初中数学沪科版八年级下册四边形19．4综合与实践多边形的镶嵌“衡水杯”一等奖

中物理沪科版数学八年级下册第19章四边形19.4综合实践——多边形的镶嵌(n为不小于3的整数)1、多边形的内角和定理：n边形的内角和等于

(n-2)•180°

这样的多边形叫做.正多边形各个内角都相等，多边形中，如果各条边都相等，2、正多边形的定义3、正n边形的每一个内角(n-2)·180°n4、一个周角的度数为360°且都等于都相等，知识回顾

每个内角的度数正四边形正五边形正六边形正n边形正三角形正多边形内角和…(n-2)·180°(6-2)×180°(5-2)×180°(4-2)×180°180°=360°=540°=720°180°÷3=60°360°÷4=90°540°÷5=108°720°÷6=120°(n-2)·180°n……知识回顾请你欣赏好漂亮的地板!这是怎么铺设的?一点空隙也没有.创设情境这些图形拼成一个平面图案的共同特征是什么？

我们常常可以看到用各种形状的地砖(或墙砖)铺砌成的平面图案.既无缝隙又不重叠

我们把这种覆盖平面区域就叫做平面镶嵌

覆盖平面区域，例如:

在几何里面叫做.概念学习用形状相同或不同的平面封闭图形，使图形间既无缝隙又不重叠地全面覆盖，平面镶嵌注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠.

观察以下图形并思考在镶嵌时如何做到既无缝隙又不重叠?

要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使得拼接点处的所有角之和等于360°.仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面区域？探究1①正三角形的平面镶嵌60°60°60°60°60°60°6个正三角形可以镶嵌.②正方形的平面镶嵌90°4个正方形可以镶嵌.123∠1+∠2+∠3=③用边长相同的正五边形能否镶嵌？不能拼成周角108°108°108°324°正五边形不能镶嵌④正六边形的平面镶嵌120°120°120°3个正六边形可以镶嵌

思考：为什么边长相等的正五边形不能镶嵌，而边长相等的正六边形能镶嵌？可以组成360°的角，答：因为正五边形的每个内角是108°，不能组成360°的角，所以正五边形不能镶嵌；而正六边形的每个内角是120°，所以能镶嵌.多边形平面镶嵌的条件：每个顶点处几个内角的和为360°收集整理数据正n边形拼图每个内角的度数使用正多边形的个数k结论能镶嵌能镶嵌不能镶嵌能镶嵌360°÷60°=6360°÷90°=4360°÷108°=？360°÷120°=360°90°108°120°n=3n=6n=4n=5思考：用一种正多边形可以镶嵌的条件：每个内角都能整除360°.

思考：仅限于同一种正多边形镶嵌,还能找到能镶嵌的其他正多边形吗?

思考：仅限于同一种正多边形镶嵌，还有其它正多边形能镶嵌吗？k·(n-2)×180°n=360°(n-2)(k-2)=4k=6n=3k=4n=4k=3n=6设在一个顶点周围有

k个正n边形的角，则有∵

k为正整数，n为大于等于3的正整数∴解为整理，得

一种正多边形镶嵌有三种选择：6个正三角形、4个正方形、3个正六边形用两种正多边形镶嵌，哪些能镶嵌成一个平面区域?探究22m+3n=12m=3n=2m·60°+n·90°=360°设在一个顶点周围有m个正三角形的角，n个正方形的角，则有∵m,n为正整数∴解为①正三角形与正方形化简，得答：每个顶点周围有3个正三角形和2个正方形.3个正三角形+2个正方形m=4n=1m+2n=6m=2n=2m·60°+n·120°=360°设在一个顶点周围有

m个正三角形的角，n个正六边形的角，则有∵m,n为正整数∴解得②正三角形与正六边形化简，得

答：每个顶点周围有2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形.2个正三角形+2个正六边形4个正三角形+1个正六边形1个正方形+2个正八边形③正方形与正八边形2个正五边形+1个正十边形④正五边形与正十边形⑤正三角形与正十二边形1个正三角形+2个正十二边形思考：

能否用三种正多边形，如用正三角形，正方形，正六边形（边长相同）能铺满地面？

两种正多边形拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°，这两种正多边形就能镶嵌.归纳总结1个正三角形+2个正方形+1个正六边形仅用同一种形状、大小完全相同的一般多边形能进行平面镶嵌吗？探究3231231231231231231231231231231①同一种任意三角形的镶嵌1、任意形状、大小相同的三角形都

镶嵌,2、在每个拼接点处有

个角，而这

个角的和恰好是这个三角形的内角和的

倍，也就是它们的和为

.可以六六两360o结论：

形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成平面图形.1、任意形状大小相同的四边形

镶嵌.2、在每个拼接点处有

个角，而这

个角的和恰好是这个四边形的四个内角之

,也就是它们的和为

.24132413241324132413241324132413②同一种任意四角形的镶嵌可以四四和360º结论：

形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形.

即每一个内角拼接在一起时有重叠部分，

都可以平面镶嵌，四边形内角和是360°，想一想那么其它的一般多边形能进行镶嵌吗？上面我们讨论的一般三角形和四边形因为三角形的内角和是180°，

它们的内角和的整数倍都是360°，当边数越大时，例如：五边形中，内角和540°，已经超过360°，不符合平面镶嵌的含义.

因此边数大于4的一般多边形不可以平面镶嵌。内角和也越大，更不符合要求，本节课你有什么收获？1、要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使得拼接点处的所有角之和等于360°.2、形状、大小完全相