高考数学导数专练27个汇编（解析版）

X

专题1:切线问题...............................................................................1

专题2：函数的图象.............................................................................8

专题3:单调性问题...........................................................................22

专题4：函数的极值问题........................................................................28

专题5：函数的量值............................................................................36

专题6：三次函数.............................................................................46

专题7:零点问题..............................................................................52

专题8：恒成立与存在性问题....................................................................69

专题9：构造的等式......................................................................82

专题10：有知离问题........................................................................94

专题U：球的值或范围问题..................................................................100

专题12：分离春雌..........................................................................109

专题13，稀结合法..........................................................................117

专题14：构造函数............................................................................120

专题15：不等^........................................................................128

专题16：卡根法专题..........................................................................133

专题17：数列不等式..........................................................................139

专题1&极值点偏移问题......................................................................155

专题19：双如网题..........................................................................162

专题20：凹凸反转问题........................................................................172

专题2L与三角函数有知....................................................................177

专题22：降零点设而不求......................................................................185

专题23,螭点出专题........................................................................191

专题24：最大最小函数问题....................................................................201

专题25：恒成立专题..........................................................................205

专题26：筷子夹汤圆专题......................................................................215

专题27；找点专题............................................................................226

/X

专题1:切线问题

1.若函数/(%)=In/与函数g(c)=〃+2c+QQVO)有公切线,则实数Q的取值范围是()

A.(ln/,+8)B.(-1,+~)C.(1,+8)D.(Tn2,+8)

【答案】LA

【解析】设公切线与函数/(⑼=Inrr切于点A[Xl,lnxt)(x.>0)，则切线方程为y-In5=白(工一0)；设

公切线与函数g(%)=/+20+Q切于点B(X2,退+2g+a)(gVO),则切线方程为g—(后+2g+a)=2

=2(g+1),1

Xl

(x2+1)Q—g),所以有｛"VX2<0<2?],/.0<一<2.

In6]—1=—4+Q・

又a=Ina；]+—1)—1=-——2)-1，令£=~~,・，・0V1V2,a=t—\nt.

设无⑴=T-lnt(O<t<2),则h\t)=-1_J="?_3<0,/.h(t)在(0,2)上为减函

数,则h⑴>h(2)=—ln2—1=In击，；.Q£(in-^-,+8),故选A.

2.已知直线g=2%与曲线/(/)=ln(Q/+b)相切，则ab的最大值为()

A.-j-B.号C.eD.2e

【答案】2.C

【解析】设切点(x0,ln(ax0+b)),则由/'(的)=与万=2得ax04-b=-ya(a>0),

CLXQ~T0z

==

又由ln(ax()+b)=2工(),得x0-^■ln(aa；o+b)-则b=-^—ax01—,

有曲=-ya2—+a21n号(a>0),令g(a)=ya2—ya2lny,则g'(a)=a(y-In.),

故当0<<2<2五时"(a)>0：当&>2爪时g'(a)<0,故当a=26时ff(a)取得极大值也即最大值

g(2Ve)=e.

故选：。.

3,已知P是曲线G：y=e，上任意一点，点Q是曲线Q：y=噜上任意一点，则LPQI的最小值是()

A.1-野B.1+萼C.2D.V2

【答案】3.D

【解析】(1)曲线G：y=应求导得“=e，,易知G在点4(0,1)处切线方程为y=x+l.

下面证明e工>a;+1恒成立：

构造函数/(①)—e^—x—1,求导得/(二)=e，一1,则rr€(—8,0)时，f'(x)<O,f(x)单调递减；x€

(0,+oo)时，尸(工)>0,/(乃单调递增.

