是边长为8(单位：cm)

的正方形，△EAB,△FBC,AGCD,△HZX4均为正三

角形，且它们所在的平面都与平面4BC。垂直.

(1)证明：EF〃平面4BCD;

(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).

【答案】

(1)过点E作EE'14B于点E',过点F作FF'_LBC于点F',连接E'F'.

•••底面4BCD是边长为8的正方形，△E48、AF8C均为正三角形,

且它们所在的平面都与平面4BCD垂直，

EE'=FF',

又平面区4Bn平面2BCD=AB,平面尸BCCI平面4BCD=BC,

EE'1平面ABC。，FF'J_平面4BC0,

EE'//FF',

则四边形EE'F'F为平行四边形，:EF//E'F',

第12页，共16页

•••E'F'u平面ABC。，EFU平面ABCD,

•••EF〃平面4BCD.

(2)同理，过点G,H分别作GG'ICD,HH'IDA,交CD,DA于点G',H',

连接尸‘G',G'H',H'E',AC,由(1)及题意可知，

G',H'分别为CD,ZM的中点，EFGH—E'F'G'H'为长方体，

故该包装盒可看成由一个长方体和四个相等的四棱锥组合而成.

由底面4BC0是边长为8的正方形可得：EF=H'E'=\AC=4V2,

由线面垂直可知四棱锥的高为:AC,

4

.••所求该包装盒的容积为

V=^EFGH-EiFiGiHi+^A-EEfHfH

,,11

=E'F'xE'H'xEE'+4x§xSEE,H,Hx-AC

11

=4V2x4V2x4V3+4x-x4>/2x4>/3x-x8V2

34

_640遍

-3,

【解析】本题主要考查线面平行的判定，面面垂直的性质以及组合体的体积求法，属于

中档题.

20.已知函数/'(x)=/一%,g(x)=%2+a,曲线y=f(x)在点(Xi，/Qi))处的切线也

是曲线y=g(x)的切线.

(1)若=求a;

(2)求a的取值范围.

【答案】

解：(1)丁广(乃=3%2—1,...尸(-1)=2,且f(-l)=0

故y=f(x)在点(一1,0)处的切线方程为y=2x+2

又y=2x+2与y=g(x)相切，将直线y=2x+2代入y=g(x)=x2+a得/-2x+

a-2=0

由A=4—4a+8=0得a=3

(2)f(x)=3x2-1,曲线y=f(x)在点。i，f(x。)处的切线方程为

3

y—(Xj—%!)=(3/2_l)(x—x1),即y=(3/2—l)x—2久J；

由9(x)=x2+a得g'(x)=2x,

设y=g(x)在点(犯，9(X2))处的切线方程为y-(到？+a)=2%2(x-x2)-

2

即y=2X2X—x2+Q,

2

.p%1-1=2X2

32

{-2xr=a-x2，

234

・•・a=x2—2xr=(9xx——6%/+1).

42

令九(％i)=9%i——6xt+1,则九'(％1)=36xJ_24XJ-12rl=—

1)(3/+1)

当/<一］或0<%i<1时，九'(%i)<0,此时函数y=九(%i)单调递减；

当一［V与V0或%i>1时，九'(%1)>0,此时函数y=九(%1)单调递增

12n

又九(一,)=—>九(0)=1，%(1)=-4,h(Xi)min=h(1)=-4

•1-a^T=-1'故a1］

【解析】本题考查利用导数研究函数的切线方程，属于较难题.

21.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为凡点。(p,0),过/；1的直线交C于M,N两点.当

直线MD垂直于x轴时，|MF|=3.

(1)求C的方程；

(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为4,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为

a,£.当a-£取得最大值时，求直线的方程.

【答案】

解：

(1)抛物线的准线为％=当例。与x轴垂直时，点M的横坐标为p,

此时|MF|=p+：=3,所以p=2,

所以抛物线C的方程为y2=4x；

(2)设M(?,yi),N(竿,、2)，做苧,丫3)，8,旷4)，直线MN:x=zny+1,

由{；2二1土1可得好一4rny-4=0,A>0,=-4,

由斜率公式可得k“N一显芷一不不，以B一丈|一式痴；，

4444

直线MD:x=3二•y+2,代入抛物线方程可得y2-忠34—8=0,

yiyi

△>0iiAiF3=-8,所以为=2丫2，同理可得%=2yi，

所以以AB8=~~-~-.=

八乃+九2(y1+y2)2

第14页，共16页

又因为直线MN、48的倾斜角分别为a,/7,

所以心B=tanS=^=等,

若要使a-/?最大,则£€@今,

/a、_tana-tan/?_k_11_\[2

设*MN=2k{8=2k>0,则a”(ap)^tanpi+2k2-+2k、？h.4»

+tanak2辰72k

当且仅当器=2k即k=争寸,等号成立，

所以当a一夕最大时，kAB=设直线AB:%=鱼7+九，

代入抛物线方程可得y2—4V2y—4n=01

A>0,Jsi/4=-in=4)^2=—161所以?i=4,

所以直线AB:x=&y+4.

【解析】本题主要考查抛物线的定义与方