第二节常数项级数审敛法

第十二章无穷级数第二节

常数项级数的审敛法第十一章无穷级数第二节

常数项级数的审敛法1.正项级数:部分和数列{sn

}有界¥n=12.收敛的充要条件:正项级数

un收敛证:“”“

Ӵ

数列{sn

}收敛,

级数

un收敛.一、正项级数及其审敛法n=1

n=1¥

¥对

un，若un

‡0，则称

un为正项级数.¥n=1设

un收敛,则数列{sn

}收敛，

{sn

}有界.‡

0,设{sn

}有界,

un

\

sn+1

‡

sn，

{sn

}单调增加,

1n=1的敛散性.例1

判断级数¥n!1

11!

2!\

sn

=+

+

+121

-1

-

1=2nn

{s

}有界，21

1n!n-1£

1

+

+

+=解:

n=11£1

1n!

1

2

n

1

2

21=2n-1=

2

-2n-11

<

2.

12收敛.¥n=1n!上述解题主要是利用:1

£

1

，2n-1n!，1¥2

1 n=1n-1收敛.及证:k

=1设sn

=

uk

,¥设

un和

vn均为正项级数，且un

£

vn

,则有:¥

¥n=1

n=13.比较审敛法:¥

¥n=1

n=1(1)

当级数

vn收敛时,

级数

un也收敛;¥

¥(2)

当级数

un发散时,

级数

vn也发散.sn

£

s

n

,¥n=1

n=1(1)

若

vn收敛,£

M，故

un收敛.n=1

n=1n

ns

n

=

vk，

uk

£

vk

,

\k

=1则s

n

£

M，

sn¥

¥n=1

n=1(2)

若

un发散,

则数列{sn

}无界，

{s

n

}无界，故

vn发散.注：¥

¥

¥

¥n=1

n=1

n=1

n=1“un

£

vn”可换成“存在N，当n

>N时，有un

£

kvn”(k

>0)，当

un收敛时,

vn未必收敛;

当

vn发散时,

un未必发散

.例2讨论P-级数1

+

1

+

1

+

1

+

+

1

+的敛散性.(p

>0)nnp解

当

p

£

1时,

因为

1

‡

1

,1¥p

发散.n=1

n当p

>1时,oyxy

=

1

(

p

>

1)x

p1

2

3

4xnpn

p

n

-11

dx

，由图可知

1

£n

s

=

1

+

1

+

1

+

+

1

xnpnp

dxpn-1

x2111£

1

+

2

p

3

pdx

+

+xnp11

dx=

1

+11(1

-=

1

+np-1p

-

1，)

<

1

+1p

-

11

收敛.n=1np¥

{sn

}有界,故P

-级数收敛，¥

1

n=1pn因此，当p

>

1时,

P

-

级数重要参考级数:

1

发散.¥n=1pn当p

£

1时,

P

-

级数几何级数,P-级数,调和级数.发散，所以P-级数2

p

3

p

4

p

np又¥1n=1

n(1)n=1

1

,n(n2

+

1)例3

判断下列级数的敛散性¥¥

1

n

=1

n

2

1

收敛.¥3

收敛，\n(n2

+

1)

1

2发散.

3n=1¥n=2n

-

1(2)又¥2

发散，\

1

n

=1

n

3¥2

1

(2)

3n=2n

-

132<

,又

1

1

n(n

+

1)

n2解:

(1)

1

1

22，n3n

-

1

3

>

1

, (3)

¥n=1

1

+

an(a

>

0).(3)

当a

>1时，

1

na

1

n<1

+

a收敛，，又¥

n=1

1

na¥

1

n=1

1

+

an

收敛.所以

1

=

1

„

0，n1

+

a¥

1

n=1n1

+

a发散.所以当a

<

1时，

lim当a

=1时，21nfi

¥1=

，n1

+

a¥1n=1n1

+

a发散.所以1¥n收敛；n=1

1

+

a故当a

>1时，1发散.¥n=11

+

an故当a

£

1时，收敛练习：设级数¥¥2n=1n=1nnana

收敛，证明级数2n2n证明：

an

1

1n

2£

(a

+

)¥2n=1nn=1

n21

均收敛¥由于a

与+22121n=1nn)]也收敛¥因此

[

(an=1

n由正项级数的比较原则知

an

绝对收敛¥n=1

n因此

an

收敛¥¥n=1即

级数

un

收敛(发散)nfi

¥lim

sn

存在(不存在).1.

级数的收敛与发散:若级数

un的部分和数列{sn

}存在极限s，即¥n=1¥n=1nnfi

¥lim

s

=

s，则称级数

un收敛，且极限s称为该级数的和，记为¥n=1s

=

u1

+

u2

+

+

un

+

=

un

.¥n=1如果{sn

}不存在极限，则称级数

un发散.12

31

1

1发散.¥n=1

nn(2)

调和级数

1

+

+

+

+

+

=¥n=0(1)几何级数

aqn，¥

¥n=0

n=0当q

<1时，级数

aqn

收敛；当q

‡1时，级数

aq

n

发散.n=1

n=12.

