高中快车道数学必修第一册课件第五章53诱导公式课时

第五章三角函数高中快车道成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存，自动更新，永不过期5.3

诱导公式课时7

诱导公式(2)高中快车道教学目标借助单位圆和任意角的三角函数的定义,运用类比联想的方法自主探究、发现诱导公式五和六.类比诱导公式二、三、四的证明方法,运用任意角的三角函数定义完成诱导公式五、六的证明.学会运用诱导公式一~六,求解有关任意角的三角函数的求值、化简及三角恒等式证明等问题.学习目标课程目标学科核心素养类比诱导公式二、三、四的探究方式,自主探究和发现诱导公式五、六运用类比联想的方法自主探究和发现诱导公式五、六,培养数学抽象、直观想象等素养学会运用任意角的三角函数的定义,自主推导和证明诱导公式五、六在运用任意角的三角函数的定义证明诱导公式五、六的过程中,培养数学抽象、逻辑推理等素养会运用诱导公式一~六解决三角函数的求值、化简及三角恒等式的证明等问题通过运用诱导公式一~六解决三角函数的求值、化简等问题,培养逻辑推理、数学运算等素养情境导学剪纸是我国的一项古老的民间艺术，它普遍存在于各族人民的社会生活中，是各种民俗活动的重要组成部分.2006年，剪纸艺术遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录．如图1是花纹样式的剪纸，将其放入直角坐标系中，如图2，我们可以发现这个图案具有四条对称轴，它们可以分别对应x轴、y轴及各象限的角平分线．xy之前我们探究了单位圆中终边关于原点及坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，你还能找出单位圆中终边关于四个象限的角平分线对称的角的三角函数值之间的关系吗？初探新知【活动1

】推导诱导公式五【问题1】如图，P1是单位圆上一点，作点P1关于直线y＝x的对称点P5，以OP5为终边的角β与角α有什么样的代数关系？【问题2】计算：𝟔sin𝛑

＝𝟑，cos𝛑

＝；𝟔cos𝛑

＝𝟑，sin𝛑

＝．【问题3】𝛑与𝛑这两个角之间有怎样的关系？观察上述运算结果，猜想终𝟔

𝟑边关于y＝x对称的角的三角函数值间可能存在的关系．【问题4】你认为符合这样的终边特征的角的三角函数值相互对应的规律恒成立吗？【问题5】你能结合单位圆，利用三角函数的定义来证明该猜想吗？【活动2

】在诱导公式五的基础上，推导诱导公式六𝟐【问题6】由公式五，我们知道了角𝛑－α与α的终边是关于直线y＝x对称的，那么角𝛑＋α与角𝛑－α、角α的终边分别具有怎样的关系？𝟐

𝟐𝟐【问题7】𝛑＋α与α的三角函数值之间有怎样的关系？你能给出证明吗？𝟐【问题8】由诱导公式五和六,你能推导出tan（𝛑±α）与tanα的关系吗?【问题9】诱导公式一~四的结构特征可以概括为“函数名不变,符号看象限”,你能类似地概括出诱导公式五和六的结构特征吗?【问题10】诱导公式一~六都叫做三角函数的诱导公式,你能用简洁的语言概括出三角函数的诱导公式的结构特征吗?【问题11】三角函数的诱导公式有什么作用?典例精析【例1】

求证：𝟐(1) sin（𝟗

𝝅

−

𝜶）

＝cos

α；𝟐(2)

cos（𝟕

𝝅

൅

𝜶）＝sin

α.【证明】

(1)

因为左边＝sin（𝟗

𝝅

−

𝜶）

＝sin（4𝝅

+

𝟏

𝝅

−

𝜶）

＝sin𝟐

𝟐𝟐（𝟏

𝝅−𝜶）＝cos

α＝右边，所以原式成立．(2)

因为左边＝cos（𝟕

𝝅+𝜶）

＝cos（4𝝅−𝟏

𝝅+𝜶）

＝cos

（−𝟏

𝝅+𝜶）𝟐

𝟐

𝟐𝟐＝cos

（𝟏

𝝅−𝜶）＝sin

α＝右边，所以原式成立．【方法规律】化负角为正角，化大角为小角.角中含有加减π的整数倍时，用公式去掉π的整数倍.适当运用诱导公式五、六，转化为锐角三角函数进行函数值的运算．𝐜𝐨𝐬

