山东省日照市东港区后村中心中学高三数学文期末试题含解析

山东省日照市东港区后村中心中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在空间四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EH、FG交于一点P，则（）A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上，也不在AC上参考答案：A【考点】平面的基本性质及推论．【分析】根据题意，可得直线EH、FG分别是平面ABD、平面BCD内的直线，因此EH、FG的交点必定在平面ABD和平面BCD的交线上．而平面ABD交平面BCD于BD，由此即可得到点P在直线BD上【解答】解：∵点E、H分别在AB、AD上，而AB、AD是平面ABD内的直线，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD，可得直线EH?平面ABD，∵点F、G分别在BC、CD上，而BC、CD是平面BCD内的直线，∴F∈平面BCD，H∈平面BCD，可得直线FG?平面BCD，因此，直线EH与FG的公共点在平面ABD与平面BCD的交线上，∵平面ABD∩平面BCD=BD，∴点P∈直线BD，故选：A2.执行如图所示的程序框图，若f(x)在[-1,a]上的值域为[0,2]，则实数a的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：B流程图转化为分段函数找到临界点(1,0)和3.命题“存在”的否定是

（

）A．存在

B．不存在C．对任意

D．对任意参考答案：D4.已知椭圆C：的离心率为，双曲线x2-y2＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为（

）（A）（B）（C）（D）参考答案：D5.（5分）下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β参考答案：D【考点】：平面与平面垂直的性质．【专题】：空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答时：A注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B反证法即可获得解答；C利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D结合实物举反例即可．解：由题意可知：A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误．故选D．【点评】：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用．值得同学们体会和反思．6.若集合，，则集合(

)．．

． ． ．参考答案：C略7.定义集合运算：A⊙B=﹛z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B﹜,设集合A＝｛0,1｝,B＝｛2,3｝,则集合A⊙B的所有元素之和为（）

(A)0

(B)6

(C)12

(D)18参考答案：答案：D解析：当x＝0时，z＝0，当x＝1，y＝2时，z＝6，当x＝1，y＝3时，z＝12，故所有元素之和为18，选D8.已知集合，则A中元素的个数为（

）．A.1 B.5 C.6 D.无数个参考答案：C【分析】直接列举求出A和A中元素的个数得解.【详解】由题得，所以A中元素的个数为6.故选：C【点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

9.函数的导数为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A函数,求导得:,故选

10.已知，且，则

（

）

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．参考答案：3考点： 二项式定理的应用．

专题： 计算题；二项式定理．分析： 给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．解答： 解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．故答案为：3．点评： 本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．12.给出下列命题：①函数内单调递增；②函数的最小正周期为；③函数的图形是关于直线成轴对称的图形；④函数的图形是关于点成中心对称的图形.其中正确命题有 .参考答案：答案：②④13.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800m3，深度为3m.如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为______m.参考答案：160【分析】设水池底面一边的长度为，则另一边的长度为，由题意可得水池总造价，然后利用基本不等式求最值，可得水池总造价最低时的水池底部的周长．【详解】设水池底面一边的长度为，则另一边的长度为，由题意可得水池总造价，则，，当且仅当，即时，有最小值297600，此时另一边的长度为，因此，当水池的底面周长为时，水池的总造价最低，最低总造价是元，故答案为160．【点睛】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求最值，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．14.若直线与函数（的图像有两个公共点，则的取值范围是

.参考答案：因为的图象是由向下平移一个单位得到，当时，作出函数的图象如图，此时，如图象只有一个交点，不成立。当时，，要使两个函数的图象有两个公共点，则有，即，所以的取值范围是。15.椭圆两焦点之间的距离为

．参考答案：16.如图所示：在直三棱柱中，，,则平面与平面所成的二面角的大小为

．参考答案：

17.二项式的展开式中含x项的系数为

．

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}各项都是正数，且+++…+=n2+3n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=，n∈N*，求{bn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）当n≥2时利用+++…+=n2+3n与+++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1）作差、整理可知an=4（n+1）2（n≥2），进而计算可得结论；（Ⅱ）通过（I）可知bn=，n∈N*，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，+++…+=n2+3n，+++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），两式相减得：=（n2+3n）﹣[（n﹣1）2+3（n﹣1）]=2n+2，∴an=4（n+1）2（n≥2），又∵=4即a1=16满足上式，∴an=4（n+1）2；（Ⅱ）由（I）可知bn==，n∈N*，∴Sn=4[2?+3?+…+（n+1）?]，Sn=4[2?+3?+…+n?+（n+1）?]，两式相减得：Sn=4[1+++…+﹣（n+1）?]=4[1+﹣（n+1）?]=6﹣（n+3）?，于是Sn=12﹣（n+3）?．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．19.已知函数，，.（1）求证：函数在上单调递增；（2）若函数有四个零点，求的取值范围.参考答案：，所以，且函数在上单调递增，