故函数/⑺>/(0)=0,即e〉c+l恒成立，有G为下凸曲线

(2)曲线G：y=呼•，求导得y，=上?或，当工=1时，?/=1,且G过点5(1,0)

宓X

故G在点(1,0)处的切线方程为a=x—L

下面证明7-1>上型在(0,+8)上恒成立：

令PQ)="_/_In/,则F'(工)=24_1_工=2/—”-1=(2±+1)3-1),

当0<±<1时，尸'3)<0,尸⑺单调递减；当c>l时，尸'3)>0,F(x)单调递增，

所以尸(w)min=F(l)=0,即F(x)>尸⑴=0,

则x2—x—Ina;>0,即a;—1>，:]在(0,+°°)上恒成立,有C2为上凸曲线

(3)由G在4(0,1)处切线y=C+1与G在3(1,0)处的切线y=立-1,知:它们相互平行

又直线的斜率A;=—1,即可知I：直线43与两条切线同时垂直

/.综上，知：|PQ|最小时，■即为P点，B即为Q点,故|PQ1mto=\AB\

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AiPQlmin=\AB\=Vl2+l2=V2

故选：。

4.若曲线y=ax+2cos/上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是()

A.[—V3>A/3]B.[—1,1]C'.(—8,1]D.[—V3,1]

【答案】4.4

【解析】y'=a—2sin：r,要使曲线9=ax+2cosz上存在两条切线相互垂直，

只需切线斜率最小时，其负倒数仍在导函数值域内取值，即&y',，显然y；„„<0,

yminmx

故只需("'LnX(?/)max4—1，

因为谈=Q-2sin6最小值为Q-2V0,最大值为Q+2>0,

所以(a—2)(a+2)4—1,即屋43,

解得一

故选：A.

5.已知关于I不等式ae，>c+b对任意/EH和正数6恒成立，则詈的最小值为()

A.yB.1C.V2D.2

【答案】5.B

x

【解析】设/(k)=ae9g(x)=i+b,

若(16工>1+6,对任意xER和正数b恒成立，

则;(x)>g(0,对任意。H和正数b恒成立，

a&0时，ae:r>x+b,对任意xER和正数b不恒成立；

于(x)=aext则/'(1)=aex,

设f'(*o)—aeXn=1,解得力0=—Ina,且f(g)=aex,,=ae~lna=1,

.・.当/(%)=ae，的切线斜率为1时，切点坐标为(-lna,l),

由直线的点斜式方程可得切线方程为g—1=e+Ina,

即g=c+lna+1,

若/⑺>g(z)=x+b,对任意xER和正数b恒成立，则Ina+1>6

\/

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/X

Ina-ln6>6-1-In6

.•.华)e'T-叫

0

设fi(b)=b-1—\nb,b>0

叭b)="AJ^,

:,b=l,//(b)=0,b>L"(b)>0,fe<l,h'(b)<0,

:.h(b)>:(!_)=0,

?>eh-'-'nb>eh(i,>e°=l

b

故选：A

6.若存在实数a,6,使不等式2clnc&ac++招+e对一切正数ar都成立(其中e为自然对数的底数),

则实数a的最大值是()

A.VeB.2eC.2VeD.2

H【答案】6.C.I

【解析】存在实数ah使不等式26111力W四+6<+/2+^对一切正数力都成立,要求。的最大值,临界条

件即为直线g=ar+b恰为函数f(a)=2elni,g㈤=十/+e的公切线.

设/(%)=2elnx的切点为Qi,.)Qi>0),f(x)=岑,，a=岁.

XX]

设g(%)=十/+e的切点为(如如(/2>0)，g\x}=x,：,a=x2t

所以a=—=XxX-y=2e.

x\

2elnX]—5滤—e

由题得----------------=Q=Xo,/.21nxiH—?—3=0.

Xi-X2~Xy

设h(x(\—21n。]+2^—3(—>0)，

定

所以矶新)=2一当=2式14e,

,Xxxf以

所以函数九(⑻)=21n%+岑-3在(0,2小)上单调递减，在(2/,+8)单调递增.

又/i(Ve)—21nVe+-3=1+2—3=0,

当为一>+8时，J=21ng+岑—3>0>

所以方程另外一个零点一定大于26.

所以方程小的零点为

所以ttmax-—2Ve.

Ve

故选：C

7.若对函数/Q)=2,一since的图象上任意一点处的切线h，函数g(。)=mex+(m-2)。的图象上总存在

一点处的切线和使得人上力,则小的取值范围是()

A.(一号,0)B.(0,f)C.(-1,0)D.(0,1)

【答案】7.D

【解析】由/(z)=2aj-sin;r斓/'(;r)=2-cosxC[1,3],所以-_二小€[-1,―^]=4

由g{x}=me”+(nz—2)c,得g'Q)=mex-\-m—2.

