2023届高考数学重难点训练等差数列与等比数列A卷

专题15等差数列与等比数列A卷

一、单选题

1.已知｛%｝为等差数列，&为｛厮｝的前n项和.若Sio<O,a3+a7>0,则当S”取最

大值时，冗的值为()

A.3B.4C.5D.6

2.已知数列｛厮｝前n项和为&.且幻=p,2Sn-S2\=2p(n22)(p为非零常数)则下列

结论中正确的是()

A.数列｛而｝不是等比数列

15

B.P=1时晶=不

10

C.当p=不时，TlSN*)

D.闷+国=闷+|a«|

2n

3.已知等比数列｛厮｝满足On>0,"=1,2,•,•，且•a2n_8=2(n23),则当打21时，

log2ai+log2a3+•••+log2ajjn-i=()

A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2

4

4.已知正项等比数列｛%｝的前兀项和为S”，鼠=上气，且数列｛，,｝的前n项和为❷，

若对于一切正整数几都有&V4,则数列｛。力的公比g的取值范围为()

A.(1,+8)B.(0,1)C.(2,+oo)D.(0,4)

5.在等比数列｛时｝中，Q1+。2+。3+Q4=5,。2。3=—3,则-1-----1-----1----=()

Q10,2。3。4

3553

A-5B_3C3D.--

6.数列｛厮｝满足⑸=2,aj=-4,且对任意正整数n,有5+2=2an+i—5+1,则%的

最小值为()

A.-16B.-17C.-18D.-19

7.己知等差数列｛厮｝,其前n项和为&,ai>0,方程®2-(A2+A+1)X-(A2+1)=0

的两根是a2012、£12013,则满足S“>0的n的最大正整数为()

A.4023B.4024C.4025D.4026

8.已知数列｛源｝是等比数列，数列他｝是等差数列，若O4，a8-a9=—3v^，

&4+&8+&9=27r,则tan瓦+-0[=（）

。3♦Q11-1

A.-x/3B.巫C.遗D.y/3

33

9.设｛斯｝是公差为正数的等差数列，若向+。2+=15,且=a2a3,5„是数列｛斯｝

的前n项的和，则2%+10的最小值为（）

an

A.5B.C.6D,这±A

53

二、多选题

10.己知｛丽｝为等差数列，S”为其前n项和，则下列结论一定成立的是（）

A.若G1=,则QI==•♦,=%B.若。5>。3，则SiVS2V---<Sn

C.若。3=2,则+口,若。4=8,as=4,则Si2=66

11.已知等比数列｛厮｝的前n项和为S”，且$2=4%,&2是ai+1与33的等差中项，数列

也”｝满足4=&,+]，数列｛4｝的前n项和为Tn，则下列命题正确的是（）

A.数列｛"｝的通项公式为痴=3»1

B.Sn=3M

2x3n

6=

C.数列｛4｝的通项公式为"（3»-1）（3»+1-1）

D.T”的取值范围是廉）

三、填空题

ISR

12.设正项等比数列&｝的前n项和为&，且On—+1=右，则|=

13.设等差数列｛厮｝的公差为d（期0）,前n项和为S„,若数列｛〃6S“+4m+l｝也是公差

为d的等差数列，则6=.

14.已知数列｛厮｝的前n项和为&,且数列｛q｝为等差数列,若$2=1,52018-52016=5,

则52018=-

四、解答题

15,已知等差数列｛厮｝公差不为零，G1+a2+a3=05.«2•=as,数列｛4｝各项均为正

数，61=1,助“+J+24+1除一%2=0

⑴求数列｛厮｝,｛4｝的通项公式；

(2)若金-+6》而恒成立，求实数人的最小值.

加+1

16.已知数列｛而｝满足：例吴,武：+而T)=裂土比，0nJ+1<Q(n€N*),数列｛4｝

2工一51—fln+1

满足：bn=a„+1-a^(n€2V*).

(I)求数列｛&n｝,｛M的通项公式；

(n)证明：数列｛4｝中的任意三项不可能成等差数列.