略20.设,分别为椭圆的左、右焦点,过的直线与椭圆

相交于,两点,直线的倾斜角为,到直线的距离为.(1)求椭圆的焦距;(2)如果,求椭圆的方程.参考答案：解:(1)设焦距为,由已知可得到直线l的距离所以椭圆的焦距为4.

………5分

(2)设直线的方程为联立得

………8分因为

（11分）得

得

故椭圆的方程为

………12分

21.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1为到定点F（，）的距离与到定直线l1：x+y+=0的距离相等的动点P的轨迹，曲线C2是由曲线C1绕坐标原点O按顺时针方向旋转45°形成的．（1）求曲线C1与坐标轴的交点坐标，以及曲线C2的方程；（2）过定点M（m，0）（m＞0）的直线l2交曲线C2于A、B两点，点N是点M关于原点的对称点．若=λ，证明：⊥（﹣λ）．参考答案：考点：轨迹方程；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设P（x，y），根据点到直线的距离公式和两点间的距离公式，建立关于x、y的方程并化简整理，即可得到曲线C1的方程．分别取x=0和y=0解出曲线C1在轴上的截距，即可曲线C1与坐标轴的各交点的坐标．再由曲线是以F（，）为焦点，直线l1：x+y+=0为准线的抛物线，将其顺时针方向旋转45°得到的抛物线焦点为（1，0），准线为x=﹣1，可得曲线C2的方程是y2=4x；（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l2的方程为y=k（x﹣m），与抛物线y2=4x消去x，得y2﹣y﹣4m=0，可得y1y2=﹣4m．设N（﹣m，0），由=λ算出λ=，结合向量坐标运算公式得到﹣λ关于x1、x2、λ和m的坐标式，代入?（﹣λ）并化简，整理可得?（﹣λ）=0，从而得到对任意的λ满足=λ，都有⊥（﹣λ）．解答：解（1）设P（x，y），由题意知曲线C1为抛物线，并且有=，化简得抛物线C1的方程为：x2+y2﹣2xy﹣4x﹣4y=0．令x=0，得y=0或y=4；再令y=0，得x=0或x=4，所以，曲线C1与坐标轴的交点坐标为（0，0）、（0，4）和（4，0）．点F（，）到l1：x+y+=0的距离为=2，所以C2是以（1，0）为焦点，以x=﹣1为准线的抛物线，其方程为：y2=4x．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知直线l2的斜率k存在且不为零，设直线l2的方程为y=k（x﹣m），代入y2=4x得y2﹣y﹣4m=0，可得y1y2=﹣4m．由=λ，得（m﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣m，y2），可得λ=，而N（﹣m，0），可得﹣λ=（x1+m，y1）﹣λ（x2+m，y2）=（x1﹣λx2+（1﹣λ）m，y1﹣λy2）∵=（2m，0），∴?（﹣λ）=2m[x1﹣λx2+（1﹣λ）m]=2m[+﹣+（1+）m]=2m（y1+y2）?=2m（y1+y2）?=0∴对任意的λ满足=λ，都有⊥（﹣λ）．点评：本题给出动点的轨迹，求轨迹对应的方程并讨论由曲线产生的向量互相垂直的问题，着重考查了点到直线的距离公式、平面内两点的距离公式、一元二次方程根与系数的关系和平面向量数量积的坐标运算等知识，属于中档题．22.如图，设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I，∠B=60°,∠A<∠C,∠A的外角平分线交圆O于E．证明:(1)IO=AE；

(2)2R<IO+IA+IC<(1+)R．参考答案：证明：∵∠B=60°，∴∠AOC=∠AIC=120°．∴A，O，I，C四点共圆．圆心为弧AC的中点