(1)当7n>0时，导函数单调递增，g'(c)€(m—2,4-oo),

由题意得Vx3g,/'(为)9'(宓2)=-1**-g'Qz)=""c••A^B

hJ⑶)

故7n—2V—1,解得0VmV1;

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⑵当znVO时，导函数单调递减，g'Q)€(—8g一2),同理可得小一2＞一4,与mVO矛盾,舍去；

O

(3)当771=0时，不符合题意.

综上所述：m的取值范围为(0,1).

故选：D

8.若过点P(Lm)可以作三条直线与曲线。：沙=21相切，则m的取值范围是()

A.(一卷。)B.(—*，e)C.(0,+oo)D.(一卷一看)

【答案】8.工

【解析】设切点为Af(g,go),,.・沙=碇］，式=(①+1)小,

Xor

处的切线斜率k=(矽)+l)eR则过点P的切线方程为夕=⑶)+l)e(x—x0)4-x0e°,

代入点P的坐标，化简得m=(—鬲+g+l)e^,

・・・过点P(l,m)可以作三条直线与曲线C:沙=%"相切，

方程7n=(-就+&+1)铲，有三个不等实根.

令于(x)=(―/+力+1居3求导得到/⑺=(―a;2—x+2)ex,

可知/(乃在(-oo,-2)上单调递减，在(一2,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

9.已知g=k/+b是函数/(c)=ln/+z的切线，则2k+b的最小值为

【答案】9.2+ln2

【解析】根据题意，直线y=kx+b与函数/(c)=\nx+c相切,设切点为(m,Inm+m),

函数/(c)=lnN+N,其导数((力)=-4-1,则/，(7几)=—+1,

xm

则切线的方程为：y—(lnm-Fm)=(工+1)(c—m),变形可得廿=(--F1)x4-Inm-1,

mm

又由切线的方程为g=fcr+b,

则k=——p1,6=Inm—1,

m

22

则2k+b=——F2+Inm—1=InmH------Fl,

mm

设9(馆)=1口馆4-—+1,其导数g，(m)=-------\=mj,

mmmm

2

在区间(0,2)上，g，(zn)VO,则g(m)=Inmd-----F1为减函数，

m

2

在⑵+8)上©(m)>0,则g(m)=Inm4------卜1为增函数，

m

x._________________________________________________________________________________________________________/

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/\

则9(襁)mm=g⑵=1112+2,即2k+b的最小值为ln2+2；

故答案为ln2+2.

10.存在k>0,6>0使for—2k+b>Inz对任意的©>0恒成立,则生的最小值为

K----------

【答案】10.1

【解析】存在左〉0,b>0使b―2上+方Nlnx对任意的x>0恒成立，

则等价于等价于存在A>0">0,y=Mx-2)+b在丁=lnx的上方.

直线y^k(x-2)+b过定点(2,6),即定点在直线x=2上，

设直线卜=人(工一2)+6与y=lnx相切于点(x0,y0)，

y=(inx)=L所以k=—<

Xx0

Inl-b

由左=上2=屿於得&=邛二，

xo-2xo-2L-2

k

化简得6=2左一l-lnA,故-=2---—.

kkk

构造函数g(4)=2—，一”(左>0)，

kk

,'Jg㈤k-p-T

所以当0<一<1时，g'㈤<0,函数g(A)递减，

当%>1时，g")>0,函数g(—递增,

所以g(4)mm=g(l)=2-1=1.所以-的最小值为1.

k

故答案为：1

11.若直线y=+b是曲线g=e"的切线，也是曲线沙=ln(c+2)的切线，则k=

【答案】11.1或看

xT,

【解析】设y=kx+by=ey=\n(x+2),分别切于点(xbe),(g,ln(g+2)),

由导数的几何意义可得：“="=得彳,即工2+2=表，①

则切线方程为y—eXl=eXl(x—B)，即g=eXyx—铲①+e1',

或U—ln(T2+2)=[-3-x2)，即"一ln(x2+2)=j,9(x一色)，②

将①代入②得y="吮+2——1一电，

又直线g=for+b是曲线g=c”的切线，也是曲线g=ln(,+2)的切线，

则——1+ex,=2ex,-1—Ti,

即©-l)Qi+l)=0,

则为=-1或电=0,

即Z=6。=1或k=J=卷，

故答案为：1或9.

