第十三章 矩阵位移法

第十三章矩阵位移法第一页，共五十六页，编辑于2023年，星期五§13-1概述矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表达形式，以电子计算机作为计算手段，三位一体的方法。手算与电算的不同：手算：怕繁，讨厌重复性的大量运算，追求机灵的计算技巧，运算次数较少的方法。电算：怕乱，讨厌头绪太多，零敲碎打的算法，追求计算过程程序化，通用性强的方法。矩阵位移法（有限单元法finiteelementmethod）的基本思路是：

先将结构离散成有限个单元，然后再将这些单元按一定条件集合成整体。这样，就使一个复杂结构的计算问题转化为有限个简单单元的分析与集成问题。有限单元法的两个基本环节：1）单元分析：建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵(物理关系)2）整体分析：由单元刚度矩阵形成整体刚度矩阵，建立结构的位移法基本方程(几何关系、平衡条件)第二页，共五十六页，编辑于2023年，星期五单元刚度矩阵是用来表示杆端力与杆端位移之间的物理关系的，不是新东西，但有几点新考虑：重新规定正负规则，以矩阵的形式表示，讨论杆件单元的一般情况。杆端局部编码与局部坐标系eE，A，Il局部坐标系中的杆端位移分量1u2u1v2v2q1q2M2Y2X1X1M1Y局部坐标系中的杆端力分量{}=Feee={}De12yx§13-2单元刚度矩阵（局部坐标系）

(elementstiffnessmatrix)第三页，共五十六页，编辑于2023年，星期五单元刚度方程方程1q1u1v2v2q2u1X1Y1M2X2Y2M)(,,1221uulNXNX-=D=-=llEAND=由虎克定律：由转角位移方程，并考虑：2QYBA=1,QYAB-=12,vv-=D()212212212)(6vvlEIlEIY--+-=qq()212212112)(6vvlEIlEIY-++=qq()212212642vvlEIlEIlEIM-++=qq()212211624vvlEIlEIlEIM-++=qq第四页，共五十六页，编辑于2023年，星期五ee=ee（13—5）单元刚度方程（13—6）单元刚度矩阵单元刚度矩阵的性质1）单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。2）其中每个元素称为单元刚度系数，表示由于单位杆端位移引起的杆端力。如第个杆端位移分量=1时引起的第个杆端力2M1q三六ji?反力互等定理第五页，共五十六页，编辑于2023年，星期五3）单元刚度矩阵是对称矩阵。4）第k列元素分别表示当第k个杆端位移=1时引起的六个杆端力分量。5）一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。不存在逆矩阵{}De{}Fe正问题力学模型将单元视为“两端有六个人工控制的附加约束的杆件”{}De控制附加约束加以指定。解的性质为任何值时，{}De{}Fe都有唯一的解答。且总是一个平衡力系，不可能是不平衡力系。{}De{}Fe反问题将单元视为“两端自由的杆件”。{}Fe直接加在自由端作为指定的杆端力{}Fe为不平衡力系时没有静力解。{}De{}Fe为平衡力系时有无穷多组解。{}De1X1Y1M2X2Y2M1X1Y1M2X2Y2M第六页，共五十六页，编辑于2023年，星期五2v=10312lEI312lEI-EI26l-EI26l-01v=10312lEI312lEI-EI26lEI26l0e第二列元素变符号即第五列第一列元素变符号即第四列第二行元素变符号即第五行第一行元素变符号即第四行第七页，共五十六页，编辑于2023年，星期五特殊单元单元的某个或某些杆端位移的值已知为零。如梁单元、柱单元。特殊单元的单元刚度矩阵，可由一般单元的单元刚度矩阵删除与零杆端位移对应的行和列得到。为了使计算过程程序化、标准化、自动化，只采用一般单元的刚度矩阵作为标准形式。各种特殊单元的刚度矩阵有计算机程序去自动形成。某些特殊单元的刚度矩阵是可逆的。121q2q122M1M第八页，共五十六页，编辑于2023年，星期五选局部坐标系推导单元刚度矩阵方便且单元刚度矩阵的形式简单。选整体坐标系是为进行整体分析。按一个统一的坐标系来建立各单元的刚度矩阵单元坐标转换矩阵1X1Y1M2X2Y2Myx1X1Y1M2X2Y2Myxαyxyxα§13-3单元刚度矩阵（整体坐标系）局部坐标系中的杆端力整体坐标系中的杆端力第九页，共五十六页，编辑于2023年，星期五单元坐标转换矩阵[T]是一正交矩阵。同理：整体坐标系中的单元刚度矩阵设：将（a）、（b）代入（a）（b）第十页，共五十六页，编辑于2023年，星期五1）表示在整体坐标系第j个杆端位移分量=1时引起的第i个杆端力分量。2）[k]@是对称矩阵。3）一般单元的[k]@是奇异矩阵。例13-1求图示刚架中各单元在整体标系中的单元刚度矩阵。设各杆的几何尺寸相同。l=5m，A=0.5m2,I=1/24m4E=3×107kN/m221与比较[I]

