2023学年完整公开课版奇偶性

奇偶性1.偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内

一个x，都有

，那么函数f(x)就叫做偶函数.2.奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内

一个x,都有

,那么函数f(x)就叫做奇函数.3.奇偶性：那么，就说函数f(x)具有奇偶性.4.奇函数的图象关于

对称,反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是

；偶函数的图象关于

对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是

.f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)如果函数f(x)是奇函数或偶函数原点任意任意奇函数y轴偶函数5.若奇函数f(x)在［a,b］上是增函数，且有最大值M，则f(x)在［-b,-a］上是

函数，且有

.6.若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=

.7.若y=f(x)是偶函数，则f(x)与f(|x|)的大小关系是

.8.若f(x)是奇函数或偶函数，则其定义域关于

对称.增最小值-M0f(x)=f(|x|)原点学点一奇偶性的判定判断下列函数的奇偶性:（1）f(x)=(x-1)·;（2）f(x)=.【分析】先观察定义域是否关于原点对称，再看f(-x)与f(x)之间的关系.若f(x)本身能化简，应先化简，再进行判断，可避免失误.【解析】（1）先确定函数的定义域，由≥0得-1≤x<1，其定义域不关于原点对称，∴f(x)=(x-1)既不是奇函数,也不是偶函数.（2）函数f(x)的定义域为［-1,0)∪(0,1］,关于原点对称，∵f(x)==∴f(-x)===-f(x)即函数f(x)是奇函数.【评析】（1）判断函数奇偶性分两步：一是定义域是否关于原点对称；二是判断f(-x)=f(x)还是f(-x)=-f(x).（2）如果一个函数的定义域关于原点不对称，那么这个函数既不是奇函数，也不是偶函数.（3）定义域关于原点对称，满足f(-x)=-f(x)=f(x)的函数，既是奇函数，又是偶函数，如f(x)=0,x∈R.判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x+;（2）f(x)=x2+;（3）f(x)=x+;（4）f(x)=.(1)定义域为{x|x≠0}.∵f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x),∴f(x)为奇函数.(2)定义域为{x|x≠0}.f(-x)=(-x)2+=x2+=f(x).∴函数f(x)=x2+为偶函数.（3）函数的定义域为{x|x>0}，关于原点不对称，∴函数f(x)=为非奇非偶函数.（4）由1-x2≥0x2-1≥0∴x=±1.∴函数的定义域为{-1,1},

于是f(x)=0,x∈{-1,1}.满足f(-x)=f(x)=0,f(-x)=-f(x)=0.∴f(x)既是奇函数，又是偶函数.学点二奇偶性的证明函数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b，都有f(a+b)=f(a)+f(b)，求证：f(x)为奇函数.【分析】因为对于a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，所以可以令a,b为某些特殊值，得出f(-x)=-f(x).【证明】令a=0，b=0,则f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.又令a=-x,b=x，

f(-x+x)=f(-x)+f(x),即0=f(-x)+f(x),∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.【评析】证明函数的奇偶性，即证明f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立.这需要对给定函数方程中的a,b赋值，使其变成含f(x),f(-x)的式子，然后判定.证明:由于对任意的x∈，必有-x∈.可见f(-x)的定义域也是.若设F(x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x).则F(x)与G(x)的定义域也是，显然是关于原点对称的区间,而且F(-x)=f(-x)+f［-(-x)］=f(x)+f(-x)=F(x),G(-x)=f(-x)-f［-(-x)］=f(-x)-f(x)=-［f(x)-f(-x)］=-G(x).所以F（x）为偶函数，而G（x）为奇函数.设函数f(x)定义在上.证明：f(x)+f(-x)是偶函数，f(x)-f(-x)是奇函数.学点三

