2023年上海市虹口区高考数学一模试卷

2023年上海市虹口区高考数学一模试卷

一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1.14分）函数f[x）=lg（2-x）定义域为.

2.（4分）f（x）是定义在R上的奇函数，那么f（-1）+f（0）+f（1）=.

3.（4分）首项和公比均为工的等比数列｛aj,Sn是它的前n项和，那么1讪S=.

2口n

4.（4分）在^ABC中，ZA,ZB,NC所对的边分别是a,b,c,如果a：b：

c=2：3：4,那么cosC=.

5.（4分）复数z=a+bi（a,bWR）满足|z|=l,那么a・b的范围是.

6.（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三

门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地

理这三门也至少要选一门，那么该生的可能选法总数是.

7.（5分）M、N是三棱锥P-ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P-ABC的体

积为Vi,三棱锥N-MBC的体积为V2,那么等于.

%

2「

8.（5分）在平面直角坐标系中，双曲线5―/=]的一个顶点与抛物线y2=12x

的焦点重合，那么双曲线的两条渐近线的方程为.

9.（5分）y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC,

那么4ABC的面积等于.

22

10.（5分）设椭圆方-+（_=1的左、右焦点分别为Fi、F2,过焦点Fi的直线交椭

圆于M、N两点，假设△MNF2的内切圆的面积为R,那么

11.（5分）在AABC中，D是BC的中点，点列Pn（nGN*）在线段AC上，且满

足,-O+a假设ai=L那么数列匕j的通项公式an=.

nnl-1nn

12.（5分）设f（x）=x2+2a«x+b«2x,其中a,b，N,xGR,如果函数y=f（x）与

函数y=fIf（x））都有零点且它们的零点完全相同，那么（a,b）为.

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13.（5分）异面直线a和b所成的角为6,那么。的范围是（）

A.(0,B.(0,R)C.(0,A-]D.[0,n]

14.〔5分〕命题：“假设x2=l,那么x=l"的逆否命题为()

A.假设xWl,那么xWl或xW-lB.假设x=l,那么x=l或x=-l

C.假设xWl,那么xWl且xW-1D.假设x=l,那么x=l且x=-l

15.(5分)函数x4°,那么f(1)+f(2)+f(3)+...+f[2023)

lf(x-2)x>0

=()

A.2023B.1513C.2017D.3025

22

16.(5分)Rt^ABC中，ZA=90°,AB=4,AC=6,在三角形所在的平面内有两个

动点M和N,满足同|=2，MN=NC>那么|而|的取值范围是()

A.3历，V341B.[4,6]

C.[2归喳]D,[舄63-12/，舄63+12亚

三.解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)

17.(14分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=AC=PC=AB=a,PA1AB,AC1AB,

M为AC的中点.

(1)求证：PM_L平面ABC；

(2)求直线PB和平面ABC所成的角的大小.

18。(14分)函数f(x)=J^cos(日x)+cos(2兀-3X)，其中xCR,3>0,且

此函数的最小正周期等于H.

(1)求3的值，并写出此函数的单调递增区间；

(2)求此函数在x€[0,今]的最大值和最小值.

19.(14分)如图，阴影局部为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km,宽为

1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直

线的路I,这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q.

(1)设AQ=x(km),将△APQ的面积S表示为x的函数；

(2)求△APQ的面积S(km)的最小值.

20.(16分)平面内的定点F到定直线I的距离等于p(p>0),动圆M过点F

且与直线I相切，记圆心M的轨迹为曲线C,在曲线C上任取一点A,过A作I

的垂线，垂足为E.

(1)求曲线C的轨迹方程；

(2)记点A到直线I的距离为d,且普4d4华，求NEAF的取值范围；

(3)判断NEAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由.

21.(18分)无穷数列｛aj的各项均为正数，其前n项和为Sn，a1=4.

⑴如果az=2,且对于一切正整数n,均有&?0=相求Sn；

(2)如果对于一切正整数n,均有an・an+i=Sn，求Sn；

⑶如果对于一切正整数n,均有an+an+i=3Sn,证明：a3”i能被8整除.

2023年上海市虹口区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一.填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)

1.14分)函数f[x)=lg(2-x)定义域为(-8,2).

【解答】解：要使函数有意义，可得2-x>0,即x<2.

函数f(x)=lg(2-x)定义域为：(-8,2).