12.已知直线沙=k/+b与函数y=e①的图像相切于点。(为,幼)，与函数4=Ina;的图像相切于点Q(g,3)，

若1,且gE(n,n+1),n6Z,p}lJn=

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【答案】12.4

e11=fc=-

【解析】依题意，可得,产e^=kxt+b，整理得切ng-Ing-g-1=0

y)=\nx2=kx2+b

令f㈤=xlnx—Inc—x—l(rc>1)，则f(x)=Inx——在(l,+8)单调递增

x

且(⑴•广⑵<0,/.存在唯一实数m€(1,2)，使八m)=0

/(⑼min=/(rn)</(1)<0,/(2)=ln2-3<0,/(3)=21n3-4<0,

/(4)=31n4—5<0,J(5)=41n5—6>0,/.E(4,5),故九=4.

13.若直线g=ka;+b既是曲线g=Ina;的切线，又是曲线g=e，-2的切线，则b=

【答案】13.0或-1

【解析】令/(力)=lmc,gQ)=ef则r(z)=丸g'(")=e^2-

设切点分别P(力1，%)»Q(g,他)，

则切线方程为y—Ina；1=；(力一为)，即夕=•I+Inxi—1；

X]X]

y-12=尸2(1_①2),即g=尸2・％+(1_Xi)eX2~2,

・小=可Jlnci=2-①2

,・储0-1=(1一引12,'I(1叫—1=(15产2,

A(1—X-2),(1-c"2-2)=0,±2=1或/2=2.

当电=1时，切线方程为？=春①，・・・b=0；

当a；2=2时，切线方程为g=£—1,：.b=—l.

综上所述，b=0或b=—1.

故答案为：6=0或b=—1

14.已知实数a,bed，满足华=/i=l,那么0—。)2+(6—砌2的最小值为

【答案】14.(2+ln2)2

5

【解析】由上产=1可知,点A(a,b)在函数/⑸=Inrr上，由]=1知，点B(c,d)在直线y=2x+1

上，则(a—c>+(b—d)2=|4B|2,所以当点力处的切线与直线沙=2力+1平行时，点4到直线g=2ar+1

的距离的平方就是(a-c)24-(6-d)2的最小值.

由=}=2得,c=+，所以A(十,一ln2),

所以(a-c)2+e一疗,(口喟2|了=(2+；n2)2,所以一=(2+92)2,

故答案为(2+w2)2

15.若直线g=ki+b与曲线y=Inx+2相切于点P,与曲线g=ln(c+1)相切于点Q,则k=

【答案】15.2

【解析】设直线与y=\nx+2相切与点(m,lnm+2),此时斜率为表,由点斜式得切线方程为y一

(Inm+2)=—(^―m)，即y=—x+lnm+1.对于曲线g=ln(c+1),其导数y,=—篙"，令」"=

777(7TX"iJL

W3■，得£=m—1,故切点坐标为(m—1,Inm),代入切线方程得+lnm+1=Inzn,解得?n=

畀故k=焉=2.

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专题2：函数的图象

1.已知函数/(z)=ad+历^+以其导数(3)的图象如图所示,则函数/(口的极大值是()

A.a+b+cB.8Q+4b+c(1.3Q+2bD.c

【答案】【解析】由导函数的图象知，

f(x)在(1,2)递增;在(2,+8)上递减

所以当工=2时取得极大值，

极大值为：/(2)=8a+4b+c

则函数了(工)的极大值是8a+4b+c

故选：B.

2.设函数y=/3)可导，y=/Q)的图象如图所示，则导函数y=可能为()

【答案】【解析】根据y=f(。)的图象可知其定义域为{/rWO},

故其导函数的定义域也为{刀也r0},

又从原函数y=f(x)的图象可知，函数y=/(X)的单调性是：

函数？/=/3)在(-oo,0),(0,a)上是增函数，在(a,b)上是减函数，在(4+8)是增函数，

即？=是先增后减再增，

得出导函数是先正后负再正，

根据选项中的函数/(c)的单调性知选。.

故选：D

3.函数y=1互喙的部分图象大致为()

"1—COSX

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/X

【答案】【解析】函数

可知函数是奇函数，排除选项B,

V3

当c=专时,/（专）=—2]=V3，排除Af

1一讶

z=/时，/（兀）=0,排除D.

