高中数学-数系的扩充和复数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思

【课标分析】《课程标准》本节课的学习要求：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及与现实世界的联系。理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。了解复数的代数表示法。综合以上分析，本节课要达成目标如下：知识目标：了解数系扩充的过程，理解复数的基本概念，掌握复数相等的充要条件。能力目标：通过对新概念的学习提高学生的认知能力，在复数相等的充要条件的研究过程中提高学生类比思考的能力。情感目标：提高学生学习数学的兴趣，拓展数学视野，使学生逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值。【学情分析】

在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。负数不能开平方是学生固有的思维模式，而虚数单位i的引入会引起虚数认知上的冲突、心理上的排斥。因此，接受和理解虚数，对学生来说是一大超越和挑战。【评测练习】一、基础过关1．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析因为a，b∈R.“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”．“复数a＋bi是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．2．下列命题正确的是()A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数B．若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋iC．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1D．两个虚数不能比较大小答案D解析对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．在A中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故A错误；在B中，两个虚数不能比较大小，故B错误；在C中，若x＝－1，不成立，故C错误；D正确．3．以－5＋2i的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是()A．2－2iB．－5＋5iC．2＋iD.5＋5i答案A解析设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知：复数－5＋2i的虚部为2；复数5i＋2i2＝5i＋2×(－1)＝－2＋5i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.4．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为()A.12B．2C．0D．1答案D解析由复数相等的充要条件知，x＋y＝0，x－1＝0，解得x＝1，y＝－1，∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.5．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A．－1B．0C．1D．－1或1答案A解析由复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数得x2－1＝0，x－1≠0，解得x＝－1.6．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.答案－2解析m2＋m－2＝0m2－1≠0⇒m＝－2.7．已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数x，y的值．解∵(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，∴2x－y＋1＝0，y－2＝0.解得x＝12，y＝2.所以实数x，y的值分别为12，2.二、能力提升8．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是()A．1B．－1C．±1D．－1或－2答案A解析由题意，得x2－1＝0，x2＋3x＋2≠0.解得x＝1.9．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.答案2±2解析由z1＝z2得－3＝n2－3m－1，－4＝n2－m－6，解得m＝2n＝±2.10.已知集合M＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数a＝________.答案－1解析由M∩N＝{3}知，3∈M，即有(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，所以a2－3a－1＝3，a2－5a－6＝0，解得a＝－1.11．实数m分别为何值时，复数z＝2m2＋m－3m＋3＋(m2－3m－18)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解(1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z为实数，则m2－3m－18＝0m＋3≠0，解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0，所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.故若使z为纯虚数，则2m2＋m－3＝0m＋3≠0m2－3m－18≠0，解得m＝－32或m＝1.所以当m＝－32或m＝1时，z为纯虚数．12.设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1<z2，求实数m的取值范围．解由于z1<z2，m∈R，∴z1∈R且z2∈R，当z1∈R时，m2＋m－2＝0，m＝1或m＝－2.当z2∈R时，m2－5m＋4＝0，m＝1或m＝4，∴当m＝1时，z1＝2，z2＝6，满足z1<z2∴z1<z2时，实数m的取值为m＝1.三、探究与拓展13.如果log12(m＋n)－(m2－3m)i>－1，如何求自然数m，n的值？解因为log12(m＋n)－(m2－3m)i>－1，所以log12(m＋n)－(m2－3m)i是实数，从而有m2－3m＝0，

①log12(m＋n)>－1，②由①得m＝0或m＝3，当m＝0时，代入②得n<2，又m＋n>0，所以n＝1；当m＝3时，代入②得n<－1，与n是自然数矛盾，综上可得m＝0，n＝1.【观评记录】授课人单位观察人高二数学组授课内容数系的扩充和复数的概念亮点教学设计合理，教学方法以问题驱动式模式为载体，变教为探，环环相扣，注重了基本数学方法的培养与基本数学思想的渗透；课件制作的巧妙，高雅脱俗；教师教学基本功扎实，教态自然，板书合理，灵活使用多媒体。问题与不足个别问题提的不明确。个别小组不太活跃。建议1、要重视强化高效课堂。本节课教师虽重视了学生的自主性，但放得过大，收得不及时，显得松散，不够紧凑。2、练习题的设计要体现出层次性。本节课学生除了探究新知环节处理了几个练习题，练习题的设计层次不明显，学优生得不到充分的锻炼。【教材分析】本章《数系的扩充与复数的引入》是中学阶段里数系的最后一次扩展。引入复数后，不仅可以使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识，也给他们运用数学知识解决问题增添了新的工具，同时还为进一步学习高等数学打下一定的基础。本节课的学习，一方面让学生回忆数系扩充的过程，体会虚数引入的必要性和合理性．另一方面，让学生理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，为今后的学习奠定基础．因此，本节是该章的基础课、起始课，具有承上启下的作用，是本章的重点。

