高中数学平面向量的应用（精练） （提升版）

10.3平面向量的应用（精练）（提升版）

题组一平面向量在几何中的运用

1.（2023•全国•高三专题练习）已知A/BC的内角4B，C所对的边分别为。，b,c,且c=60。，a=3

S,…c=苧，则边上的中线长为（）

A.49B.7C.—49D.7L

42

【答案】D

【解析】因为S“J_L/sinC」x3xbx3="^，故可得

2224

根据余弦定理可得2仍cosC=19，故。=炳，

不妨取"'中点为"，故由=;（与+而），

即“8边上的中线长为1.

2

故选：D.

2（2022・海南•模拟预测）在直角梯形“58中，AB\\CD，AD1AB，且/8=6，/。=3•若线段上

存在唯一的点E满足衣,而=4,则线段CZ）的长的取值范围是（）

A.工2)B-[1,5)C口,+8)D-[5,+oo)

【答案】B

【解析】如图所示，以X为坐标原点，布和而分别为x轴和y轴正方向建立直角坐标系.

y

则N(0,0),8(6,0)，设。£的长为x,则E(x,3),

则在=(x,3)，屉=(x-6,3)，所以瓦.屁=x(x-6)+9=4，解得x=l或x=5，由题意知：DC>x.

且点E存在于8上且唯一，知8的长的取值范围是口,5),故选：B.

3.(2022・云南)”8C中，若4B=4C=5,叱=6,点E满足丽+1无，直线与直线初

155

相交于点。，贝“COS/4DE

A.亚B.3屈C._巫D.3M

10101010

【答案】A

【解析】如图所示，以B点为原点，Be为x轴构建直角坐标系，

因为"="=5,BC=6,所以8(0,0),C(6,0),4(3,4),

^CD=xCA+yCB'

因为A、B、Z)三点共线，所以x〉0，j?>0»x+y=1,

CF=LCA^CBCED2L1

因为155,、、三点共线，所以运=5,

%y

—1x=-y=-CD=-CA+-CB

联立11=5，解得5,5,55

xy

x+y=1

因为丽=(-6,0),0=(-3,4),所以而=V，反唁,[

因为瓦=(3,4)，

所以cosZ.ADE=

故选：A.

4(2022・全国・信阳高中)已知四边形48C。是矩形，AB=2AD，面=BE=pBC'2+〃=1，

AELAF,则空=()

AD

A恒B.—C.叵D.—

3939

【答案】c

【解析】解法-如图，以A为坐标原点，所在直线为x轴，/o所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

设48=2/0=2，则4(0,0)，8(2,0)，0(0,1)，C(2,l)-

-'-AB=(2,0y=(0,1)'旅=(0,1)，虎=(2,0)・

OF=2^C=(2A,0)'BE=/jBC=(O,p)-

AE=AB+BE=(2^yAF=AD+DF=(2A,\)-

AEVAF'

二荏.万=0，即2x24+〃xl=0・

乂，+〃=1>

所以4=-1,//=—.

313

..ND=1•EFV65

•,♦•___—____•

AD3

故选：C.

解法二：'''JE^7B+BE=JB+^BC=JB+(\-A.)~8C'

AF=AD+DF=AD+XDC=BC+2.AB'

^£-l?=[^+(l-A)3C](5C+ZA8)=[l+A(l-A)]jS.5C+(l-A)|5C|2+A|^|：!=(1-Z)

阿+42阿=0+32)网.

,.AE±AF「+3"。，得一

3尸3

团?河+|研

EF隔旅

~AD~\~9一亍

故选：C.

5（2022•湖南张家界）如图，在梯形/8C。中，"°”?。，AD=~,BC=9,AB=5,3B△,若

25

M,N是线段8c上的动点，且|必可=1,则丽.丽的最小值为（）

【答案】C

【解析】如图，以点8为原点，8C所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

9

/.43,4),。(14),

设M(x,O),则N(x+l,0)，其中04x48,

——•9—7

=DN=(x--,-4),

......——07、127,63

PA/PA^=(X--)(X--)+16=X2-8X+—=(X-4)2+—,

•”=4时，OM-DN取得最小值生

4

故选：C.

6.（2022•浙江•镇海中学）已知平面向量0、\0满足忤一£|=「一2q=1,则与c-2^所成夹角的

最大值是（）

A.JB.-C.号D.甲

6336

【答案】A

【解析】设12工与25夹角为％£-町与1-2否所成夹角为夕，

•「Q-4B=(Q-2C)+2(C-2B)

所以，卜-叫=卜-2d+4k-2可+4|tz-2c|-|c-2ft|cosa=5+4cosa,①

(〃-4孙卜-23)=[(〃-20)+2(0-2训.(0-23)=(。-291-23)+2k-2.