17.已知正项数列｛an｝满足药=1,前n项和S”满足2%—，双=y/Sn-i(n22,neN・),

(1)求数列｛源｝的通项公式；

⑵若数列｛4｝满足40n—1=含+盘r+…+会r，求数歹U也”｝的前n项和4.

/十X/十J.2十X

答案和解析

1.【答案】。

【解答】

解：因为Sio=1°(。：=5(Qi+aw)=5(两+%)V0，

所以。5+。6<0，

又。3+。7=2。5>0,

所以05〉0，所以的<0,

则(&)max=$5，故选C.

2.【答案】C

【解答】

解：由2&—&_i=2p(n22),以及的=2得。2=§.

=

7123时，2Sfj_i—Sn-2=2P,相减可得20n—(Xn-l0,

ArtI1

又二=3,数列｛厮｝为首项为，公比为l的等比数列，故A错误;

Q1/2

由a可得p=i时,s<=—1~=为■，故8错误;

1AO

m+n-1

i=p・Q）(])，所以斯i，Qn=%i+n(mmeN*),故。正确；

11QQ1119

%|+%|=>1（方+齐）=|p|-128'㈤+同=4际+R=加1128'

则|闻+|佻|>园+|闻,故D错误；

故选C.

3.【答案】C

【解答】

解：•・•等比数列｛厮｝，曲・0加-6=沪(办》3),

.,.当々=3时，。5。1—26»当九=4时，a5a3=2s,

「・言=22，「.公比Q=2，'/aig4•ai=2s,ai=2,=271,

Ql•O3•。5…••…G2n-1=21X2之X方・・・・・・2副一】>

_2(1+^^^—F2n-1)=2(n2),

Iog2ai+log2a3+…+log2O2n-1=log2(ai♦d3•…O2n-1)

2

=log22(")=n•

故选C.

4.【答案】B

【解答】

解：因为等比数列｛厮｝是正项等比数列，所以的>0、q>0,若。=1,则％=的，

.•&=单=%=的，则有&=4,不满足题意;若*1,则$“=哗@,鼠=单=4,

嫌+11-9嫌+1/

Tt

ai。—Q").Tq-I。-q")J0一%(1二炉)(1一下)―的(1二9)(1+q+q2)

T=TnSn(审一】)一

n93(1-q)'-~q3Q一q)

因为ai>0,?>0,Sn<Tn,则1—十>0,q"<l,.•.0<q<l,故数列｛aj的公比q的

取值范围为（0,1）.

故选总

5.【答案】B

【解答】

解：：。2。3=—3,

・•・公比q〈0,

则由Q1+。2+。3+Q4=5,。2。3=-3，

得驾二©=5,*2/=—3,

1-9

则-+^+^-+-=%IF)

O1。2Q3a4]_9

l-q41

323

aig(l-q)1-qaig

故选8.

6【答案】D

【解答】

解：厮+2—20T叶1+an=1,

工(斯+2—斯+1)—(厮+1—%)=1，

而。2—=—4—2=—6,

」.数列｛而+1—an｝是以一6为首项，1为公差的等差数列.

On+i—厮=—6+(71—1)x1=n—7,

.，・。2—Ql=1—79

。3—。2=2—7,

%—斯-1=(n—1)—7,

厮一=1+2+3+•♦•+(九一1)—7(n—1)

=n^n~-7(n-1).(n》2)

/.an=("-1?("—0+2=i(n2-15n+18)>(n22)

由于5=2满足上式，

2

所以0n=i(n-15n+18),

易得当n=7或8时取得最小值，aj=as=—19.

故选D

7.【答案】B

【解答】

解：因为等差数列｛厮｝中，句>0,方程7一(2+入+1.一(入2+1)=0的两根是a2012、a2013,

所以02012+@2013=A2+A+l>0>(12012*^2013=—(A2+1)<0,

所以。2012>0，。2013<°，。2012+。2013>°，

则$4024=2012(ai+04024)=2012(02012+Q2013)>。，$4025="侬⑶+"4025)=4025a2013<0，

满足>0的几的最大正整数n=4024.

