2024届一轮复习数学新材人教A版 第六章 数列 6-5　数列求和（一） 学案

§6.5数列求和(一)考试要求1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握分组求和、并项求和、与奇偶项有关的求和等几种常见的求和方法．知识梳理数列求和的几种常用方法(1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．①等差数列的前n项和公式：Sn＝________________＝________________.②等比数列的前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,.))(2)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(3)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．常用结论常用求和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.(3)12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(nn＋12n＋1,6).(4)13＋23＋33＋…＋n3＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝eq\f(a1－an＋1,1－q).()(2)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n)＋2n＋3))的前n项和可用分组转化法求和．()(3)1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1).()(4)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.()教材改编题1．数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为()A．－200 B．－100C．200 D．1002．已知函数f(n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2当n为奇数时，,－n2当n为偶数时，))且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于()A．0 B．100C．－100 D．102003．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝________.题型一分组求和例1从①(3n－1)an＋1＝(3n＋2)an，②a2＝5,2an＋1＝an＋an＋2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．已知数列{an}满足a1＝2，________.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{an＋bn}的前n项和Tn.注：若选两个条件分别作答，则按第一个解答计分.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和．(2)若数列{cn}的通项公式为cn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an，n为奇数，,bn，n为偶数，))其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和．跟踪训练1(2023·太原模拟)已知各项都不相等的等差数列{an}中，a6＝11，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝＋an，求数列{bn}的前n项和Sn.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型二并项求和例2记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－2n＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝(－1)n·log2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)an＋4－\f(4,3)))，数列{bn}的前n项和为Tn，求T100.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华并项求和法的常见题型(1)数列{an}的通项公式为an＝(－1)nf(n)，求数列{an}的前n项和．(2)数列{an}是周期数列或ak＋ak＋1(k∈N*)为定值，求数列{an}的前n项和．跟踪训练2(2022·安庆模拟)已知等差数列{an}满足an＋an＋1＝4n.(1)求{an}的通项公式；(2)若bn＝ancosnπ，记{bn}的前n项和为Sn，求S2n.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型三与奇偶项有关的求和问题例3已知数列{an}是正项等比数列，满足a3是2a1,3a2的等差中项，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(－1)nlog2a2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华分奇偶的数列求和的一般思路当n为偶数时，并项求其前n项和；当n为奇数时，则n－1为偶数，故代入先求出前n－1项的和再加第n项，即前n项的和．用式子表示为Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn，n为偶数，,Sn－1＋an，n为奇数.))跟踪训练3已知等差数列{an}中，a2＝5，a3＋a5＝18.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝an＋ncos(nπ)，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn._______________________________________