由奇偶性求函数解析式设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+x+1,求函数解析式.【分析】由奇函数的图象关于原点对称，找x≥0和x<0时解析式间的联系.【解析】当x<0时，-x>0，由已知得f(-x)=x2-x+1,∵f(x)为R上的奇函数，∴f(-x)=-f(x)=x2-x+1,∴f(x)=-x2+x-1,又∵f(0)=-f(0),∴f(0)=0.

x2+x+1，x>0∴

0，x=0

-x2+x-1，x<0【评析】（1）求f(x)在什么范围上的解析式，则取x为这一范围上的任一值，再转化为条件.（2）在求函数的解析式时，应紧扣题目中的已知条件，当求自变量在不同区间上的不同表达式时，要用分段函数的形式表示出来.已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2|，求当x<0时，f(x)的表达式.解析:设x<0，则-x>0，∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.又∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x|x+2|,∴f(x)=x|x+2|.故当x<0时，f(x)的表达式为f(x)=x|x+2|.学点四奇偶性在求变量范围中的应用设f(x)在R上是偶函数，在区间(-∞,0)上递增，且有f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3)，求a的取值范围.【分析】要求a的取值范围，就要列关于a的不等式（组），因而利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”是关键.【解析】由f(x)在R上是偶函数，在区间(-∞,0)上递增知f(x)在(0,+∞)上递减.∵2a2+a+1=2a2-2a+3=且f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3),∴2a2+a+1>2a2-2a+3,即3a-2>0,解之得

∴a的取值范围是【注】奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.解析:因为函数g(x)在［-2,2］上是偶函数，则由g(1-m)<g(m)，可得g(|1-m|)<g(|m|),又当x≥0时，g(x)为减函数，得到-2≤1-m≤2-2≤m≤2|1-m|>|m|

解之得-1≤m<

定义在［-2,2］上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1-m)<g(m)成立，求m的取值范围.学点五奇偶性与单调性的综合应用设函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，且f(x)在(0,+∞)上是减函数，且f(x)<0，试判断函数F(x)=在(-∞,0)上的单调性，并给出证明.【分析】F（x）的单调性的判定与f(x1),f(x2)的大小有关，而f(x)在(0,+∞)上为减函数，可由此建立关系.【解析】F(x)在(-∞,0)上是增函数，以下进行证明：设x1,x2∈(-∞,0)，x1<x2,则x2-x1>0，且-x1,-x2∈(0,+∞),且-x1>-x2,∴(-x2)-(-x1)=x1-x2<0,∵f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴f(-x2)-f(-x1)>0①又∵f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是奇函数，∴f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2),由①式得-f(x2)+f(x1)>0,F(x2)-F(x1)=又∵f(x)在(0,+∞)上总小于0，∴f(x1)=-f(-x1)>0,f(x2)=-f(-x2)>0,f(x1)·f(x2)>0,又∵f(x1)-f(x2)>0,∴F(x2)-F(x1)>0，且x2-x1>0,故F(x)=在(-∞,0)上是增函数.【评析】解决综合性问题，关键是熟练掌握函数的性质.已知函数f(x)在(-1,1)上有定义，f（）=-1，当且仅当0<x<1时，f(x)<0，且对任意x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f（），试证明：（1）f(x)为奇函数；（2）f(x)在(-1,1)上单调递减.证明:（1）由f(x)+f(y)=f（）,令x=y=0，得f(0)=0.令y=-x，得f(x)+f(-x)=f（）=f(0)=0,∴f(x)=-f(-x)，∴f(x)为奇函数.（2）先证f(x)在(0,1)上单调递减，令0<x1<x2<1，即x2-x1>0,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f（）,∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴>0,又∵(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0,∴0<x2-x1<1-x1x2,∴0<<1,由题意知<0，即f(x2)-f(x1)<0,∴f(x)在(0,1)上为减函数.又∵f(x)为奇函数，且f(0)=0,∴f(x)在(-1,1)上单调递减.1.如果已知函数具有奇偶性，只要画出它在y轴一侧的图象，则另一侧的图象可对称画出.