故选：B.

8.【答案】A

【解答】

解：设数列｛Qn｝是公比为9的等比数列，数列｛瓦｝是公差为d的等差数列,

若04•例•。9=—3\/3,&4+&8+=27r,

贝|J,Q>I/•Qiq8=—3,^3»瓦+3d+瓦+7d+瓦+8d=27r,

即ad——5/3，bi+6d=99

o

即。7=—，^'匕7=等，

mi$&4+&10.痛

则tan---------=tan-s2b——7-=tan2—TT=—v3.

。3•-1g—13

故选：A.

9.【答案】B

【解答】

解：・・・｛而｝是公差为正数的等差数列，

由。1+。2+Q3=（。1+。3）+。2=3卷=15得的=5,

设公差为d，由。1。7=。2a3,

即（5—d）（5+5d）=5（5+d）,得d=3或d=0（舍去），得4=02—d=2,

则.=3n-1,$峥+D,则2Sn+10=3m2+n：i0

2Qn3n-l

令t=3n-l（t>0）,则奥②七二±竺=/±3tt鲤=2+遗+],

3TI—13t33t

、几t,32,,

设？=Q+后+1，

ooc

130

则训=g一希,令W<0，解得0<t<4v^，令必>。，解得t>4/，

所以夕在（0,4g）上单调递减，在（4V。,+8）上单调递增，

因为5<4«<6，t=371—1依次可取2,5,8一・

且当±=5,即n=2时，2s2+10=）；当』8,即功=3时，胆土史=5>得,

。25。35

w2S+10_,24

故---n----的/A最小值为七.

5

故选：B.

10.【答案】ACD

【解答】

解：设等差数列的公差为d，因为％=。5,所以命=ai+4d,所以d=0，则=…=1，

故A正确；

因为怒>。3，所以ai+4d>ai+2d,所以d>0,｛an｝为递增数列，

但Si<$2<…<S"不一定成立，如何=-2,aj=-1,as=0>Si=-2,S2=—3,S3=—3,

故B不正确；

因为嫉+磺》2(结里产=2域=8,当且仅当血=a5=2时取等号，故C正确；

£»

因为|a4-ai+3d-8,解得(，一］;则加=+8d=8—8=0,

(。8=ai+7d=4,Iai=11,

得Si2="^x12=66,故。正确.

II.【答案】BD

【解答】

解：4:由S2=4ai可得。2=3内，所以等比数列｛an｝的公比g=3,所以而二组*?”1.由&2是何+1

2n_1

与m*3的等差中项,可得2a2=ai+l+宁i3,即2aix3=ai+l+—(aix3),解得ai—2,所以an=2x3,

所以A不正确；

B:$誓吧=2x")=3」,所以8正确；

1-g1-3

C：鼠=$之+1=(3n-1)(3n+1-1)=0(3n-13"+1-1)，所以。不正确；

D'4='+与+'-'+b"=3(31—1-32—1)与(32—1-33—1)+…+，(3"_1一3"+1—1)=：0-3n+1-1)

,所以数列｛Tn｝是递增数列，得Ti&Tn<：x(｝))=：,所以:WTn<：，所以0正确.

o2bo0

故选：BD.

12.【答案】黑

/1

【解答】

解：正项等比数列｛厮｝的前n项和为S",且On—番,

则0102=",a2a3=去,

设正项等比数列｛aj的公比为q,

两式相除可得/=；,g=3负值舍去)，

yJ

°1(1-5

所以色=上7=1+工=”

5333W

可

故答案为默

13.【答案】3

【解答】

解：由于5”=。?+(Q1—廖n,

因此，6Sn+4n+1=73d*+(6ai—3d+4)n+1.

由于｛，6S*+4n+l｝是公差为d的等差数列，

因此，3d/+(6ai—3d+4)n+1=dn+B的形式，

从而3d=，("0),故d=3.