故选：C.

\________________________________________________________________________________________________________________J

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4.若函数/3)的图象如图所示，则/Q)的解析式可能是()

A./㈤=2彘।B./(x)=ln|rc|-rr2C./(x)=^-+ln|x|D./Q)=

【答案】【解析】函数图象关于原点对称,函数为奇函数，排除

又/(1)=0,则/(⑼=7^*无意义，排除A,

21n|x|

故选：D

5.函数〃力=^^的图象大致为()

【答案】【解析】因为/(―⑹=.三比?=-/(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除。，D,

\一①)十1

因为/⑴=O,OV/V1时，/(c)VO,所以排除B.

故选：4

x\nxir>0

6.函数/(4)=(]/、的图象大致为

T<0

.x2+1

【答案】【解析】若2>0,则一。<0,

则/(—')==-/(£),

①+1

若ZV0,则一n>0,

则f(F)=一艺*=_/(,),

x-rl

综上/(-工)=一/3),

即/3)是奇函数，图象关于圆的对称，排除。

k________________________________________________________________________________7

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当工>0,且;r-0时，/(7)<0,排除B,

故选：4

7.函数/(£)=笄用的大致图象是

)

【答案】【解析】/(5)=f押=三产=一加)，

・••/①)是奇函数，图象关于原点对称，故a,。错误；

又当①>1时，ln|z|=lnx>0,>0,故£)错误，

故选：3.

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8.函数/（力）=（C—!）COSC（-7T&N&7T且N#0）的图象可能为（）

【答案】【解析】/（-X）=（-x+!）COS（-N）=-（x—q）cosrr=一/（%）,

.••函数/Q）为奇函数，

・・・函数J（x）的图象关于原点对称，故排除A,B,

当c=兀时，/（兀）=（兀一±）cos兀—兀V0,故排除C,

故选：D

9.已知fQ）=+加居+力），fQ）为/（x）的导函数，则产（力）的图象是（）

【答案】【解析】由/（X）=+sin（与+0）=-yx2+cos。，

・"（力）=枭一sin力，它是一个奇函数，其图象关于原点对称,故排除8,D

又广3）=春_cose,当-5-VcV当时,cosx>4-,：.f,r（x）<0,

乙ooZ

故函数y=r㈤在区间（一专，给上单调递减,故排除O.

故选：A.

10.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是)

A.①②B.③④C.①③D.①④

【答案】【解析】根据r（/）>o时，f（x）递增；/（0vo时，/（X）递减可得：

①中函数的图象从左向右先减后增再减,对应的导函数是小于0,大于0,再小于0:

②中函数的图象也是从左向右先减后增再减,对应的导函数是小于0,大于0,再小于0；所以①②可能正

确.

而③中函数的图象从左向右先减后增,对应的导函数是小于0,大于0,再小于0,大于0;

④中函数的图象从左向右先增后减后，对应的导函数也是小于0,大于0,再小于（）,大于0；所以③④可能

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错误.

故选：

11.已知H上的可导函数的图象如图所示，则不等式(x-2)/(3：)>0的解集为)

A.(―8,-2)U(1,4-oo)B.(—8,-2)U(1,2)

C.(-8,1)U⑵+8)D.(-1,1)U(2,+oo)

【答案】【解析】由函数/3)的图象可得，

当工e(—oo,—i),(1,4-00)时,r3)>0,

当工e(—1,1)时，/(x)<o.

以①或

由3—2)f(®)>0<=>幽争②

解①得，/>2,解②得，一1C/V1,

综上,不等式(x-2)f(x)>0的解集为(一1,1)U(2,+oo),

故选：D

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【答案】【解析】,・"3)=X34-bx2+ex+d,由图象知1+b—c+d=0,0+0+0+d=0,8+4b+2c

+d=0,

/.d=0,6=—1,c=—2

：,『(x)=3x2+2bx+c=3"一26-2.

由题意有g和g是函数/(⑼的极值点，故有电和的是/3)=0的根，

X}+/2=，4]•22=•

则x{+Xo=3+x-2)2—2g•g=/+专=，

故选：C.

