2022年中考数学压轴题猜题附答案

2022年中考数学压轴题

1.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点4(-1,0),点B(3,0),与y轴交于点C,

且过点。(2,-3).点P、。是抛物线y=ax2+bx+c上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点P在直线。。下方时，求△POO面积的最大值.

图1图2

解：(1)函数的表达式为：y^a(x+1)(x-3),将点。坐标代入上式并解得：。=1,

故抛物线的表达式为：y=/-2x-3…①；

(2)设直线与歹轴交于点G,设点机2一2机-3),

图1

将点P、。的坐标代入一次函数表达式：y=sx+f并解得：

直线PD的表达式为：y^mx-3-2m,则OG=3+2w,

11今1

SePOD=2xOG(XD-xp)=2(3+2〃？)(2-m)—-m2+2〃z+3,

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i49

V-1<0,故S^poQ有最大值，当加=五时，其最大值为77；

-16

（3）\"OB=OC=3,：.ZOCB=ZOBC=45°,

；NABC=NOBE,故△O8E与△48C相似时，分为两种情况:

①当Z/C8=/8OQ时，

4B=4,8c=3戊，AC=V10,

过点A作AHLBC于点H,

S^ABC=IxAHXBC=^ABXOC,解得：AH=2五,

AU9

贝ljsinNZC8=兼=表，贝Utan/4cB=2,

则直线。0的表达式为：y=-2x…②，

联立①②并解得：x=百或一V3,

故点。（V3,-2V3）或（一值，2V3）,

②/比1C=NB。。时，，

nr3

tanZBAC=初==3=tanN8O0,

则点0（〃，-3/7）,

则直线0。的表达式为：y=-3x…③，

联立①③并解得：x=T

-1+V133—3V13—l—y/133+3V13

故点。（―--，一--）或（---，一--）；

综上，当△O8E与△Z3C相似时，0的坐标为：（V3,-2b）或（一百,2后或（二旧,

3—3V13—1—A/133+3A/13

-------）或（-------,-------）.

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2.如图1,△408的三个顶点N、0、8分别落在抛物线为：产=32+彳的图象上，点/

的横坐标为-4,点8的纵坐标为-2.(点4在点5的左侧)

(1)求点Z、B的坐标；

(2)将△408绕点。逆时针旋转90°得到△409，抛物线乃：y=a?+bx+4经过4、

夕两点，已知点〃为抛物线尸2的对称轴上一定点，且点4恰好在以。”为直径的圆上，

连接OM、AM,求△OHM的面积；

(3)如图2,延长O夕交抛物线尸2于点G连接4C,在坐标轴上是否存在点。，使得

以力、0、。为顶点的三角形与△Q4C相似.若存在，请求出点。的坐标；若不存在，

请说明理由.

图1图2

解：(1)当x=-4时，y=^x(-4)2+1x(-4)=-4

，点4坐标为(-4,-4)

当y=-2时，于2+-2

解得：xi=-1,X2=-6

丁点Z在点8的左侧

1・点B坐标为(-1,-2)

(2)如图1,过点5作轴于点E,过点夕作夕轴于点G

:・NBEO=/OGB』90°,OE=1,BE=2

•・,将△408绕点0逆时针旋转90°得到

：・OB=OB',/BOB'=90。

：./BOE+NB、OG=ZBOE+ZOBE=90°

：・4B'OG=NOBE

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在△夕0G与△OBE中

NOGB'=乙BEO

4B'OG=乙OBE

B'O=OB

:./XBOGmAOBE(44S)

：.OG=BE=2,B'G=OE=\

•.•点®在第四象限

：.B'(2,-1)

同理可求得：A'(4,-4)

：.OA^OA'=V42+42=4V2

:抛物线尸2：y=ar2+bx+4经过点Z'、B'

.•・｛；6匕：跣4=二4解得：卜=*

(4a+2b+4=-l1b=_3

•*.抛物线F?解析式为：尸#-3x+4

・••对称轴为直线：x=---=6

2x1

:点M在直线x=6上，设M(6,〃?)

：.OM2=61+m2,A'M2=(6-4)2+(加+4)2=m2+Sm+20

・・,点⑷在以OW为直径的圆上

：.ZOA'M=90°

：.OAI2^M2=OM2

/.(4V2)2+〃，+8加+20=36+/

解得：m=-2

Vm24-8m+20=」4—16+20=2V2

^S^OA'M=^OA^A'M=Ix4V2x2V2=8

(3)在坐标轴上存在点O,使得以4、O、。为顶点的三角形与△O4C相似.