【教学设计】本节课作为一节概念课，也是复数部分的起始课，我主要采用了问题驱动式的教学模式，在数学活动过程中，学生与教材及教师产生交互作用，形成了数学知识、技能和能力，发展了情感态度和思维品质．基于这一理论，我把这一节课的教学程序分成四个环节来进行。一、创设情境让学生课前通过网络自己搜集数系扩充过程的相关资料，老师以幻灯片的形式展示给大家，并求解几个方程。设计意图：通过搜集信息，让学生了解我国在数学上的成就，激发学生的民族自豪感，而后面的几个方程是为了利用司空见惯的问题让学生知道，现在的实数系还是不够强大，并不能解决所有问题，需要进一步扩充。新知探究如何解决这样的方程在实数系中无解的问题。【问题1】我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？现在我们就引入这样一个数i，把i叫做虚数单位，并且规定：（1）i21；（2）实数可以与i进行那些四则运算？设计意图：通过一个简单方程解的情况的“陷阱”，培养学生严谨的科学态度，同时通过如何使一系列方程解问题的“诱导”，使学生不断受到数的概念的扩充的“基本特征”的冲击，形成思维定势，从而使引入一个新数i使方程x2+1=0有解的方法水到渠成，自然给出“虚数单位”的“规定”.【问题2】根据i的性质，我们拿两个实数a和b与i任意的做加法、乘法运算，可以得到哪些数呢？设计意图：引导学生由特殊到一般，形象的归纳出复数的代数形式，帮助学生建构复数的代数形式。从而数系进一步扩充到复数系。让学生了解数系被扩充至复数系，很多在实数系中不能解决的问题在复数系内已经可以得到解决。应用训练1:把下列运算的结果都化为a+bi（a、bR）的形式.设计意图：巩固复数的代数形式。【问题3】对一般的一个复数，你会对它怎样分类？设计意图：让学生通过例子直观的感受这些复数外在呈现出的结构的差异，进而归纳出复数的分类方法。应用训练2.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。例1:实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？变式训练：当m为何实数时，复数z=m2+m-2+(m2-1)i是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数设计意图：旨在明确复数的分类这一内容，特别要强调纯虚数的条件。【问题4】类比实数中有相等和不等，与相等吗？与相等吗？那么复数相等的充要条件是什么？并完成例二和随堂练习设计意图：问题5是为了直观的感受两个复数如果实部或虚部不一样，这两个复数就不一样，只有实部与实部相等，虚部与虚部相等，这两个复数才能相等，让学生体会从特殊到一般的推理，让学生感受到复数问题可以化归为实数问题来求解．例二让学生上台展示，体现学生的主体地位，激发学生的学习兴趣，调动学生学习数学的积极性和主动性，通过后面的几个问题，引导学生做题时应注意哪些地方，防止类似的问题以后再出错。概括小结采取师生互动的形式完成。即：学生谈本节课的收获，教师适当的补充、概括，以本节知识目标的要求进行把关，确保基础知识的当堂落实。作业课下练习：P52练习1，2，3书面作业：p55习题3.1A组1,2思考题：两个复数能比较大小吗？【效果分析】数学与人的生活息息相关；数学是对现实世界的一种思考、描述、刻画、解释、理解，其目的是发现现实世界中所蕴藏的一些数与形的规律，为社会的进步与人类的发展服务;新课程提倡自主、合作、探究的学习方式;课堂教学是学生学习科学文化知识的主阵地，也是对学生进行思想品德教育的主渠道。基于以上要求和目的，我精心设计了本节课。一节课下来，效果上分析如下：创设情境，引入新课部分：激发了学生的学习兴趣，“兴趣是最好的老师。”教学中，我首先呈现生活情境，引导学生观察思考使学生迅速进入学习状态。从而充分调动学生学习数学知识的积极性，激发学生的学习热情。探究新知部分：以原有的知识和经验为基础，经历独立思考、小组交流等环节，鼓励学生大胆地呈现个性化的理解。通过比较分析沟通新旧知识间的联系，引导学生自主得出结论，加深了对“复数概念”的理解。并鼓励学生大胆提问，给予及时的肯定和表扬，增强学生提问的勇气和信心。在整个教学过程注重学生参与的主动性，在互相启发的学习活动中，使学生逐步掌握数学的思想方法，受到数学思维的训练，获得知识，发展能力。巩固新知部分：通过多层次的练习，让学生在练习过程中不断加深对新知识的认识与理解，提高学生的观察能力、概括和归纳能力。练习的设计密切联系教学的重难点，同时习题的编排体现由易到难的层次性。但与自己曾设想的效果还是有一定的差距。