知识点12一元二次方程

一、选择题1.（2019广西省贵港市，题号7，分值3分）若，是关于的一元二次方程的两实根，且，则等于A． B． C．2 D．3【答案】．【解析】解：，是关于的一元二次方程的两实根，，，，；故选：．【知识点】根与系数的关系2.（2019贵州遵义，8，4分）一元二次方程x2-3x+1=0的两个根为x1,x2,则x12+3x2+x1x2-2的值是(A)10(B)9(C)8(D)7【答案】D【解析】因为x2-3x+1=0的两个根为x1,x2,所以x12=3x1-1,x1+x2=3,x1x2=1,所以x12+3x2+x1x2-2=3x1-1+3x2+x1x2-2=3（x1+x2）+x1x2-3=7，所以选D【知识点】一元二次方程根与系数的关系3.（2019湖北仙桃，7，3分）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（）A．12 B．10 C．4 D．﹣4【答案】A【解析】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12；故选：A．【知识点】一元二次方程根与系数的关系4.（2019湖北咸宁，6，3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1【答案】【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0，解得：m≤1．故选：B．【知识点】根的判别式5.（2019湖南郴州，5，3分）一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根【答案】B【解析】解：一元二次方程2x2﹣3x+5＝0中，△＝32﹣4×2×9（﹣5）＞0，∴有两个不相等的实数根．故选：B．【知识点】一元二次方程根的判别式6.（2019湖南湘西，13，4分）一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断【答案】C【解析】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝3，∴b2﹣4ac＝4＝4﹣4×1×3＝﹣8＜0，∴此方程没有实数根．故选：C．【知识点】一元二次方程根的判别式7.(2019内蒙古包头市，10题，3分)已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，则m的值是（）A.34 或34 或36【答案】A.【解题过程】解：分两种情况讨论：若4为等腰三角形底边长，则a，b是两腰，∴方程x2-12x+m+2=0有两个相等实根，∴△=(-12)2-4×1×(m+2)=136-4m=0,∴m=34.此时方程为x2-12x+36=0，解得x1=x2=6.∴三边为6，6，4，满足三边关系，符合题意.若4为等腰三角形腰长，则a，b中有一条边也为4，∴方程x2-12x+m+2=0有一根为4.∴42-12×4+m+2=0，解得，m=30.此时方程为x2-12x+32=0，解得x1=4，x2=8.∴三边为4，4，8，不满足三边关系，故舍去.综上，m的值为34.故选A.【知识点】等腰三角形性质，一元二次方程的解，分类讨论思想.8.（2019湖北荆州，6，3分）若一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定【答案】A【解析】解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，∴k＞0，b≤0，∴△＝k2﹣4b＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【知识点】一元二次方程根的判别式9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空题1.（2019湖北十堰，14，3分）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝．【答案】﹣3或4【解析】解：根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，（2m﹣1）2﹣49＝0，（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，所以m1＝﹣3，m2＝4．故答案为﹣3或4．【知识点】解一元二次方程﹣因式分解法2.（2019宁夏，12，3分）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是．【答案】【解析】因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以，即，解得，所以的取值范围是．【知识点】一元二次方程根与系数的关系．3.（2019宁夏，16，3分）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程：即为例加以说明．数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得.那么下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程的正确构图是(只填序号)．第第16题图【答案】②【思路分析】通过类比的思想，结合图形的面积，进行合情推理通，从而得到答案．【解题过程】通过例（方程：即），可以发现，首先，需将方程变形为构造的正方形的边长应该为，所以可得方程，所以，据此易得，所以图中四个长方形的边长应该为6和2，只有构图②符合要求．【知识点】一元二次方程、整式的化简与因式分解、类比的数学思想方法、古代中国数学史．4.（2019吉林长春，11，3分）一元二次方程x2-3x+1=0根的判别式的值为.【答案】5．【解析】解：∵a=1，b=-3，c=1，