「夕(2,-1)

:.直线。夕解析式为y=—%

1

y=-2x解得比：二即为点"墙匕

y=^%2—3%+4

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：.C(8,-4)

'：A'(4,-4)

；.4C〃x轴，4c=4

：.ZOA'C=\35°

：.ZA'OC<45°,ZA'CO<45°

•.1(-4,-4),即直线04与x轴夹角为45°

二当点。在x轴负半轴或y轴负半轴时，,此时△40D不可能与△04C

相似

点。在x轴正半轴或y轴正半轴时\NAOD=NOAC=135°(如图2、图3)

,0D0A

①若△ZODs/\o/，c,则而=/=1

；.0D=4C=4

：.D(4,0)或(0,4)

.DO0A4>/2r~

②若则3=­：=—=V2

Cz/1r\C4

：.0D=V2OJ'=8

：.D(8,0)或(0,8)

综上所述，点。坐标为(4,0)、(8,0)、(0,4)或(0,8)时，以4、。、。为顶点

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图1

3.定义：将函数/的图象绕点尸(加，0)旋转180。，得到新的函数P的图象，我们称函数

r是函数关于点p的相关函数.

例如：当加=1时，函数y=(x+1)2+5关于点尸(1,0)的相关函数为N=-(X-3)2

-5.

(1)当m=0时

①一次函数y=x-1关于点P的相关函数为；

②点《，~|)在二次函数尸"-ax+1(e0)关于点尸的相关函数的图象上，求

a的值.

(2)函数y=(x-1)2+2关于点P的相关函数歹=-(x+3)2-2,则加=-1;

(3)当〃?-1WxWm+2时，函数y=/-关于点尸(相，。)的相关函数的最大

值为6,求m的值.

解：(1)①y=x+l，

-1-1

(2)Vy=—ax2—a%4-1=—a(x+2)2+1+4Q，

-ax2-办+1关于点P(0,0)的相关函数为y=-1一%a,

1911

••点4(-/--)在函数y=Q(X-亍)2—1一工。的图象上，

・Lo4一

.9J1、2,1

•'~8=a^2~2^)1~4a,

解得a=J,

(2)•••函数y=(x-1)2+2的顶点为(1,2),函数y=-(x+3)2-2的顶点为(-3,

-2),

这两点关于中心对称,

.1+(-3)

=m.

2

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•♦加=-19

故答案为：-L

(3)*/y=x2—mx-^m2=(%—1-m)2—^m2,

14a

=%2-7n%一27n2关于点p(加，0)的相关函数为y=一(不一,7n)2+不7n2,

3

①当'mWzn-l,即加〈-2时，y有最大值是6,

/•—(TH—1—|-m)2+^m2=6,

=1—V15,m2=1+V15(不符合题意，舍去)，

②当加一1+2时，即-2＜加＜4时，当％=|m时，y有最大值是6,

32

-m-6

4-2>/2,m2=—2V2(不符合题意，舍去),

3

③当5m>m+2,即,*>4时，当x=〃?+2时，y有最大值是6,

3,3-1

一(rn+2-2m)+4TH—6,

.,.m=-2±(不符合题意，舍去)，

综上，加的值为1一W下或2夜.

4.如图，在RtZXNBC中，/C=90°,点。在NC上，以04为半径的半圆。交N8于点

D,交/C于点E,过点。作半圆。的切线。R交BC于点、F.

(1)求证：BF=DF；

(2)若ZC=4,BC=3,CF=\,求半圆。的半径长.

解：(1)连接0。，如图1,

：过点D作半圆0的切线DF,交BC于点F,

；.N4DO+/BDF=9Q°,

'：OA=OD,

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：.ZOAD=ZODA,

：.ZOAD^ZBDF=90°,

VZC=90°,

：.ZOAD+ZB=90°,

：./B=/BDF,

:・BF=DF,,

图1

(2)连接。巴OD,如图2,

设圆的半径为八则O0=OE=%

VJC=4,BC=3,CF=1,

：.OC=4-r,DF=BF=3-1=2,

.\A22=(4-r)2+已

・13

・・rF

故圆的半径为学.

o

5.如图，△”C是(DO的内接三角形，/BAC=75°,48c=45°.连接NO并延长,

交。。于点。，连接3D过点C作。。的切线，与氏4的延长线相交于点E.

(1)求证：AD//EC；