2023届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第28讲怎么求异面直线所成角含解析

Page1第28讲 怎么求异面直线所成角一、知识与方法1异面直线所成角的定义(线线角)直线是两异面直线,经过空间任意一点,分别作,则两相交直线,所成的锐角(或直角)叫作两异面直线所成的角,两条异面直线所成的角的范围是2求异面直线所成的角的方法求异面直线所成的角是通过平移直线,把异面问题转化为共面问题来解决,根据等角定理,异面直线所成的角的大小与顶点位置无关,一般将角的顶点取在一些特殊点上(如线段端点,中点等),还可以用空间向量法求解就不用平移了.3平移法求异面直线所成角的一般步骤(1)平移:选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线,这里的点通常选择特殊位置的点,如线段的中点或端点,也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点.(2)证明:证明所作的角是异面直线所成的角.(3)寻找:在立体图形中,寻找或作出含有此角的三角形,并解之.(4)取舍:因为异面直线所成角的范围是所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线所成的角.4立体几何中,解计算题的一般步骤(1)作图;(2)证明;(3)计算.三步缺一不可.二、典型例题【例1】(1)在正四面体中(如图所示),分别是的中点,则和所成的角为________;(2)已知正四面体中,是的中点,则异面直线与所成角的余弦值为（）.A. B. C. D.(3)在正四面体中,(如图所示)线段是棱的中点和中心的连线,而线段是的高.求和所成角的余弦值.【分析】本例3小题都是求正四面体上两异面直线所成角.通常是通过平移化空间为平面,再解三角形求得,一般情况下运用余弦定理[如第(2)(3)问的解法],也可用原图形的扩展,每个四面体都有其外接平行六面体,四面体的棱为平行六面体的面对角线,而正四面体的外接平行六面体是正方体或者说正四面体是正方体的六条面对角线所构成的内接图形,第问的解法二用的就是这种解法.【解析】(1)【解法一】(平移法)如图所示,取的中点,连接,则是与所成的角或其补角.是正四面体,且,于是且,即是等腰直角三角形.,即与所成角为.【解法二】(补体法)如图所示,作正四面体的外接正方体,则分别为正方体相对两个面的中心,.于是与所成角即为,其大小为.(2)【解法一】(平移法)如图所示,取的中点,连接,则故(或其补角)即为异面直线与所成的角.设正四面体的棱长为,则.在中,由余弦定理得异面直线与所成角的余弦值为,故选.【解法二】(补体法＋向量法)在正方体中嵌套一个正四面体,建立空间直角坐标系,如图所示,不妨设正方体的棱长为,则是的中点,,又,故选.(3)如图所示,连接,延长交于,可知为中点,连接,取三等分点,使.连接,则且是和所成的角或其补角.设正四面体棱长为在中,连接.与所成角为.【例2】如图所示,四边形和均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点在线段上,分别为的中点,设异面直线与所成的角为,则的最大值为________.【分析】立体几何中动态问题具有较大的综合性,是解立体几何问题中的一个难点,通常有儿何法与向量法两种解题方法,几何法可以结合图形分析何时取得最大值,当点在处时,与所成角为直角,此时余弦值为(最小),当到达点时,角最小,从而余弦值最大.当然若设,求得关于的函数,借助于函数的单调性求得最大值,可谓殊途同归,结合图形中动点变化时,与所成角大小的变化,显示出数形结合,以形助数的魅力,这是一种很好的思维方法.当然本题极易建立空间直角坐标系,利用向量解无疑是求空间角的常用方法,易于操作.【解法一】(平移法十函数单调性)如图所示,设正方形的边长为,则.取中点,连接,则或其邻补角即为异面直线与所成的角,设,连接.在中,易得;在中,易得而,则,过点作,过点作,则.在中,易得;在中,易得易知在上是减函数.当时,,即的最大值为.【解法二】(向量法+基本不等式)以为原点,分别以射线为轴,轴,轴的正半轴建立空间直角坐标系,如图所示,设,则.设,则.由于异面直线所成角的范围为,令,而,当时取等号.当时,即点与点重合时,取得最大值为.【例3】如图所示,平行六面体中,底面是边长为1的正方形,,求异面直线和所成角的余弦值.【分析】求两异面直线所成角的余弦值,从立体几何角度讲,通常采用平移法,但有时平移后的图形不易作出,可用补体的方法,即补体后再平移,当然,运用向量法求两异面直线所成的角是好方法.而向量法通常又分为纯向量法和坐标法.当空间直角坐标系难认建立时,可考虑纯向量的方法,还必须提醒的是两异面直线所成角的范围为,而两向量所成角的范围是,这是容易出错的地方.【解法一】(补体法)如图所示,补上一个同样的平行六面体,则或其补角即为异面直线和所成角.在中,可算出,.故由余弦定理得而两异面直线所成角的范围为,故异面直线和所成角的余弦值为.【解法二】（纯向量法）注意到从点出发的三条棱长和两两夹角都是已知的,故可设,如图所示.则故故异面直线和所成角的余弦值为.三、易错警示【例】空间四边形中,与所成的角为,分别为的中点,求与所成的角及的长.【错解】如图所示,过点作,过点作与交于点.四边形是边长为的菱形.则就是与所成的角,即.是与所成的角.在和中,,因此,与所成的角为在中,.则由余弦定理,得.取的中点为,则,且.则,因此,的长为.【评析及正解】上述解法对异面直线所成角的概念不凊晰,其实是与所成的角或其补角,所认在上述解法的基础上还应补上的情形.如图所示,不论还是,异面直线与所成角都为取的中点,则且或当时当时,因此,的长为或.四、难题攻略【例】将边长为1的正方形(及其内部)绕旋转一周形成圆柱,如图所示,长为长为,其中与在平面的同侧.(1)求三棱锥的体积;(2)求异面直线与所成角的大小.【分析】本题的载体为圆柱,情景有所不同,但仍然依据求两异面直线所成角的3种基本方法求解,即①立体几何平移法;②化向量的方法;③向量坐标法.【解析】(1).(2)【解法一】(平移法)如图所示,过作,则为异面直线与所成的角.在中,.因此,异面直线与所成的角为【解法二】(纯向量法)如图所示,由,且,得因此异面直线与所成的角为.【解法三】(向量坐标法)建立如图所示空间直角坐标系,则,因此异面直线与所成的角为.五、强化训练1.如图所示.三棱锥中,底面边长和侧棱长都相等.,求异面直线与所成角的余弦值.【解析】【解法一】（直接平移法）：如图①所示，作底面，由可知，为的角平分线，且面，于是，四边形为矩形.取的中点，联结交于点，则为的中点，∴异面直线与所成角等于与所成的角，即或其补角.设三棱柱的棱长为，由题意即可得.于是.故异面直线与所成角的余弦值为【解法二】（补体法一）:在三棱柱的上底面补一个大小相同的三棱柱，如图②所示，联结，且交于点，则或其补角为异面直线与所成角，设，易得.在中，有，异面直线与所成角的余弦值应为.【解法三】（补体法二）：将三棱柱补为平行六面体，再放同样的一个平行六面体，如图③所示.就是异面直线与所成的角，设棱长为，在中，易求得，