=2+cosa>0»②

乂•・・(4一43)・卜一23)=,一43|『一25卜05尸=|a-4.cosp>0=>cosp>0,③

②与③联立可得卜/-4qcosP=2+cosa=.一4囚-cos?夕=(2+cosa)~,(4)

①④联立可得C°S2£(2+COSQ)~cos%-1116cos2Q-25+935+4cosa9

2-----------J=]+------------=1+-----；-------------=—+-------------+--------------

5+4cosa5+4cosa16(5+4cosa)81616(5+4cosa)

、3.，5+4cosa93

8V1616(5+4cosa)4

当且仅当COS"彳时，取等号,c"*盛”即时则即［%

故【布与125所成夹角的最大值殿,

7（2022・湖南・周南中学）已知边长为2的菱形488中，点F为8。上一动点，点£满足诟=2比

万・丽=-2,则力尸,8E的最小值为（）

3

24

A.0B.-C.-D.2

33

【答案】C

【解析】由题意知：BE-BC,设乙“力”一°,

3

・••万.丽=（刀+赤）•（力一函="15一府+：苑而一g部.在

.q488A2.八1八加

=4cos0-4+------cos0=—,..cos0=—=>0=—,

33323

以ZC与此交点为原点，4c为x轴，80为V轴建立如下图所示的平面直角坐标系:

力（-△。）（26\}8（0，T）/0，/）T4T1

,E—,，设，且

则"=("'),诙=(拽，3,赤=2+|f

8.(2022•江苏•无锡市教育科学研究院)点p是边长为2的正三角形48c的三条边上任意一点，则

|苏+而+无|的最小值为------------

【答案】b

【解析】不妨假设尸在।11/1(0,>/3),B(-l,O),C(1,O),如卜图示，

所以，尸在y=©x+i)IL-1WW。，设P(x,6(x+1)”

则莎=(-x,-gx)，PS=(-l-x,-V3(x+l))'PC=(l-x,-^3(x+l))>

^^~PA+PB+PC=(-3x,-3y/3x-2y/3)，

故।苏+方+时j36（x+；y+3，

当X=6时，曲+方+南的最小值为行

故答案为：g

9.（2022•上海市晋元高级中学）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹

克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺

次连接图中各顶点可近似得到正六边/BCDEE若正六边形的边长为1,点尸是其内部一点（包含边界），

则万.元的取值范围为.

【答案】［0,3］

【解析】过点C作于M,所以而=加+祝，且

"卜|,瓯卜也，"=而+/=2而+〃MC'其中一太义41,04"<2,

APAC=（A—+〃）（—+-）=4而2也阳+丽碉柘+〃麻］■|（32+〃）当P点与0点重合时,

jp在AC方向上的投影最大，此时％==1^^4PAC取得最大值为3;

当尸点与尸点重合时，此时』那…皿万"小。，取得的最小值为

^4P^4C的取值范围是[。,3].

故答案为：[0,3]•

10.(2021•湖南)已知平面四边形/BC3中，AB1AD,BCLCD>AB=\，8c=6，N4BC=150°，

则cosNC8£)=

【答案】叵

14

【解析】如图以人为原点建立直角坐标系，

,设心）,

则5(,0),C

,BCLCD仙、1BCA.CD

大II

而友=|x鸿樽4o,解得，即。（0,3石）,

-BC,50=(-1,373))

cosZC5£>=362用

+

BCBD__2T

附•画「瓜而-14

故答案为：叵.

14

题组二三角形的四心

1.（2022•湖南湘潭•高三开学考试）在四边形/BQ）中，G为△8。的重心，AG=2点.在线段/G

上，则刀•（砺+反+砺）的最小值为（）

A--3B--2C--1D.0

【答案】A

因为诟=丽+瑟，诟=诙+而，诟=历+而,

所以幅+反+历=3砺，

丁是有京.（而+云+而）=3方.而=_3网］网,

又网.阿卜H1M=1,当且仅当囱一.卜1时取等号,

所以德・（丽+反+/）=3刀・花2-3・

故选:A

2.（2022•全国•课时练习）平面内“BC及一点。满足力.砺=丽.双=觉.次，则点。是“8C

A.内心B.外心C.重心D.垂心

【答案】D

【解析】OA.OB=OB-OC=>OB.（OA-OC）=0=;>OBCA=O^OBrCA

同理可得反_L0,E_L而,所以点。是dBC垂心，选D.