∴△=b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5，

故答案为5．【知识点】根的判别式.5.（2019吉林省，10，3分）若关于x的一元二次方程（x+3)2=c有实数根，则c的值可以为（写出一个即可）【答案】答案不唯一，例如5，（c≥0时方程都有实数根）【解析】c≥0时方程都有实数根【知识点】一元二次方程根的情况6.（2019·江苏镇江，9，2）若关于x的方程x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于．【答案】1．【解析】本题考查了一元二次方程的根判别式定理，由原方程有两个相等的实数根，得△＝(－2)2－4×1×m＝0，解得m＝1，因此本题答案为1．【知识点】一元二次方程的根判别式7.（2019广西桂林，15，3分）一元二次方程的根是．【答案】，【解析】解：或，所以，．故答案为，．【知识点】解一元二次方程因式分解法8.（2019湖南邵阳，16，3分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值是．【答案】0【解析】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，△，；故答案为0；【知识点】一元二次方程根的判别式9.（2019江苏镇江，9，2分）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值等于．【答案】1【解析】解：根据题意得△，解得．故答案为1．【知识点】一元二次方程根的判别式10.（2019四川泸州，15，3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是．【答案】16【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣4，∴（x1+4）（x2+4）＝x1x2+4x1+4x2+16＝x1x2+4（x1+x2）+16＝﹣4+4×1+16＝﹣4+4+16＝16，故答案为：16．【知识点】一元二次方程根与系数的关系11.（2019江苏徐州，11，3分）【答案】x1=2，x2=-2.【解析】本题解答时利用直接开平方根进行求解.解：∵x2-4=0，∴x2=4，∴x1=2，x2=-2.【知识点】解一元二次方程12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答题1.(2019黑龙江绥化,23题,6分)已知关于x的方程kx2－3x+1＝0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)若该方程有两个实数根,分别为x1和x2,当x1+x2+x1x2＝4时,求k的值.【思路分析】(1)根据根的判别式列出不等式,即可求得k的范围;(2)由根与系数的关系,得到方程,即可解得k的值.【解题过程】(1)当k＝0时,方程是一元一次方程,有实数根,符合题意;当k≠0时,方程是一元二次方程,由题意得＝9－4k≥0,∴k≤,综上所述,k的取值范围是k≤.(2)∵x1和x2是该方程的两个实数根,∴x1+x2＝,x1x2＝,∵x1+x2+x1x2＝4,∴+＝4,解得k＝1,经检验,k＝1是原分式方程的解,且1≤,∴k的值为1.【知识点】根的判别式,根与系数的关系,分式方程2.（2019湖北十堰，21，7分）已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．【思路分析】（1）根据根的判别式，可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围；（2）由根与系数的关系，用a表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围，再求其值即可．【解题过程】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2，∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，解得a＜2；（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，∴36﹣3（2a+5）≤30，∴a≥-32∴a的值为﹣1，0，1．【知识点】一元二次方程根与系数的关系3.（2019湖北孝感，21，10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．【思路分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，得到△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，于是得到结论；（2）根据x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，代入x12+x22﹣x1x2＝16，解方程即可得到结论．【解题过程】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，解得：a＜3，∵a为正整数，∴a＝1，2；（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，∵x12+x22﹣x1x2＝16，∴（x1+x2）2﹣x1x2＝16，∴[﹣2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解得：a1＝﹣1，a2＝6，∵a＜3，∴a＝﹣1．【知识点】一元二次方程根与系数的关系及根的判别式4.（2019北京市，19题，5分）关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．【思路分析】先由原一元二次方程有实数根得判别式进而求出m的范围；结合m的值为正整数，求出m的值，进而得到一元二次方程求解即可.【解题过程】解：∵关于x的方程有实数根，∴∴又∵m为正整数，∴m=1，此时方程为解得根为，∴m=1，此方程的根为【知识点】一元二次方程根的判别式、5.（2019江苏徐州，25，8分）【思路分析】根据题目给定的相等关系，列出一元二次方程，解这个方程取舍后得出实际问题的解.【解题过程】解：设剪去的小