新北师大版2.9实际问题中的函数模型学案

第九节实际问题中的函数模型【考试要求】1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．1．三种函数模型的性质eq\o(\s\up7(函数),\s\do5(性质))y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同(1)反比例函数模型：f(x)＝eq\f(k,x)(k为常数，k≠0)；(2)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(3)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(4)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(5)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(6)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1).[常用结论]1．(1)当描述增长速度变化很快时，选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，选用对数函数模型．2.对勾函数y＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)在(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)上单调递增，在[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]上单调递减．当x＞0，x＝eq\r(a)时取最小值2eq\r(a)；当x＜0时，x＝－eq\r(a)时取最大值－2eq\r(a).[思考辨析](1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．()(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．()(3)已知a>0且a≠1，则不存在x0，使ax0<xeq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(0))<logax0.()(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝abx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×[对点查验]1．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：xy则对x，y最适合的拟合函数是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2xD根据x，y，代入计算，可以排除A；根据x，y，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()C小明匀速行驶时，图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.3．(多选题)某工厂生产一种溶液，%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少eq\f(1,3)，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg2≈，lg3≈)()A．6 B．9C．8 D．7BC设经过n次过滤，产品达到市场要求，则eq\f(2,100)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n≤eq\f(1,1000)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n≤eq\f(1,20)，由nlgeq\f(2,3)≤－lg20，即n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，得n≥eq\f(1＋lg2,lg3－lg2)≈，故选BC.4．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到只．答案200解析由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，∴当x＝8时，y＝100log39＝200.5．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足等式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt，其中k为常数．现有62℃的物体放到22℃的空气中冷却2分钟后，物体的温度为42℃，答案27℃解析依题意42＝22＋(62－22)·e－2k，e－2k＝eq\f(1,2)，故再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到22＋(42－22)·e－4k＝22＋20·(e－2k)2＝22＋20×eq\f(1,4)＝27(℃).考点一用函数图象刻画变化过程1．(2022·北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是()A．当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态C．当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态D当T＝220，P＝1026时，lgP>3，此时二氧化碳处于固态，故A错误；当T＝270，P＝128时，2<lgP<3，此时二氧化碳处于液态，故B错误；当T＝300，P＝9987时，lgP与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，另一方面，T＝300时对应的是非超临界状态，故C错误；当T＝360，P＝729时，因2<lgP<3，故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确．故选D.2．汽车的“燃油效率”，是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油D根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故A错误；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故B错误；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故C错误；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故D正确．故选D.3．(2022·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是()A根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在y＝x上方．结合选项只有A选项能够较好的达到目的．故选A.思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案．考点二已知函数模型的实际问题(2022·浙江模拟)某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W(单位：千克)与施用肥料x(单位：千克)满足如下关系：W(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5（x2＋3），0≤x≤2,50－\f(50,x＋1)，2<x≤5))，肥料成本投入为10x元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为f(x)(单位：元).(1)求f(x)的函数关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？