3.（2021•湖南•怀化市第三中学）已知.8C，/为三角形所在平面上的一点，且点/满足：

“•耳+6・历+c•元=0,贝打点为三角形的

A.外心B.垂心C.重心D.内心

【答案】D

【解析】在上分别取点"，E使得亚=至近=①，则|而|=|/卜1,作菱形'。照，则由

c'b

箫=9+9=垂+三所以"'为的平分线•因为“万+人.厉+。而二°，所以

cb

■Z4+6(Z4+ZB)+C-(Z4+^C)=6所以万=―-—AB+---AC

a+b+ca+b+c

he(AB就、尻万,所以三点共线，即/在/8/C的平分线上一同理证得,在其它

--------------------------1--------

a+b+cycb,Q+b+C

两角的平分线上，由此求得尸是三角形的内心.，故选D.

4.（2022•全国•高三专题练习）己知。是三角形"8C的外心，若+丝就.而=2m（而）\

AB

且sin8+sinC=K，则实数加的最大值为（）

A.3B.-C.-D.-

552

【答案】D

【解析】如图所示:

设/8=c'AC=b'NBAO=9'ZCAO=a1

由吟屈•利嘿而而=2相（可

b

得—c/Ocose+—cbZOcosa=2m-AO2»

化简侍bcose+ccosa=2mA0'

由。是三角形的外心可知，。是三边中垂线交点，得cose=—J,cosa=—

2AO2AO

代入上式得…心，.小杀

根据题意知，'。是三角形外接圆的半径，可得Sin3=—2_,sinC=­J

2A02AO

代入sin8+sinC=V5得b+c=2&。'

b-c

当且仅当“时，等号成立.

故选：D.

5.（2022•江西・高三阶段练习（理））已知。是三角形N8C的外心，若

些「瓦9+电1就•彩=2〃?（彩产，且2sin8+sinC=6,则实数加的最大值为（）

\AB\MC|

3321

A.-B.rC.-D.7

4534

【答案】A

【解析】设三角形NBC的外接圆半径为及，因为。是三角形48C的外心，故可得Jo卜R,

且而衣号画注「2ACAO2

C>一=%

2

故四而.前+四%.粉=2皿粉）2,

\AB\\AC\

即;|/3|Mq+g|/即/C|=2mR2,

也艮产=2”町则,〃=挤

乂2sin3+sinC=A/5，由正弦定理可得:

2b+c=2^R,则R2_（26+C）2,

-12

6bc6663

m=------------------=--------------<——=—=-

故4b2+c2+4bc4/>c-“84

一+工+42J—+—+4

cbVcb

当且仅当竺=£,即c=2b时取得最大值3.

cb4

故选：A.

6.（2022♦辽宁•沈阳市第一中学）已知。为锐角三角形Z3C的外心，2方+3丽+43=6,则cos乙4c8

的值为（）

A.叵B.返_C,1D,-

4444

【答案】A

【解析】设锐角三角形/8C的外接圆的半径为K，即O4=08=OC=/?，

---------_------------2---2---2-------

2CM+3O8+4OC=0n4OC=-（2CM+3OB）=16OC=404+9OB+120408

^>167?2=4/?2+9A2+12-??•/?.cosZ^05=>cosZ?IO5=->0,显然是锐角，

4

因为O为锐角三角形/BC的外心，所以°在锐角三角形48c内部，

由圆的性质可知：ZACB=-ZAOB,显然“'C3是锐角，

2

cosZAOB=-^>2cos2ZACB-\=-^>cosZACB=—'或一画舍去，

4444

故选：A

7.（2022•全国•高三专题练习）若“为"8C所在平面内一点，且网,+国『=|而『+同'=匹卜网2则

点H是AABC的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【答案】D

［解析］］|/£4|+陷=阿+|CJ|n网+（3H+HC）呻叫+（CH+FL4）,

得丽阮=丽屈=阮屈=0，即近_L京

网2+|珂=时2+|珂=网2+（丽+硝2=函2+（丽+丽）2,

'BH-HC=AHHB-AC=0'即丽，就；

阿'+|引匕匹卜河2=।阿2+（丽+9）2=匹［十（丽+而）2,

CH-HA=AHHB^HACB=O'^HAVCB'所以"为A/8C的垂心.

故选：D.