故答案为：(_8,2).

2.(4分)flx)是定义在R上的奇函数，那么f(-1)+f(0)+f⑴=0.

【解答】解：』(x)是定义在R上的奇函数，

Af(-1)=-f⑴，f⑹=0,

即f(-1)+f(0)+f⑴=0,

故答案为：0.

3.(4分)首项和公比均为1的等比数列｛an｝,Sn是它的前n项和，那么iiinS=

2n-8n

1.

【解答】解：根据题意，等比数列｛an｝的首项和公比均为工，

2

那么其前n项和Sn=^————=1-(1)n,

1J-2

2

那么lireSnj

n—8

故答案为：1.

4.（4分）在AABC中，ZA,ZB,NC所对的边分别是a,b,c,如果a：b：

c=2：3：4,那么cosC=--.

【解答】解：因为a：b：c=2：3：4,所以设a=2k,b=3k,c=4k,

222222

那么根据余弦定理得：cosC=a+b-c=4k+9k-16k=一点

2ab12k24

故答案为：-工

4

5.（4分）复数z=a+bi（a,b£R）满足|z|=l,那么a・b的范围是[」，1].

-_2-

【解答】解：•.,z=a+bi（a,b£R）,且|z|=l,

,,,7a2+b2=l,即a2+b2=l,

a=cos0,b=sin0,

那么ab=cos0*sin0=.±-s£n20,

abW[A.].

22

故答案为：1].

L22J

6.（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三

门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地

理这三门也至少要选一门，那么该生的可能选法总数是18.

【解答】解：根据题意，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、

历史、地理这三门也至少要选一门，

分2种情况讨论：

①、从物理、化学、生物这三门中选1门，政治、历史、地理这三门选2门，有

C31c32=9种选法，

②、从物理、化学、生物这三门中选2门，政治、历史、地理这三门选1门，有

C31c3?=9种选法,

那么一共有9+9=18种选法；

故答案为：18

7.（5分）M、N是三棱锥P-ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P-ABC的体

积为V1，三棱锥N-MBC的体积为V2,那么b等于工.

V14

【解答】解：如图，

设三棱锥P-ABC的底面积为S,高为h,

•••M是AB的中点，，s△皿gs，

TN是PC的中点，.•.三棱锥N-MBC的高为作

那么Vi《Sh'V2-1x-^Sx|h=-ySh»

・V2今Sh1

••——=-........=~T-

V12Sh4

故答案为：1.

4

26

8.（5分）在平面直角坐标系中，双曲线¥一y2=］的一个顶点与抛物线y2=i2x

的焦点重合，那么双曲线的两条渐近线的方程为厂土工.

~~3

【解答】解：根据题意，抛物线y2="x的焦点为（3,0）,

2c

假设双曲线5_y2=1的一个顶点与抛物线y2=i2x的焦点重合，

那么双曲线的顶点坐标为（±3,0）,

那么有a2=9,

2

那么双曲线的方程为：—-y2=l,

9

双曲线的焦点在x轴上，那么其渐近线方程为厂土三

3

故答案为：y=±A

3

9.（5分）y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC,

那么AABC的面积等于加兀.

【解答】解：由题意正余弦函数的图象可得：y=sinx和y=cosx的图象的连续的三

个交点A、B、C构成三角形aABC是等腰三角形，

•••底边长为一个周期T=2n,高为亚，

AABC的面积兀x亚=兀，

2

故答案为：加兀.

22

10.（5分）设椭圆亍+缶二1的左、右焦点分别为臼、F2,过焦点%的直线交椭

圆于M、N两点，假设△MNFz的内切圆的面积为兀，那么$人匚=4.

△M1mNF?

22

【解答】解：•••椭圆工一+二的左右焦点分别为Fi，F2,a=2,

43

过焦点Fi的直线交椭圆于M（xi，yi）,N（X2，丫2）两点，

△MNF2的内切圆的面积为R,

/.△MNF2内切圆半径r=l.

