2023学年完整公开课版第部分平面

宁静的湖面，一望无垠的草原给你什么样的感觉？如来佛祖的手掌心大得令人咶舌，可以向四周无限的延展，神通广大的孙悟空使尽浑身解数也难以逃脱．问题1：生活中的平面有大小之分吗，其“平”是相对的还是绝对的？提示：有大小之分．相对的．问题2：几何中的“平面”是怎样的？提示：抽象的理想化，绝对平，无大小之分．1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是

的．无限延展2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个

，它的锐角通常画成

，且横边长等于其邻边长的

．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用

画出来．如图②.平行四边形2倍虚线45°3．平面的表示法图①的平面可表示为

、

、

或

.平面α平面ABCD平面AC平面BD生活中有许许多多看似顺理成章的现象值得我们思考，如：问题1：若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？提示：在桌面上．问题2：为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚就能固定自行车？提示：撑脚和自行车的两个轮子与地面的接触点不在一条直线上．问题3：两张纸面相交有几条直线？提示：一条．平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的

在一个平面内，那么这条直线在此平面内

，

，且

，

⇒l⊂α两点A∈lB∈lA∈αB∈α公理内容图形符号公理2过

的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条

，

⇒α∩β＝l，且P∈l不在一条直线上过该点的公共直线P∈αP∈β1．几何里的平面有以下几个特点(1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的；(4)平面是由空间点、线组成的无限集合；(5)平面图形是空间图形的重要组成部分．2．从集合角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．[例1]

读图①②，用符号语言表示下列图形中元素的位置关系．(1)图①可以用符号语言表示为_______________；(2)图②可以用符号语言表示为_____________．[思路点拨]

根据点、线、面之间三种语言的转换可表示．[精解详析]

(1)α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n＝P，m∥l.(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，A∉l，B∉l.[一点通](1)集合中“∈”的符号只能用于点与直线、点与平面的关系，“⊂”和“∩”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借助于集合符号，但在读法上仍用几何语言．(2)为方便起见，个别地方的用法与集合符号略有不同，如a与b相交于点A，记作a∩b＝A，而不记作a∩b＝{A}．解析：点与线或面之间的关系是元素与集合的关系，用∈表示；线与面之间的关系是集合与集合之间的关系，用⊂表示．答案：B2．用符号语言表示下列语句，并画出图形．(1)点A在平面α内，点B不在平面α内；(2)直线l在平面α内，直线m不在平面α内；(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.[例2]

证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．

[精解详析]

已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．3．已知直线a∥b，直线l与a、b都相交，求证：a、b、l共面．⇒l⊂α⇒a，b，l共面．证明：法一：法二：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α.a∩l＝A，直线a，l确定一个平面β，又l∩b＝B，∴B∈α，B∈β，a⊂α，a⊂β，∴平面α与β重合．故直线a，b，l共面．4．已知，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，求证：A、B、C、D四点共面．证明：∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面α.∵AB⊂α，CD⊂α，∴A、B、C、D∈α.即A、B、C、D四点共面．[例3]

(10分)如图所示，在四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求证：EF、GH、BD交于一点．∵O在平面ABD内，又在平面BCD内，∴O在这两平面的交线上． (8分)而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，∴点O在直线BD上．∴EF、GH、BD交于一点． (10分)5.已知：如图所示，平面α、β、γ满足α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∩b＝A.求证：a，b，c三线交于一点．证明：∵a∩b＝A，∴A∈a，A∈b，又α∩β＝a，β∩γ＝b，∴a⊂α，b⊂γ，∴A∈α，A∈γ.而α∩γ＝c，∴A∈c.∴a，b，c相交于点A.6.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．证明：如图所示，连接A1B，CD1.显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1⊂平面A1BCD1.同理BD