8.(2022•安徽蚌埠•模拟预测(理))已知点尸是ANBC的重心，则下列结论正确的是()

A-(sin2y4)P3+(sin25)PB+(sin2C)PC=6

B-(sinN)苏+(sin8)而+(sinC匹=0

C,(tan/)P/+(tan8)尸8+(tanC)PC=0

D-PA+PB+PC=O

【答案】D

【解析】如图，。是8c边中点，则共线且ZP=2P。，

PB+PC^PD+DB+PD+DC=2PD=-PA'

所以方+而+定=0，D正确，由于选项ABC均不能保证苏，丽,无系数相等，故不正确.

故选：D.

9.(2022•全国•高三专题练习)已知°是平面上的一定点，/,Bc是平面上不共线的三个点，动点P满

__(__、AG(O.+a))P"BC

OB+OCABAC

足丽=।।,则动点的轨迹一定通过的()

2cosB|jc|cosC

A.重心B.夕卜心C.内心D.垂心

【答案】B

【解析】设sc的中点为

OB+OC[AB!AC

因为OP=

2|jfi|COSB|/1C|COSC

_______ADAr

所以OP=OD+4尸半—+产毕—

J叫cos5|?!C|cosC

__._75AC

即0P=4"+」,两端同时点乘

力8cosHL4CcosC

/________\

cnK1iAB•BCAC•BC

所以DP・6C=/l7=1-------+7=；-------

,闿cosB|/1C|cosC^

J网罩严际C],

K8cos8|JC|cosCJ\III1/

所以OP_L5C，

所以点P在8c的垂直平分线上，即P经过“BC的外心.

故选：B.

10.（2023・全国•高三专题练习）己知A/BC是圆心为。，半径为火的圆的内接三角形，"是圆。上一点,

G是A/BC的重心•若两，而，则而2+而2+丽2=-----------------

【答案】6R2

【解析】'^AM=AG+Gd+0M'则

.2/■■\2.2/■■\■■2.2

AM=(4G+GO)+OM+2(AG+GOyOM=AO+OM+2AGOM+2GOOM

"OMLOG^则而•丽=0

,-------2--------------

AM'=1R2+2AG-OM

2222

同理可得：BM=2R+2BG-OM'CM=2R+2CGOM

AM+BM+CM=6R-+2[AG+BG+CGyOM

；G是"8C的重心，则B+无+沅=6即兹+就+质=6

,’‘'一2——2■■™2,

"AM+BM+CM=6R2

故答案为:6H2.

题组三三角形的面积比

1.（2023♦全国•高三专题练习）尸是△力BC所在平面内一点，若丽:人版

3PA+PB'则Sp:SABC=（）

A-1:4B-1:3C.2：3）•2:1

【答案】A

【解析】由题设，3PA=CB+BP=CP,故C,P,/共线且CP=3PZ,如下图示：

所以S

IHP：S.BC=\:4-

故选：A

2.（2022吉林•桦甸市第四中学高一期末）已知点尸是所在平面内的一点，若后=；方+（近，

则沁=_________.

,△APB

【答案】i

【解析】如图，设/为的中点，o为/尸的中点，后为ZC的中点，

―.1—1—>

因为4P=LB+）C,

所以可得后=”+而）+”+定），

整理得一一一.又—————,

''PA+PB+2PC=0PA+PB=2PF

所以方=-无，所以s“c=s的，

1q।

又S叩所以沁=，

故答案为3

I

入，

曲一

3.（2023•全国•高三专题练习）点尸为△力内一点，---R，则“PBQZPOBPC的面积

PA+3PB+4PC=0

之比是.

【答案】

4:3:1

—♦—►——>—>—»—>->

【解析】因为R4+3夕8+4尸。=0,所以尸4+尸。=一3（尸8+尸。），

设厂为"中点，G为8c中点，。F为三角形'8C的中位线，则G八“8,

->—>

因为PA+PC=2PF,PB+PC=2PG,

可得,所以尸、PG三点共线，且PF=3PG，

PF=-3PG

3311

则尸产=一6/二一力8,PG=-GF=-AB,

4848

刀””设s△小去火s，s

APF=CPG二S3,SBPG=S4，

由图可知，S,=s2,s3=s4，

吟唱号所以‘李'吟笔j所以邑=>

_31

所以2/pc=S]+S?=2S]=，S/xs尸c=S3+S4=2S4=，

所以Sc：Spr-S=S:-S:—S=4:3:1,

ZXJI4LAAaLIK，，WPzC

即AAPBQAPCQBPC的面积之比等;4:3:1,

故答案为:

4：3：r

51

s

4.（2021•黑龙江•哈尔滨三中高一阶段练习）已知。是“8C内部一点，且3方+2而+反=0,则

△OBC的面积与△ABC的面积之比为.