.♦.△MNF2面积S=LX1X（MN+MF2+MF2）=2a=4,

2

故答案为：4

11.（5分）在AABC中，D是BC的中点，点列Pn（nCN*）在线段AC上，且满

足,-O+aO*假设ai=l，那么数列匕力的通项公式ar（J~）nT.

rn

na什1rnu-ranrnu'2，

【解答】解:如下图，

D是BC的中点，,“=“+而=晒+^•前，

又第=“+威降=a”“+aj>

，晒+苗a.晒+an（厮+押,

化为：BA=（1-a-ai）RP'+—BC，

nn+“n2an

•••点列Pn（nGN*）在线段AC上，

••1-an-an-1^"--a=1'

2n

化为：ai=--，又ai=l,

n+2%a

那么数列｛aj是等比数列，首项为1,公比为-工.

2

•".an=（上）nT.

、2）

故答案为：（二）nT.

、2>

12.(5分)设f(x)=x2+2a*x+b*2x,其中a,bWN,x》R,如果函数y=f(x)与

函数y=f(f(x))都有零点且它们的零点完全相同，那么(a,b)为(0,0)

或(1,0).

【解答】解：根据题意，函数y=f(x)的零点为方程x2+2a・x+b・2x=0的根，

如果函数y=f(x)与函数y=f(f(x))的零点完全相同，那么有f(x)=x,即

x2+2a*x+b*2x=x,

方程x?+2a・x+如2x=x的根就是函数y=f(x)与函数y=f(f(x))的零点，

那么有卜、2ax+b-2』，解可得"0,

x2+2ax+bw2x=x

即x2+2a*x+b*2x=0的1个根为x=0,分析可得b=0,

那么f(x)=x2+2a*x,

解可得或

xi=0x2=-2a,

f(f(x))=(x2+2a*x)2+2a(x2+2a*x),

假设函数y=f(x)与函数y=f(f(x))的零点完全相同，

分析可得a=0或a=l,

那么(a,b)为(0,0)或(1,0)；

故答案为(0,0)或(1,0).

二.选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)

13.(5分)异面直线a和b所成的角为&那么9的范围是()

A.(0,2LyB.(0,兀)C.(0,三]D.[0,R]

【解答】解：•.•异面直线a和b所成的角为①

...e的范围是(0,匹].

2

应选：C.

14.(5分)命题："假设x2=l,那么x=l"的逆否命题为()

A.假设x#l,那么xWl或xW-lB.假设x=l,那么x=l或x=-l

C.假设xWl,那么xWl且xW-1D.假设x=l,那么x=l且x=-l

【解答】解：命题："假设x2=l,那么x=l"的逆否命题为

“假设xWL那么x2#l"；

即“假设xWl,那么xWl且x#-l".

应选：c.

15.(5分)函数fa)」？'x4°,那么f⑴+f(2)+f⑶+...+f[2023)

]f(X-2)x>0

=()

A.2023B.1513C.迎U-D.里空

22

/

【解答】解：•••函数f(x)=2、x<°,

f(x-2)x>0

Af(1)+f(2)+f(3)+..+f(2023)

=1009Xf(-1)+1008Xf(0)

=1009X21+1008X20

=3025

2

应选：D.

16.(5分)RtZ\ABC中，NA=90。，AB=4,AC=6,在三角形所在的平面内有两个

动点M和N,满足向|=2，诵:而那么|而|的取值范围是()

A.[372>V341B.[4,6]

C.[2BW21D.[舄63-12亚知63+12收

【解答】解：以AB,AC为坐标轴建立坐标系，那么B(4,0),C(0,6),

••[Ml=2,的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆.

,/MN=NC.，N是MC的中点.

设M(2cosa,2sina),那么N(cosa,sina+3),

BN=(cosa-4,sina+3),

IBN2=(cosa-4)2+(sina+3)2=6sina-8cosa+26=10sin(a-巾)+26,

...当sin(a-。)=-1时，|百^取得最小值4-l0+26=4,

当sin(a-6)=1时，|而|取得最大值。10+26=6.

应选B.

三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17.(14分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=AC=PC=AB=a,PA±AB,AC±AB,

M为AC的中点.

(1)求证：PMJ_平面ABC；

(2)求直线PB和平面ABC所成的角的大小.

【解答】证明：(1)在三棱锥P-ABC中，

；PA=AC=PC=AB=a,PA±AB,AC±AB,M为AC的中点.

APM±AC,AB_L平面PAC,

APMlAB,

VABnAC=A,.'.PM，平面ABC.