[k]@，[k]@同阶,性质类似：第十一页，共五十六页，编辑于2023年，星期五解：（1）求kek1k2==×104（2）求ke11单元α=90°21单元α=0k2=×104第十二页，共五十六页，编辑于2023年，星期五结点力、结点位移、形成总刚度矩阵(传统位移法)Δ1Δ2Δ3F1F2F3Δ1Δ2Δ3F1F2F3Δ1=1Δ1×K11K21K31K12K22K32Δ2=1Δ2×K13K23K33Δ3=1Δ3×F=KΔK为整体刚度矩阵，简称总刚。§13-4连续梁的整体分析

assemblyanalysisofcontinuousbeam第十三页，共五十六页，编辑于2023年，星期五整体刚度矩阵(assembledstiffnissmatrix)的性质1）总刚是结点力用结点位移来表达的联系矩阵。2）[K]中的元素Kij表示第j个结点位移分量Δj=1（其它结点位移分量=0）时所产生的第i个结点力。3）[K]是对称矩阵。4）如果引入支承条件，[K]是可逆矩阵。形成整体刚度矩阵Δ2=1K12K22K321112k121k22122k112k212结点发生单位位移杆端发生单位位移变形协调条件产生附加约束中约束力(总刚元素)产生杆端力(单刚元素)平衡条件总刚元素是由单刚元素集合而成K22k221k112k212K32综上所述，直接刚度法是根据单元的结点位移分量的局部码和总码之间的对应关系，由单元刚度矩阵集成结构整体刚度矩阵。第十四页，共五十六页，编辑于2023年，星期五直接刚度法形成总刚(刚度集成法)首先要注意同一个结点位移在整体中与在各单元中两种编码不同。单元结点位移总码按局部码顺序排列而成的向量称为“单元定位向量”{λ}(elementlocalizationvector)。e单元对应关系：局部码→总码单元定位向量{λ}e12θA

（1）→1θB

（2）→2{λ}=112θB

（1）→2θC

（2）→3{λ}=223将各单元的单刚的行列局部码（i）、（j）换成对应的结点位移总码λi、λj，按此行列总码将单刚元素送入总刚。即:k(i)(j)→2112213ABC(1)(2)(1)(2)整体分析用总码，单元分析用局部码第十五页，共五十六页，编辑于2023年，星期五例13-2试求图示连续梁的整体刚度矩阵[K]。i1i2i31230123解：1）编码凡给定为零的结点位移分量,其总码均编为零。{λ}=112{λ}=2232）单元定位向量{λ}=3303）求单刚并集成总刚(1)(2)121231