14.【答案】3027

【解答】

解：；数列｛之｝为等差数列，可设金=an+b,化为Sn=a/+bn,

•.•$2=1,$2018-S2016=5,.-.40+26=1,ax20182+20186-ax20162-20166=5

1工503贝US2oi8=/x2O182+黑x2018=3027，

联立解得:G=-,--6--=----

2016ibo8，ZU1Oivvo

故答案为3027.

15.【答案】解：(1)设等差数列/的公差为d，

由条件，(:::黑7d解得1?-n°'或1汇：

I+d)(Q]+Zdj—。1+7d,(d=01d=2

d/0,,17=j,,On=1+(n-1)x2=2n-1；

Id=2

3b(+i+26rAi+i—给=0,/・(A+i+瓦)(3%+1—%)=0,

bn'>0f&n+l=，

又瓦=l#0,6/0,/.,

nOn3

，｛归｝是以1为首项，:为公比的等比数列.

O

.•.九=。尸；

O

(2)：%=4)"T，an=2n-l,

o

合+6》时,即于+62-1,即、黑恒成立,

、4_2n-7

以的=3n，

m,i2n—52TI—7—4(n—4)

则d+lf=万丽-----歹=y+l-

即n=1,2,3时d+l>%；

几=4时4+1=/；

n>5,neNWGi+i<d,

Cn=2为｛仇｝的最大项，

n=4或5时，

ol

.•.入22，故实数人的最小值为之.

16.【答案】(I)解：由题意可知，3(；+。-1)=:(1+一)

1-On1一G计1

2

可得"电1=孝1-d),

O

2

令金=1一城，则Cni=-Cn，

+o

又Cl=1_G：=[,

2O

则数列｛CR｝是首项为C1=j公比为加等比数列，

q9

故金=Ciq"T=/W)nTmwN*),

故1一屋=翡)1，即d=1-.&n-Xn€N*),

1

->O

2&水3+1V0

故厮=(-1)*】J1-eN*),

因为均=磺+1一成，

故国=1-1"(狎一[1一舒”[=i'©"T伍wN*).

综上：数列｛%｝的通项公式为0n=(_1尸,1_1.a-1(71eN*):数列｛4｝的通项公式为

19

%=鸿feN*).

(n)证明：假设数列也”｝存在三项br，bs，bt(r<s<t)按某种顺序成等差数列，

1Q

由于数列｛5｝是首项为今公比为3的等比数列，

qo

若分,bs，瓦(r<s<t)按某种顺序成等差数列成立，则可能有2%=%+瓦成立，

所以2x新-=].(犷]+:《尸

oO

化简整理后可得2=(-)r-4+(-)*-s,

由于r<8<t,且为整数，故上式不可能成立，与假设矛盾.

故数列｛5｝中任意三项不可能成等差数列.

17.【答案】解：(1)由20n—，=二(九》2,几£斤)

可得20n=+y/Sn-\[n22,nwN*),

即：2(Sn-Sn-i)=+y/Sn-i(n>2,nGN*)，

vaa>0,;,Sn>0,(图+/二)>0,

2(，^+y/Sn-i)(y/S^—y/Sn-i)=y/S^+Sn-\，

1•—y/Sn-i=^，

则{遍}是以y/si=y/o^i=1为首项，公差为；的等差数列,

则遍=宏国=(耍)2，

当n》2时,％,=Sn—Sn-i=1

当n=1时,ai=1,

[1>"=1

所以：On=<1—2n+1

⑵当TZ=1时,3=V，瓦=9,

o

k}bn

7122时,由4•一1=存+否彳42n+T

可得：2"=条+辞1+”・+诉争不^'

2(“7=条+Ai+…+/H”》&②,

①一②得：2=今&=2(2n+l)(n23),

Z7十JL

9,71=1

bn=<5,n=2

2n+1+2,n>3

n=1时，n=bi=9,

n=2时,n=瓦+电=14

71》3时,£=9+5+24+25+.・・+2计1+2(办-2),

=2n+10+21：-岸)=2n+10+2n+2-16=2"+2