山东省聊城市定水镇中学2022年高二数学理模拟试题含解析

山东省聊城市定水镇中学2022年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用数学归纳法证明：时，由到左边需要添加的项是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】分别写出n=k和n=k+1是的等式，然后确定左边需要添加的项即可.【详解】当n=k时，要证明的等式为：，当n=k+1时，要证明的等式为：，左边需要添加的项为.故选：D.

2.已知向量，，其中.若，则的值为()A．8

B．4

C．2

D．0参考答案：B略3.分别在区间和内任取一个实数，依次记为m和n，则m＞n的概率为(

)A． B． C． D．参考答案：A考点：几何概型．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出满足条件m＞n的图形面积，及在区间和内的点对应的面积，再代入几何概型计算公式求解．解答：解：如图，则在区间和内任取一个实数，依次记为m和n，则（m，n）表示的图形面积为3×5=15其中满足m＞n，即在直线m=n右侧的点表示的图形面积为：，故m＞n的概率P=，故选A．点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=N（A）/N求解．4.已知,则下列推证中正确的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略5.等差数列的前项和，若，则(

)

参考答案：C6.若p=+，q=+，a≥0，则p、q的大小关系是（）A．p＜q B．p＞qC．p=q D．由a的取值确定参考答案：A【考点】72：不等式比较大小．【分析】对P和q平方后作差即可得答案．【解答】解：∵p=+，则p2=2a+7+2∵q=+，则q2=2a+7+2．比较p，q的大小只需要比较（a+2）（a+5）与（a+3）（a+4）．作差：（a+3）（a+4）﹣（a+2）（a+5）=12﹣10=2＞0∴p＜q．故选：A．7.两名男生和两名女生随机站成一排照相，则两名男生相邻的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】利用捆绑法求出两名男生相邻的情况种数，再根据古典概型求得结果.【详解】两名男生相邻的情况共有：种则两名男生相邻的概率本题正确选项：【点睛】本题考查古典概型求解概率问题，关键是利用捆绑法求出符合要求的情况种数.8.正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1与底面ABCD所成的角的正切等于（

）A．1

B．

C．

D．

参考答案：D略9.用反证法证明命题“是无理数”时，假设正确的是（

）．A.假设是有理数 B.假设是有理数C.假设或是有理数 D.假设是有理数参考答案：D试题分析：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而命题“是无理数”的假设为“假设是有理数”．考点：反证法．10.命题“?x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．不存在x0∈R，使得＜0 B．?x∈R，都有x2＜0C．?x0∈R，使得≥0 D．?x0∈R，使得＜0 参考答案：D【考点】命题的否定．【分析】直接由特称命题与全称命题的否定关系得答案．【解答】解：命题“?x∈R，都有x2≥0”为全程命题，其否定为特称命题“?x0∈R，使得”．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设角，则的值等于

．参考答案：略12.写出命题：“若且，则”的逆否命题是

命题(填“真”或“假”)参考答案：真

13.已知椭圆上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离是

.参考答案：714.给出下列命题：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实根”的否命题；②命题在“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；③命题“若a>b>0，则”的逆否命题；④若“m>1，则mx2－2（m＋1）x＋（m－3）>0的解集为R”的逆命题．其中真命题的序号为________．参考答案：略15.已知集合，且，求实数m的值______．参考答案：3【分析】由题意结合集合元素的互异性分类讨论求解实数m的值即可.【详解】由题意分类讨论：若，则，不满足集合元素的互异性，舍去；若，解得：或，其中不满足集合元素的互异性，舍去，综上可得，.【点睛】本题主要考查集合与元素的关系，集合元素的互异性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.已知,,,,…,由此你猜想出第n个数为

。参考答案：略17.若（a，b为实数，i为虚数单位），则a+b=____________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（1）设a，b，c都是正数，求证：；（2）证明：求证.参考答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用综合法，由基本不等式，即可作出证明，得到结论；（2）利用分析法，即可作差证明．【详解】（1）由题意，因为，所以，当且仅当时，等号成立.（2）证明：要证，只需证明，即证明，也就是证明，上式显然成立，故原不等式成立.【点睛】本题主要考查了推理与证明的应用，其中解答中利用基本不等式和合理使用综合法与分析法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．19.已知函数f（x）=ex﹣ax﹣a（其中a∈R，e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（Ⅰ）当a=e时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）当a=e时，f（x）=ex﹣ex﹣e，f'（x）=ex﹣e，由导数确定函数的单调性及极值；（Ⅱ）由f（x）=ex﹣ax﹣a，f'（x）=ex﹣a，从而化恒成立问题为最值问题，讨论求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=e时，f（x）=ex﹣ex﹣e，f'（x）=ex﹣e，当x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以函数f（x）在x=1处取得极小值f（1）=﹣e，函数f（x）无极大值．（Ⅱ）由f（x）=ex﹣ax﹣a，f'（x）=ex﹣a，若a＜0，则f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x趋近于负无穷大时，f（x）趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，f（x）趋近于正无穷大，故a＜0不满足条件．若a=0，f（x）=ex≥0恒成立，满足条件．若a＞0，由f'（x）=0，得x=lna，当x＜lna时，f'（x）＜0；当x＞lna时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，所以函数f（x）在x=lna处取得极小值f（lna）=elna﹣a?lna﹣a=﹣a?lna，由f（lna）≥0得﹣a?lna≥0，解得0＜a≤1．综上，满足f（x）≥0恒成立时实数a的取值范围是[0，1]．【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．20.已知函数；（1）求函数在区间上的值域；（2）若对于任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（1）若，，若，，若，，ks5u（2），（i）若，即恒成立，即，即，，ks5u（ii）若，，，，，，，综上，得略21.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为:.若点在直线AD上.（1）求点A的坐标及矩形ABCD外接圆的方程；（2）过直线上一点P作（1）中所求圆的切线，设切点为E、F，求四边形PEMF面积的最小值，并求此时的值.参考答案：(1)∵AC⊥AD且

∴

∴直线AD的方程为：y+5=-3(x-1)

即3x+y+2=0

由

解得

即A(0,-2)

∵ABCD是矩形

∴ABCD外接圆的圆心为对角线AC与BD的交点，即M(2,0),

半径r=|AM|=2.故其方程为

（2）由切线的性质知：四边形PEMF的面积S=|PE|?r=r=

∴四边形PEMF的面积取最小值时，|PM|最小，即为圆心M到直线x-y+4=0的距离d=3.

∴四边形PEMF的面积S的最小值

此时||=||=,设∠MPE=∠MPF=α,则

∴=||2cos2?=||2(1-2sin2?)=10[1-2()2]=.

22.已知袋子中装有红色球1个，黄色球1个，黑色球n个（小球大小形状相同），从中随机抽取1个小球，取到黑色小球的概率是．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）若红色球标号为0，黄色球标号为1，黑色球标号为2，现从袋子中有放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．（ⅰ）记“a+b=2”为事件A，求事件A的概率；（ⅱ）在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；概率的意义．【分析】（Ⅰ）从中随机抽取1个小球，取到黑色小球的概率是，列出方程．求解n的值；（Ⅱ）（ⅰ）求出从袋子中现从袋子中有放回地随机抽取2个小球的所有事件个数，满足“a+b=2”为事件A的个数，然后求解概率；（ⅱ）直接利用几何概型，求解全部结果的区域面积与所求结果的区域面积，求解概率即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意，得n=1（Ⅱ）（ⅰ）记标号为0的小球为s，标号为1的小球为t，标号为2的小球为k，则取出2个小球的可能情况有：（s，t），（s，k），（t，s），（t，k），（k