23在给节点位移编码时已经考虑了支承条件。(先处理法)4i12i12i14i14i12i12i14i14i22i22i24i2(1)(2)234i22i22i24i2+4i32i32i34i3(1)(2)304i3+第十六页，共五十六页，编辑于2023年，星期五1n2312n+1对于n跨连续梁，有n+1个节点，不难导出整体刚度矩阵如下：4i12i12i14(i1+i2)02i24(i1+i2)02i22i3002in-14(In-1+in)2in2in4in000[K]=[K]n+1，n+1是稀疏矩阵和带状矩阵。1n23第十七页，共五十六页，编辑于2023年，星期五1）结点位移分量增加到三个；2）各杆方向不尽相同，要进行坐标变换；3）除了刚结点，还要考虑铰结点等其它情况。1、结点位移分量的统一编码——总码yx000123040结点位移列阵:{Δ}=[Δ1Δ2Δ3Δ4]T=[uAvAθAθC]T结点力列阵:{F}=[F1F2F3F4]T2、单元定位向量211(1)(2)(3)(4)(6)(5)2(1)(2)(3)(5)(4)(6){λ}=1[123004]T{λ}=2[123000]TACB§13-5刚架的整体刚度矩阵(assemblyanalysisofframe)情况复杂：第十八页，共五十六页，编辑于2023年，星期五3、单元集成过程[K]=1234×104×104

12300430012301003010050305030[k]=1123000k2=×104+12－30+300－30+100第十九页，共五十六页，编辑于2023年，星期五1）结点位移分量的统一编码——总码铰结点处的两杆端结点应看作半独立的两个结点（C1和C2）它们的线位移相同，角位移不同，00012321AC1BD000456475C234、铰结点(hingejoint)的处理线位移采用同码，角位移采用异码。2）单元定位向量：{λ}=1[123456]T{λ}=2[123000]T{λ}=3[457000]T3）按①②③次序进行单元集成：第二十页，共五十六页，编辑于2023年，星期五×104[k]=1

1234561234567300500-3010030000-30000012300-12300301000-30500-12-30012-30[K]=104×-3000030000123000k2=×104+12+0－30+0+300+0－30+0+100k3=×104457000+12+0－30+0+300+0－30+0+100－30?第二十一页，共五十六页，编辑于2023年，星期五1、整体刚度方程{F}=[K]{Δ}……（a）表示由{Δ}→{F}结点力的关系式。反映了结构的刚度性质，不涉及结构上的实际荷载。2、位移法基本方程∵在给结点位移分量编总码时，已考虑了结构的支承连接情况，[K]是非奇异矩阵。∴如果已知结构上的结点荷载{P}，（a）就是求结点位移{Δ}的位移法基本方程。{P}=[K]{Δ}……（b）注：结点力与结点荷载的不同。结点力是发生给定的结点位移，在结点上所需施加的力，它与体系的刚度有关，由刚度方程确定。而结点荷载是给定的,与体系无关。由结点荷载产生的未知结点位移由位移法基本方程求解。3、等效结点荷载平衡方程的荷载{P}是作用在结点上的集中荷载，当荷载不是结点集中荷载时，应化成等效结点荷载。§13-6等效结点荷载(equivalentjointload)第二十二页，共五十六页，编辑于2023年，星期五↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓θ1θ2θ3↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓FP2FP1FP3P2P1P3结点约束力{FP}=-FP2=-FP1-FP3=Δ1Δ3Δ2θ3==θ2=θ1等效结点荷载{P}=－{FP}除了结点位移外，等效结点荷载与原荷载产生的其它位移和内力并不相同。等效结点荷载为位移法基本体系附加约束中约束力的负值。而约束力为各固端力之和。所以求结构等效结点荷载应该先求出单元的等效结点荷载，它是单元固端力的负值。位移法方程：{Δ}由求得注意：非结点荷载与等效结点荷载等效的条件是，两者产生相同结点位移。在基本体系上产生相同的结点约束力。第二十三页，共五十六页，编辑于2023年，星期五4、按单元集成法求整体结构的等效结点荷载⑴局部坐标系中的单元固端约束力e⑵整体坐标系中的单元等效结点荷载ee⑶整体结构的等效结点荷载{P}

由各单元{P}中的元素按{λ}在{P}中进行定位并累加。e⑷等效结点荷载与直接结点荷载叠加，即得结构的结点荷载。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓4.8kN/m2.5m2.5m5m8kN12yx例13-3求图示结构的等效结点荷载{P}.