（ି𝜶）𝐬𝐢𝐧（𝝅ା𝜶）

𝐜𝐨𝐬

（𝝅ି𝜶）

𝐬𝐢𝐧（𝝅ି𝜶）

𝐜𝐨𝐬

（𝝅ା𝜶）𝐬𝐢𝐧（𝝅ା𝜶）【变式训练1】求证：

𝟐

𝟐

＋

𝟐

＝2sin

α.【证明】因为左边=𝒄𝒐𝒔𝜶𝒔𝒊𝒏𝜶+𝒔𝒊𝒏𝜶(ି𝒔𝒊𝒏𝜶)=2sinα=右边,所以原式成立.𝒄𝒐𝒔𝜶

ି𝒔𝒊𝒏𝜶【例2】已知f(α)＝𝟐𝐬𝐢𝐧

（𝟐𝝅ି𝜶）

𝐜𝐨𝐬

（𝝅ା𝜶）𝝅𝐜𝐨𝐬

（𝟐ି𝜶）

𝐭𝐚𝐧

（𝝅ା𝜶）𝝅𝟑，求f().思路点拨：根据三角函数式中角的特点,灵活地运用诱导公式一~六,先化简,再求值.【解】f(α)＝ି𝐬𝐢𝐧

𝜶（

ି𝐬𝐢𝐧

𝜶）𝐬𝐢𝐧

𝜶

𝐭𝐚𝐧

𝜶𝟑

𝟑

𝟑

𝟐＝cos

α.代入α＝𝝅，可得f(𝝅)＝cos𝝅

＝𝟏.【方法规律】观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异,灵活运用诱导公式进行角的转化和化归,先化简,再计算求值.运用诱导公式时,要抓住两点:一是函数名是否要改变,怎么改变;二是符号怎样确定.从角的特征分析,灵活地运用诱导公式是实现解题的关键.【变式训练2】[教材改编题]已知sin（

𝝅

+𝜶）

＝－𝟑，计算𝟐

𝟐：(1)

sin（

𝟓𝝅

−

𝜶）

；(2)

sin

(π＋α)；(3)

cos

（𝜶

−

𝟑𝝅

）.𝟐

𝟐【解】由

sin

2π＋α＝－32，可得cos

α＝－【例3】

[教材改编题]已知sin（

𝝅

−

𝑥）＝𝟏，且0<x<𝝅，求sin𝟑

𝟑

𝟐𝟔（

𝝅

+𝑥）的值．思路点拨

充分利用诱导公式，根据已知角对所求角进行转化和代换．注𝟑意根据角𝝅－x所在象限对其三角函数值的影响．为sin

（

𝝅

−𝑥）＝𝟏，𝟑

𝟑以cos

（

𝝅

−

𝑥）＝±

𝟏

−

𝐬𝐢𝐧𝟐（

𝝅

−

𝒙）＝±𝟐

𝟐.𝟑

𝟑

𝟑为0<x<𝝅，所以—𝝅<𝝅—x<𝝅，𝟐

𝟔

𝟑

𝟑所表示,从而解决问题.解题时,要学会抓住角的特征分析,发现已知角与所求角的和、差因与(k∈Z)的关系,再借助诱导公式来转化.所以cos（

𝝅

−

𝑥）

＝𝟐 𝟐，所以sin（

𝝅

+

𝑥）

＝𝟐

𝟐.𝟑

𝟑

𝟔

𝟑36【解】因为（

𝝅

−𝑥）＋（

𝝅

+𝑥）＝𝝅，𝟑

𝟔

𝟐所以sin

（

𝝅

+𝑥）＝sin[𝝅

−（

𝝅

−𝑥）]＝cos（

𝝅

−𝑥）

.𝟔

𝟐

𝟑

𝟑因【方法规律】抓住角p

-x与p+x互余的特征进行角的变换,灵活地运用诱导公式将所求角用已知角【变式训练3】已知θ是第四象限角，且sin（𝜽+𝝅

）＝𝟑，则𝟒

𝟓𝝅𝟒tan（𝜽

−

）

＝.4—3【解】【解】𝟔（备选例题）已知sin（x+𝛑）=𝟏,求sin（𝟕𝛑

+𝑥）+cos2(𝟓𝛑

−𝒙)的值.𝟑

𝟔

𝟔思路点拨

利用诱导公式先化简,-sin(x+𝛑)+[-cos(x+𝛑)]2𝟔

𝟔【解】【方法规律】应用诱导公式与三角函数的基本关系时要注意:①三角式的化简通常先用诱导公式,将角度统一后再用同角三角函数关系式,这可以避免交错使用公式时导致的混乱;②在运用公式时正确判断符号至关重要;③三角函数的化简、求值是三角函数中的两类基本问题,要予以重视;④正确理解“奇变偶不变,符号看象限”可以提高解题的效率.课堂反思1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？2.你认为本节课的重点和难点是什么？随堂演练1.若cos（𝝅𝟒𝟒𝟓−𝜶）

＝，则sin（𝝅𝟒+𝜶）

的值为()A.𝟒𝟓B.C.

D.－𝟑

－𝟒𝟑𝟓

𝟓

𝟓𝟐

𝟓B.A.－𝟐𝟓－𝟏𝟓2.已知sin（

𝟓𝝅

+𝜶）＝𝟏，那么cos

(π＋α)的值为(B

)C.𝟏𝟓D.𝟐𝟓A3.(多选)下列四个结论中正确的有(A. sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是角α是锐角B.𝟑若cos

(nπ－α)＝𝟏(n∈Z)，则cos

α＝𝟏𝟑𝟏若α≠𝒌𝝅(k∈Z)，则tan（

𝝅

+𝜶）

＝－𝟐

𝟐

௧௔௡𝜶C.D.

若sin

α＋cos

α＝1，则sin

nα＋cos

nα＝1CD

)4.