13.如图是函数/3)=%3+b/+cc+d的大致图象，则g+g=()

1•

【答案】【解析】•・"(/)=x34-bx2+ex+d,由图象知,—l+b—c+d=0,0+0+0+d=0,

8+4b+2c+d=0,.•.d=0,b=—l,c=-2

f22

：.f(x)=3a;+2bx+c=3x—2x—2.由题意有x}和g是函数/(c)的极值，

故有Xi和g是广(c)=0的根，，Ci+①2=4，

故选：A.

14.函数/Q)=严阵的图象如图所示，则下列结论成立的是()

\X-\-C)-

A.a<0,6>0,c<0B.a>0,b<0,c<0C.a>0,6<0,c>0D.a<0,6>0,c>0

【答案】【解析】依题意，函数/Q)的定义域为{孙rW—c},从函数图象上看，—c>0,故CV0,

当/=0时，/(%)V0,所以号V0,所以bVO,

根据函数图象，当力―8时，ar+匕>。，故Q>0,

\____________________________________________________________________________________________7

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故选

15.函数/3)=Q1+b的图象大致如图所示，则下列结论正确的是)

(X+c)2

A.a>0,6>0,c>0B.a<0,fe>0,c<0C.a<0,b<0,c>0D.a>0,fe>0,c<0

【答案】【解析】；函数/3)=严广3

・・・力=-0时，函数值不存在，结合函数图象得c>0,排除8和。；

当i=0时，/(0)=b,结合函数图象得b>0,排除C.

故选：A.

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16,函数/3)=Q/+6炉+ci+d的图象如图所示,则下列结论成立的是

A.a>0,6<0,c>0,d>0B.Q>0,bV0,cV0,d>0

C.a<0,6<0,c>0,d>0D.Q>0,b>0,c>O,dVO

【答案】【解析】由图可知，/(0)=d>0,

v/(x)=ax3+bx2+cx+d,='3ax2+2bx+c,

从图象可知，/a)先递增，后递减,再递增，且极大值点和极小值点均大于0,

其导函数的图象大致如F：

.-.a>0,>0,△=(2b)2-4-3a-c>0,f(0)>0,

OU/

/.a>0>6<0,c>0.

故选：A.

2

17.函数9='(2/-十)在［-2,2］的图象大致为)

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又由/(-x)=［苧'［2(-02-e~l］=—熹＜2/—eM)=-/(x)，函数为奇函数，排除B,

S1M\X)olll^L

/(1)=3(2—6)=每手七一1,排除。，

八7sinl、7sinl

/(2)=靛(2*22—^)之2,排除。；

故选：4

18.函数夕=一2/+*在区间［—2,2］上的图象大致为()

【答案】【解析】根据题意，函数y=/3)=—2"+e，,有/(2)=—8+e?V0,排除4,

又由/(0)=1,/(十)=-+Ve>1,/(1)=—2+eV1,排除C、D,

故选：6.

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19.函数？=2/_2闰在［—2,2］的图象大致为()

【答案】【解析】函数^=272-2r在［-2,2］是偶函数，排除选项B、D,

当工=2时,/(e)=4>0,排除选项4

故选：。.

20.已知函数/(⑼的图象如图所示，则/(0的解析式可能是)

A./(x)=ln|x|-x2B./(a;)=ln|x|—|x|C./(x)=21n|x|-T2D.f(x)=21n|x|—|x|

【答案】【解析】由图可知，函数/3)为偶函数,于是只需考查2>o的情况即可，

且当。>0时，/3)的极大值点小于1.

选项4,/(H)=Inc—X2,=上一2①，令/'(z)=0,则x—2^-,

XZ

当工e(o,q)时，f'(0>o,f3)单调递增；当工e(察，+8)时,f'(x)<o,f(x)单调递减，

：.f(x)在(o,+8)上的极大值点为宓=察v1,符合题意；

同理可得，

选项B中函数对应的极大值点为x=l,

选项。中函数对应的极大值点为工=1,

选项D中函数对应的极大值点为x=2>1,均不符合题意，

故选：A.

21.已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是()

A./3)=1小|一十B./(x)=ln|x|+^-C./(x)=^--ln|x|D./Q)=ln|a;|+古

【答案】【解析】选项力，/(l)=