e解:1)求单元①单元②第二十四页，共五十六页，编辑于2023年，星期五2)求单元①的倾角α1=0123004单元②的倾角α2=90°123000{P}=123401210-10+4+0－54125-10第二十五页，共五十六页，编辑于2023年，星期五1）整理原始数据，进行局部编码和整体编码。2）用式（13-6）形成局部坐标系中的单元刚度矩阵3）用式（13-21）形成整体坐标系中的单元刚度矩阵4）用单元集成法形成整体刚度矩阵[K]5）形成整体结构的等效结点荷载6）解方程[K]{Δ}={P}，

求出结点位移{Δ}。7）求各杆杆端力↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓θ1θ2θ3↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓FP2FP1FP3P2P1P3=-FP2=-FP1-FP3=Δ1Δ3Δ2θ3==θ2=θ1固端力{FP}@杆端位移产生的杆端力{P}计算步骤§13-7计算步骤和算例第二十六页，共五十六页，编辑于2023年，星期五000123000456例13-4:求内力。横梁b1×h1=0.5m×1.26m,立柱b2×h2=0.5m×1m.6m12m↑↑↑↑↑↑↑↑1kN/m213xy解:1)原始数据及编码第二十七页，共五十六页，编辑于2023年，星期五e13×10－32×10－32)形成[k]第二十八页，共五十六页，编辑于2023年，星期五3)形成[k]单元①、③(α=90o)坐标转换矩阵为13×10－3单元②(α=0o)坐标转换矩阵为单位矩阵所以:224)形成[K]123+][11k③+][11k①úúûùêêëé=][][][][][22211211kkkkK②②②②第二十九页，共五十六页，编辑于2023年，星期五×10－35)求等效节点荷载{P}111单元在整体坐标系中的等效节点荷载集成等效节点荷载第三十页，共五十六页，编辑于2023年，星期五6)解基本方程第三十一页，共五十六页，编辑于2023年，星期五123②7)求杆端力单元①1①①①①②②②②第三十二页，共五十六页，编辑于2023年，星期五123③③③③③②①8.492.093.044.38M图(kN.m)4.76＋1.24－－0.431.24＋1.24Q图(kN)N=0.43N=－1.24N=－0.43N图(kN)第三十三页，共五十六页，编辑于2023年，星期五1）结点位移分量的统一编码——总码在刚结点A铰结点C1和C2处，竖向位移均为零，故其编码也应为零，另外它们的水平位移分量都相等，因此它们的水平位移应采用同码。00010221AC1BD000103140C232）单元定位向量：{λ}=1[102103]T{λ}=2[102000]T{λ}=3[104000]T3）按①②③次序进行单元集成：§13-8忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析第三十四页，共五十六页，编辑于2023年，星期五×104[k]=1

102103123412341021033000－30001000+050－300+0+300+0050+0100102000k2=×104102000000010050050100+12－30－30+100k3=×104104000104000+12－30－30+100[K]=104×第三十五页，共五十六页，编辑于2023年，星期五例13-5:求内力。横梁b1×h1=0.5m×1.26m,立柱b2×h2=0.5m×1m忽略轴向变形的影响。.6m12m↑↑↑↑↑↑↑↑1kN/m解:1)原始数据及编码000102000103213xy第三十六页，共五十六页，编辑于2023年，星期五e13×10－32×10－32)形成[k]第三十七页，共五十六页，编辑于2023年，星期五3)形成[k]单元①、③(α=90o)坐标转换矩阵为13×10－3单元②(α=0o)坐标转换矩阵为单位矩阵所以:224)形成[K]123第三十八页，共五十六页，编辑于2023年，星期五

