2024年新疆昌吉市教育共同体四校高三数学第一学期期末达标测试试题含解析

2024年新疆昌吉市教育共同体四校高三数学第一学期期末达标测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则“”的一个充分不必要条件是A． B．C．且 D．或2．已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．3．等差数列中，已知，且，则数列的前项和中最小的是（）A．或 B． C． D．4．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）A． B． C． D．5．如图，是圆的一条直径，为半圆弧的两个三等分点，则（）A． B． C． D．6．设集合，则()A． B．C． D．7．函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为（）A． B． C． D．8．“”是“函数的图象关于直线对称”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．已知数列是公差为的等差数列，且成等比数列，则（）A．4 B．3 C．2 D．110．已知复数，则的虚部为（）A．－1 B． C．1 D．11．设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（）A． B． C． D．12．复数(i为虚数单位)的共轭复数是A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．记为等比数列的前n项和，已知，，则_______.14．某外商计划在个候选城市中投资个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过个，则该外商不同的投资方案有____种．15．已知点是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，若，则线段中点的纵坐标为__________．16．曲线在点处的切线方程为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）若函数不存在单调递减区间，求实数的取值范围；（2）若函数的两个极值点为，，求的最小值.18．（12分）如图，在中，点在上，，，.（1）求的值；（2）若，求的长.19．（12分）已知△ABC三内角A、B、C所对边的长分别为a，b，c，且3sin2A+3sin2B＝4sinAsinB+3sin2C．（1）求cosC的值；（2）若a＝3，c，求△ABC的面积．20．（12分）设函数其中(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.21．（12分）已知椭圆：的长半轴长为，点（为椭圆的离心率）在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，为直线上任一点，过点椭圆上点处的切线为，，切点分别，，直线与直线，分别交于，两点，点，的纵坐标分别为，，求的值.22．（10分）在中，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】，∴，当且仅当时取等号.故“且”是“”的充分不必要条件.选C．2、B【解题分析】

直接利用向量的坐标运算得到向量的坐标，利用求得参数m，再用计算即可.【题目详解】依题意，，而，即，解得，则.故选：B.【题目点拨】本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.3、C【解题分析】

设公差为，则由题意可得，解得，可得.令

，可得

当时，，当时，，由此可得数列前项和中最小的.【题目详解】解：等差数列中，已知，且，设公差为，

则，解得

，.

令

，可得，故当时，，当时，，

故数列前项和中最小的是.故选：C.【题目点拨】本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题.4、A【解题分析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得的坐标得出答案.【题目详解】解：，在复平面内对应的点的坐标是.故选：A.【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．5、B【解题分析】

连接、，即可得到，，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得；【题目详解】解：连接、，，是半圆弧的两个三等分点，，且，所以四边形为棱形，．故选：B【题目点拨】本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题.6、B【解题分析】

直接进行集合的并集、交集的运算即可．【题目详解】解：；∴．故选：B．【题目点拨】本题主要考查集合描述法、列举法的定义，以及交集、并集的运算，是基础题.7、B【解题分析】

根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.【题目详解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和，故选B.【题目点拨】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.8、A【解题分析】

先求解函数的图象关于直线对称的等价条件，得到，分析即得解.【题目详解】若函数的图象关于直线对称，则，解得，故“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件．故选：A【题目点拨】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题.9、A【解题分析】

根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.【题目详解】由成等比数列得，即，已知，解得.故选：.【题目点拨】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.10、A【解题分析】

分子分母同乘分母的共轭复数即可.【题目详解】，故的虚部为.故选：A.【题目点拨】本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.11、C【解题分析】

设，求，作为的函数，其最小值是6，利用导数知识求的最小值．【题目详解】设，则，记，，易知是增函数，且的值域是，∴的唯一解，且时，，时，，即，由题意，而，，∴，解得，．∴．故选：C．【题目点拨】本题考查导数的应用，考查用导数求最值．解题时对和的关系的处理是解题关键．12、B【解题分析】分析：化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=∴z的共轭复数为1﹣i.故选B．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

设等比数列的公比为，将已知条件等式转化为关系式，求解即可.【题目详解】设等比数列的公比为，，.故答案为:.【题目点拨】本题考查等比数列通项的基本量运算，属于基础题.14、60【解题分析】试题分析：每个城市投资1个项目有种，有一个城市投资2个有种，投资方案共种.考点：排列组合.15、2【解题分析】

运用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，然后求解结果.【题目详解】抛物线的标准方程为：，则抛物线的准线方程为，设，，则，所以，则线段中点的纵坐标为.故答案为：【题目点拨】本题考查了抛物线的定义，由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离，需要熟练掌握定义，并能灵活运用，本题较为基础.16、【解题分析】

求导，得到和，利用点斜式即可求得结果.【题目详解】由于，，所以，由点斜式可得切线方程为.故答案为：.【题目点拨】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】分析：（1）先求导，再令在上恒成立，得到上恒成立，利用基本不等式得到m的取值范围.(2)先由得到，再求得，再构造函数再利用导数求其最小值.详解：（1）由函数有意义，则由且不存在单调递减区间，则在上恒成立，上恒成立（2）由知，令，即由有两个极值点故为方程的两根，，，则由由，则上单调递减，即由知综上所述，的最小值为.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的难点有两个，其一是求出,其二是构造函数再利用导数求其最小值.18、(1)；（2）.【解题分析】

（1）由两角差的正弦公式计算；（2）由正弦定理求得，再由余弦定理求得．【题目详解】（1）因为，所以.因为，所以，所以.（2）在中，由，得，在中，由余弦定理可得，所以.【题目点拨】本题考查两角差的正弦公式，考查正弦定理和余弦定理，属于中档题．19、（1）；（2）或．【解题分析】

（1）利用正弦定理对已知代数式化简，根据余弦定理求解余弦值；（2）根据余弦定理求出b＝1或b＝3，结合面积公式求解.【题目详解】（1）已知等式3sin2A+3sin2B＝4sinAsinB+3sin2C，利用正弦定理化简得：3a2+3b2﹣3c2＝4ab，即a2+b2﹣c2ab，∴cosC；（2）把a＝3，c，代入3a2+3b2﹣3c2＝4ab得：b＝1或b＝3，∵cosC，C为三角形内角，∴sinC，∴S△ABCabsinC3×bb，则△ABC的面积为或．【题目点拨】此题考查利用正余弦定理求解三角形，关键在于熟练掌握正弦定理进行边角互化，利用余弦定理求解边长，根据面积公式求解面积.20、(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析【解题分析】

(Ⅰ)求导得到，，解得答案.(Ⅱ)，故，在上单调递减，在上单调递增，，设，证明函数单调递减，故，得到证明.【题目详解】(Ⅰ)，故，，故.(Ⅱ)，即，存在唯一零点，设零点为，故，即，在上单调递减，在上单调递增，故，设，则，设，则，单调递减，，故恒成立，故单调递减.，故当时，.【题目点拨】本题考查了函数的切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.21、（1）；（2）.【解题分析】

（1）因为点在椭圆上，所以，然后，利用，，得出，进而求解即可（2）设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为，分别联立方程：和，利用韦达定理，再利用，，即可求出的值【题目详解】（1）由椭圆的长半轴长为，得.因为点在椭圆上，所以.又因为，，所以，所以（舍）或.故椭圆的标准方程为.（2）设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为.据得.据题意，得，得，同理，得，所以.又可求