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文档简介
第三讲对坐标的曲面积分第一页,共二十页,编辑于2023年,星期四曲面的侧双侧曲面单侧曲面曲面在坐标面上的投影
S在xOy面上的投影(S)xy为第二页,共二十页,编辑于2023年,星期四对坐标的曲面积分的定义
设为光滑的有向曲面函数R(x
y
z)在上有界
把任意分成n块小曲面
S1
S2
Sn(Si也代表曲面面积)Si在xOy面上的投影为(Si)xy(i,i,i
)是Si上任意取定的一点若极限总存在则称此极限为函数R(x
y
z)在有向曲面上对坐标x、第三页,共二十页,编辑于2023年,星期四对坐标的曲面积分的定义
函数R(x
y
z)在有向曲面上对坐标x、y的曲面积分
函数P(x
y
z)在有向曲面上对坐标y、z的曲面积分
函数Q(x
y
z)在有向曲面上对坐标z、x的曲面积分
上述曲面积分也称为第二类曲面积分其中
P、Q、R叫做被积函数
叫做积分曲面
第四页,共二十页,编辑于2023年,星期四对坐标的曲面积分的简写形式
在应用上出现较多的是为简便起见这种合起来的形式简记为第五页,共二十页,编辑于2023年,星期四对坐标的曲面积分的性质
对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质
(1)如果把S分成S1和S2
则(2)设S是有向曲面S表示与S取相反侧的有向曲面
则第六页,共二十页,编辑于2023年,星期四第七页,共二十页,编辑于2023年,星期四讨论如何把其它两个对坐标的曲面积分化为二重积分?
设积分曲面由方程zz(x
y)给出的
在xOy面上的投影区域为Dxy
函数zz(x
y)在Dxy上具有一阶连续偏导数被积函数R(x
y
z)在上连续则有其中当取上侧时积分前取“”当取下侧时积分前取“”
应注意的问题:(3)曲面S取哪一侧.(2)向哪个坐标面投影;(1)曲面S用什么方程表示;(4)积分前取什么符号.二、计算第八页,共二十页,编辑于2023年,星期四第九页,共二十页,编辑于2023年,星期四注意:对坐标的曲面积分与所取的侧有关。第十页,共二十页,编辑于2023年,星期四方体的整个表面的外侧
{(x
y
z)|0xa0yb0zc}
把的上下面分别记为1和2
前后面分别记为3和4
左右面分别记为5和6
解除3、4外其余四片曲面在yOz面上的投影为零因此第十一页,共二十页,编辑于2023年,星期四方体的整个表面的外侧
{(x
y
z)|0xa0yb0zc}
把的上下面分别记为1和2前后面分别记为3和4左右面分别记为5和6
解除3、4外其余四片曲面在yOz面上的投影为零因此a2bc
类似地可得于是所求曲面积分为(abc)abc
第十二页,共二十页,编辑于2023年,星期四外侧在x0
y0的部分
把有向曲面分成上下两部分
解1和2在xOy面上的投影区域都是
Dxy
x2y21(x0
y0)
第十三页,共二十页,编辑于2023年,星期四例第十四页,共二十页,编辑于2023年,星期四练习解第十五页,共二十页,编辑于2023年,星期四第十六页,共二十页,编辑于2
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