102000①1020002.31－6.9427.8－6.94③

103000103000+2.31－6.94－6.9427.8②

102103102103+52.5－52.5+0+0+52.5－52.5+0+27.8+013.9+0+0+013.9+27.8+04.62－6.94－6.94－6.9455.613.9－6.9413.955.6123123[K]=10－3×第三十九页，共五十六页，编辑于2023年，星期五5)求等效节点荷载{P}111单元在整体坐标系中的等效节点荷载集成等效节点荷载6)解基本方程第四十页，共五十六页，编辑于2023年，星期五②7)求杆端力单元①1①①①①②②②②第四十一页，共五十六页，编辑于2023年，星期五③③③③③②①8.412.093.094.47M图(kN.m)4.75＋1.25－－0.431.25＋1.25Q图(kN)N=0.43N=－1.25N=－0.43N图(kN)由单元刚度方程求出的杆端轴力为零。为什么？根据节点平衡由剪力求轴力。②①③轴向变形影响不大。第四十二页，共五十六页，编辑于2023年，星期五单元的刚度方程(局部坐标）u1u2X1X2e12X1X2Y2Y1X1X2yxx注意：①桁架单元的结点转角不是基本未知量。②无须求等效结点荷载。③杆端力是由结点位移产生的。§13-9桁架及组合结构的整体分析坐标转换矩阵单元的刚度方程(整体坐标）第四十三页，共五十六页，编辑于2023年，星期五3ll10kN10kN例13-6求图示桁架内力(EA=常数)。解：1、编码如图；⑥①②③④⑤124{0}{0}2、形成3、形成[k]@[k]②=[k]④=[k]②=[k]④单元①③α=90°[k]①=[k]③=第四十四页，共五十六页，编辑于2023年，星期五单元⑤α=45°[k]⑤=单元⑤α=135°[k]⑥=3ll10kN10kN⑥①②③④⑤124{0}{0}4、集成总刚[K]5、节点荷载第四十五页，共五十六页，编辑于2023年，星期五6、解基本方程7、杆端力计算第四十六页，共五十六页，编辑于2023年，星期五补充内容节点位移分量自由节点位移分量(基本未知量，相应的节点荷载已知)受约束的位移分量(已知量，相应的约束反力未知)先处理法1、节点位移分量中不含受约束的支座位移，节点力分量中不含未知的支座反力。2、由单刚考虑边界条件[K][Δ]3、对于具有非刚性连接、支承节点较多且分散、不考虑轴向变形的结构最为方便。可减少内存，提高计算速度。但要对各节位移进行统一编码，形成各单元的定位向量。后处理法1、节点位移分量中含有受约束的支座位移，节点力分量中含有未知的支座反力。2、由单刚考虑边界条件[K][Δ](原始刚度矩阵,奇异)3、每个节点位移分量数相同，的阶数是节点总数乘节点位移分量数，整个分析过程便于编制通用程序。适用于节点多支座约束少，考虑轴向变形的结构。但占用内存大。第四十七页，共五十六页，编辑于2023年，星期五补充内容后处理法边界条件的处理在后处理法中，由于没有考虑边界条件，由[k]@集成的是奇异矩阵，由单元集合成的体系是自由体，具有刚体位移。没有确定的位移解。位移边界条件处理的三种方法：1、划行划列法编制程序较复杂，不常采用。2、主对角元置大数法设第i个节点位移分量(已知)0di=D0di=D为了将第i个方程改为:将kii置一大数如R=1020Pi

改为Rd0第i个方程变为:该法虽为近似处理，程序设计容易实现，故被广泛应用。RRd0第四十八页，共五十六页，编辑于2023年，星期五补充内容2、主对角元置1法0di=D第i个方程变为:为了不破坏总刚的对称性第i列也作相应的处理。为了不影响其他方程，荷载向量也要作相应的改变。00···1···0d000···1···0该法是精确的处理方法，被经常采用，但不如主对角元置大数简便。第四十九页，共五十六页，编辑于2023年，星期五1）结点位移分量的统一编码——总码在刚结点A铰结点C1和C2处，竖向位移均为零，故其编码也应为零，另外它们的水平位移分量都相等，因此它们的水平位移应采用同码。00010221AC1BD000103140C23形成图示刚架的整体刚度矩阵2）单元定位向量：3）按①②③次序进行单元集成：第五十页，共五十六页，编辑于2023年，星期五×104[k]=1

102103123412341021033000－30001000+050－300+0+300+0050+01001