【答案】1已

【解析】因为京+2而+历=6,

所以2例+函+a+方=0，

如图：设的中点为E，zc的中点为

所以4怎+2砺=0，l!|JOF--2OE'

所以点。在三角形/BC的中位线EF上，

的距离的一半,

所以点°到sc的距离是点A到8c

所以AOBC的面积是A/18C的面积的一半，

即

qC•2sABC-=i1•-乙7.

故答案为：］.2

5.（2022•山东）已知点P为ANBC内一点，29+3而+5定=6，则“心，"PC,A8PC的面积之比

为.

【答案】5:3:2

【解析】因为2万+3万+5斤=0，所以2（苏+定）=-3（而+定），

设尸为4c中点，G为3C中点，因为方+定=2而,而+定=2万，

可得2万=一3所，所以尸、0°三点共线，且

2

GF为三角形ABC的中位线

S.伊。

fPC'%hpF3

所以产-------=常=京=3，

S.BPCLxpcxh2hPG2

hl1cg、i"PBQAPCQBPC依丁5:3:2

而S△屋/6C，所以的面积之比u等于

故答案为：5'3,2

A

6.（2023・全国•高三专题练习）已知P为A/BC内一点，2强+3万+5斤=0，则△/PC，△8PC的面

积之比为.

【答案】|

【解析】如图所示，由2万+3P8+5定=6,得2（莎+可=-3（而+斤

取厂为NC中点，G为8c中点，贝1」2而=_3而，

S"yC"PF3

所以年T/二而六.

3

故答案为：

7.（2022iLlffi）若点。在zV48C内，且满足2瓦i-6及+9反=0，设%0c为A5OC的面积，8c为

.8c的面积，则邑蟠=.

^^ABC

【答案】大2

［解析］||125J-6SC+9OC=0可得：2（OA-OB）-6（OC-OB）+9OC=2OA+4OB+3OC

延长OA,OB,0C,使0D=20A,0E=40B,0F=30C,

如图所示：

：2a+3而+4反=。，

•,•OD+OE+OF=0'

即0是4DEF的重心，

故△0()£,△EOF,Z^DOF的面积相等，

不妨令它们的面积均为1，

则AAOB的面积为！，△BOC的面积为-I,△AOC的面积为1，

8126

故三角形△AOB,ABOC,△AOC的面积之比依次为：-：—：1=3：2：4,

8126

SABOC_2

9

7

故答案为：

9

8.（2022•江西•南昌县莲塘第一中学高一期末（文））点”是^^18c所在平面内一点，若

~AM=-1B+-AC,则：S^BC=

44

【答案】1：4

M\ARC---3—1—.

•.•点是所在平面内一点，且满足+

44

点M在边BC上且CW=3BM-

S

'S6MsMAABC=BM:BC=\A

故答案为：］.4

题组四平面向量的综合运用

1.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C-,x'+y-^及圆C内的一点P（l,2）,圆C的过点

P的直径为MN，若线段AB是圆C的所有过点P的弦中最短的弦，则（而_丽）.益的

值为（）

A.8B.16C.4D-4V3

【答案】B

【解析】由题意可知ABA.MN，圆C的半径为r=3，OP=45

■-NM-AB=O,AB=2｛户一op?=4,

故答案为：B.

2.（2022・河南模拟）已知平行四边形ABCD中，AB=AD=2，ZDAB=60°，对角线AC

与BD相交于点。，点M是线段BC上一点，则QM-CM的最小值为（）

A._2.B.2C._1D.1

161622

【答案】A

【解析】如图所示，以BD的中点为坐标原点，以BD所在直线为x轴，以CA所在直线为y轴，

建立如图所示的直角坐标系,则5(-1,0),C(0-73)

所以宜线BC的方程为y=_®_6，

咬点A/(x,-瓜一J5)，(-14x40)，所以OM=(x,-43x-y/3)CM=(x-V3x)，

所以OM-CM=X2+3X2+3X=4X2+3X'

当x=_3时，OM-CM取到最小值_2.

816

故答案为：A.

3.(2022•东海模拟)已知点A,B,C均位于同一单位圆O上，且BA-BC^^A^,若PBPC=3,

则|苏+方+定|的取值范围为.

【答案】[5,7]

【解析】由~BA-BC=\AB^可得：BA-(AC-AB)=BA-AC+AB2=\AB^,

所以BAAC