解(1)由已知f(x)＝15W(x)－20x－10x＝15W(x)－30x＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15×5（x2＋3）－30x，0≤x≤2，,15×（50－\f(50,x＋1)）－30x，2<x≤5))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(75x2－30x＋225，0≤x≤2，,750－\f(750,x＋1)－30x，2<x≤5.))(2)由(1)得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(75x2－30x＋225，0≤x≤2，,750－\f(750,1＋x)－30x，2<x≤5.))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(75（x－\f(1,5)）x＋222，0≤x≤2,780－30\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(25,1＋x)＋（1＋x）))，2<x≤5.))当0≤x≤2时，f(x)max＝f(2)＝465；当2<x≤5时，f(x)＝780－30eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(25,1＋x)＋（1＋x）))≤780－30×2eq\r(\f(25,1＋x)·（1＋x）)＝480，当且仅当eq\f(25,1＋x)＝1＋x时，即x＝4时等号成立．因为465<480，所以当x＝4时，f(x)max＝480.∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．思维升华求解已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．对点强化1(2022·江苏模拟)新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t(n)(单位：小时)大致服从的关系为t(n)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(t0,\r(n))，n<N0,\f(t0,\r(N0))，n≥N0))，(t0，N0为常数).已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为小时．答案eq\f(64,7)解析由第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时知，N0>16，所以eq\f(t0,\r(16))＝16，解得t0＝64.又eq\f(64,\r(N0))＝8，解得N0＝64，所以t(n)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(64,\r(n))，n<64,8，n≥64))，所以当n＝49时，t(49)＝eq\f(64,\r(49))＝eq\f(64,7).考点三构造函数模型的实际问题命题点1构造二次函数模型(2022·重庆模拟预测)我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100mL，已知一驾驶员某次饮酒后体内每100mL血液中的酒精含量y(单位：mg)与时间x(单位：h)的关系是：当0<x<eq\f(11,3)时，y＝－eq\f(270,11)x2＋eq\f(1080,11)x；当x≥eq\f(11,3)时，y＝eq\f(110,x)，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过h才可驾车．答案解析当0<x<eq\f(11,3)时，y＝－eq\f(270,11)x2＋eq\f(1080,11)x＝－eq\f(270,11)(x－2)2＋eq\f(1080,11)，当x＝2时，函数有最大值eq\f(1080,11)>200，所以当0<x<eq\f(11,3)时，饮酒后体内每100mL血液中的酒精含量小于20mg/100mL当x≥eq\f(11,3)时，函数y＝eq\f(110,x)单调递减，令y＝eq\f(110,x)＝20⇒x＝，因此饮酒后小时体内每100mL血液中的酒精含量等于20mg/100mL.命题点2构造指数函数、对数函数模型(1)(2022·西城区校级开学)星等分为两种：目视星等与绝对星等，但它们之间可用公式M＝m＋5－5lgeq\f(d,3.26)转换，其中M为绝对星等，m为目视星等，d，绝对星等为2.19；织女星目视星等为，绝对星等为0.5.则距离地球更近的星球和它们到地球的距离之比(较远距离与较近距离之比)分别是()(参考数据：10≈1.549，10≈8.054，10≈)A．牛郎星，约1.5 B．织女星，C．牛郎星，约2.9 D．织女星，A设牛郎星到地球的距离为d1，织女星到地球的距离为d2，所以2.19＝0.77＋5－5lgeq\f(d1,3.26)，0．5＝0.03＋5－5lgeq\f(d2,3.26)，即lgeq\f(d1,3.26)，lgeq\f(d2,3.26)，所以eq\f(d1,3.26)＝10≈，eq\f(d2,3.26)＝10≈，所以d2＞d1，所以距离地球更近的星球为牛郎星，且eq\f(d2,d1)＝eq\f(\f(d2,),\f(d1,3.26))＝eq\f(10,10)＝10≈1.549.故选A.(2)(2022·福建三模)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝L0Deq\f(G,G0)，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，，则学习率衰减到0.05以下(不含0.05)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈)()A．11 B．22C．227 D．481DG·(lg9－lg10)<－22，G·(lg10－lg9)>22，G>eq\f(22,lg10－lg9)，G>eq\f(22,1－2lg3)＝eq\f(22,1－2×0.4771)＝eq\f(22,0.0458)≈，所以所需的训练迭代轮数至少为481轮．故选D.命题点3构造分段函数模型(2022·淮南一模)我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y(单位：万元)与处理量x(单位：吨)(x∈[120，500])之间的函数关系可近似表示为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－80x2＋5040x，x∈[120，144）,\f(1,2)x2－200x＋80000，x∈[144，500]))，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少()A．120 B．200C．240 D．400D由题意可得二氧化碳每吨的平均处理成本为S＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2－80x＋5040，x∈[120，144）,\f(1,2)x－200＋\f(80000,x)，x∈[144，500]))，当x∈[120，144)时，S＝eq\f(1,3)x2－80x＋5040＝eq\f(1,3)(x－120)2＋240，当x＝120时，S取得最小值240，当x∈[144，500]时，S＝eq\f(1,2)x＋eq\f(80000,x)－200≥2eq\r(\f(1,2)x·\f(80000,x))－200＝200，当且仅当eq\f(1,2)x＝eq\f(80000,x)，即x＝400时取得等号，此时S取得最小值200.综上可得，当每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元．故选D.思维升华(1)在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型．②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．③解模：求解函数模型，得出数学结论．④还原：将数学结论还原为实际意义的问题．(2)通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识和方法构建函数模型解决问题，提升数学建模核心素养．对点强化2(1)(2022·河南模拟)金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存．已知金针菇失去的新鲜度h与其采