解：⑵连结BM,

「PM，平面ABC,/.ZPBM是直线PB和平面ABC所成的角,

VPA=AC=PC=AB=a,PA±AB,AC1AB,M为AC的中点,

,PM,-0产亨a，

返a

tanZPBM=里二"^=—二2£1且

BM5

2&

••ZPBM=arctarrv^-

5

，直线PB和平面ABC所成的角为arctanH

5

18。(14分)函数-3x)+cos(2兀-3x)，其中xCR，3>0,且

此函数的最小正周期等于兀

(1)求3的值，并写出此函数的单调递增区间;

(2)求此函数在x€[0,今]的最大值和最小值.

【解答】解：函数f(x)=ycos(5_3x)+cos(2兀-3x)=«sin3x+cos3x=2sin

(u)X+A),

(1)二•函数的最小正周期等于兀.即空=兀

3

/.u)=2.

可得f(x)=2sin(2x+专)，

由2k兀一^-<2x+^<弓~+2k兀，k©Z

得：k兀一k7i4^^

故得函数的单调递增区间为［k兀k兀用］，kez

⑵Vf(x)=2sin(2x+-^_),

当xE［o,3］，

⑵玲)e［看，I2L］

.•.当2x」L=2L时，函数f(x)取得最大值为2.

工2

当2xJL="时，函数flx)取得最小值为-1.

工6

19.(14分)如图，阴影局部为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km,宽为

1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直

线的路I,这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q.

⑴设AQ=x(km),将△APQ的面积S表示为x的函数；

(2)求△APQ的面积S(km)的最小值.

【解答】解：(1)设AQ=x,

那么由翁嗡告得:二AP

x=AP-2

即AP=2

X-1

12

故SQAP・AQ=*T(X>1)；

2x-1

(2)由(1)得：SJLN-L(X>1)；

(x-1)2

当xG(1,2)时，S'VO,当xC(2,+8)时，s>0,

故X=2时,Smin=4.

20.(16分)平面内的定点F到定直线I的距离等于p［p>0),动圆M过点F

且与直线I相切，记圆心M的轨迹为曲线C,在曲线C上任取一点A,过A作I

的垂线，垂足为E.

(1)求曲线C的轨迹方程；

(2)记点A到直线I的距离为d,且迎4d《组，求/EAF的取值范围;

(3)判断NEAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由.

【解答】解：(1)如图，以FK的中点为坐标原点0,

FK所在的直线为x轴，过。的垂线为y轴建立直角坐标系，

即有F(R,0),直线I：x=-R,

22

动圆M过点F且与直线I相切，

可得|AE|=|AF|,

由抛物线的定义可得曲线C的轨迹为F为焦点、直线I为准线的抛物线,

可得方程为y2=2px；

(2)点A到直线I的距离为d,可得|AE|=|AF|=d,且叠＜d4当，

设A(xo,yo),可得y02=2pxo,

即有d=x0+E,那么xo=d-

22

即有|EF|2=p2+y(j2=p2+2p(d-£-)=2pd,

2

在4EAF中,

2

cosZEAF=|AE产+lAF产-lEFI一=1-R,

2|AE|-|AF|d

可得-LWCOSNEAFWL,

34

可得arccos—-arccos—,

43

那么NEAF的取值范围是［arccosL,兀-arcco』］；

43

(3)NEAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1.

设A(xo,yo),可得y02=2pxo,

当A与。重合时，显然一个交点；

当A不与0重合，由NEAF的平分线交x轴于M,连接EM,

可得NAMF=NMAF,

即有【MF.='AF|=d,

四边形AEMF为菱形，EF垂直平分AM,

可得NAMF+NEFM=90°,

tanZAMF=cotZEFM=-M-=-^—

lEKl|y0|

可设yo>O,

那么直线AM的方程为y-yo=2（x-x0）,

y。

那么yoy-yo2=px-px0,

化为yoy=px+pxOJ

代入抛物线的方程y2=2px,

消去x可得，y2-2yoy+2pxo=O,

即为（y-yo）2=0,

可得y=y。，x=x0,

即NEAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1.

21.（18分）无穷数列｛a「的各项均为正数,其前n项和为Sn,a】=4.

（1）如果az=2,且对于一切正整数n,均有&--,2求s”；

an0肝2ard-l

（2）如果对于一切正整数n,均有an・ami=Sn,求Sn；

（3）如果对于一切正整数n,均有an+an+i=3Sn,证明:a3n-i能被8整除.

【解答】解：（1）•.•无穷数列｛an｝的各项均为正数，其前n项和