基本性质¥

¥性质1

如果级数

un

收敛于s

,则

kun

也收敛，且其和为ks

.性质2¥

¥

¥n=1

n=1

n=1设级数

un、

vn分别收敛于s、s，则级数(un

+vn

)也收敛，且其和为s+s

.性质3

去掉、增加或改变级数的有限项，不改变级数的敛散性但在收敛时，其和一般是改变的.性质4

收敛级数加括弧后所得级数仍收敛,

且其和不变.推论如果加括弧后所得的级数发散,则原来级数也发散.¥nfi

¥n=1性质5(

收敛的必要条件)

设级数

un收敛，则lim

un

=

0注意(1)如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;(2)必要条件不充分,即反过来不一定成立¥

¥n=1

n=12.比较审敛法:设

un和

vn均为正项级数，且un

£

vn

,则有:¥¥n=1n=1级数

un也收敛;(1)当级数

vn收敛时,(2)当级数

¥

¥n=1

n=1un发散时,

级数

vn也发散.注：¥

¥

¥

¥“un

£

vn”可换成“存在N，当n

>N时，有un

£

kvn”(k

>0)，当

un收敛时,

vn未必收敛;

当

vn发散时,

un未必发散.n=1

n=1

n=1几何级数,P-级数,调和级数.收敛，¥1n=1pn当p

>

1时,

P

-

级数1

发散.¥n=1pn当p

£

1时,

P

-

级数n=1npn=1参考级数:¥P

-级数

1

敛散性：部分和数列{sn

}有界¥n=11.收敛的充要条件:正项级数

un收敛正项级数及其审敛法4.比较审敛法的极限形式:nn=1

n=1nv

均为正项级数，¥

¥设

u

和且limuvnn=l,

则有nfi

¥¥

¥n=1

n=1

¥¥n=1

¥

n=1

¥n=1(1)

当0

<l

<+¥

时，

un与

vn敛散性相同；(2)当l

=0时，且

vn收敛，则

un收敛；(3)当l

=+¥

时，且

vn发散，则

un发散.nfi

¥

vn证

(1)由lim

un

ll2=，对于e

=n=1>0,

$

N

,当n

>N时,2

2n

n

n<

uluvn

2有

n

-

l

<

，22

vn

-l

<un

-l

<l

，即l

v<3l

v

,由比较审敛法可得成立.(2)由lim

nnfi

¥

vnuvn=

0，对于e

=

1

>

0,

$N，当n

>

N时,

有

un

-

0

<

1，¥

¥n=1

n=1

un

<vn

,故当

vn收敛时，

un收敛.lim(3)当nnfi

¥

nvuvn=

+¥

时，

unnn>

M，

Mv<u

，故结论成立.例4

判断下列级数的敛散性:解(1)3n1nfi

¥nn1sin

1nfi

¥=

1,(2)n1nfi

¥因为

lim

n

sin

1

=

lim3nnfi

¥

1

-

n因为

lim3n

-

n

=

lim

1

=

1,3

1

又¥n=1n.1¥(2)

n=13n

-

n1sin发散.所以¥n=1n

1

收敛.收敛,所以¥n=1n3

-

n1sin

，(1)¥n=1n¥n=1nfi

¥

nfi

¥un发散;当lim

nun

=l

>0(或lim

nun

=+¥

)时,¥n=1n

nnfi

¥(2)

当lim

npu

=

l(0

£

l

<

+¥

)且p

>

1时,

u

收敛.¥n=1(1)推论:

设

un为正项级数,

则有:pn1n

1

取vn

=取vn

=5.比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)：设¥n=1nun

+1unu

是正项级数,如果limnfi

¥=r

，则有证当r为有限数时,un对"

e

>

0,

$

N

,

当n

>

N时,

有

un+1

-

r

<

e,u即

r

-

e

<

n+1

<

r

+

e，(2)当r

>1时,un(1)

当r

<

1时,

取e

<

1

-

r,

使

r

=

e

+

r

<

1,,N

+m

N

+1<

rm

-1uu

uN

+2

<

ruN

+1

,N

+3

N

+2

N

+1u

<

ru

<

r

2

u

,¥m

=1N

+1又

rm

-1u,¥N

+收敛,

所以m=1取e

<r

-1,使r

=r

-e

>1,>

run

>

un

(n

>

N

),

un+1nfi

¥

lim

un

„

0，¥

¥n=N

+1

n=1u

m

=

un收敛,故

un收敛.¥故

un发散.n=1¥

¥n=1

n=1(3)当r

=1时，未定.(1)当r

<1时，

un收敛；(2)当r

>1(或p=+¥

)时，

un发散；不必找参考级数.发散,例级数¥1n

1

2收敛,级数n=1¥n=1n

(r

=

1)比值审敛法的优点:注意:1.当r

=1时比值审敛法失效;2.条件是充分的,而非必要.

3

2

n£

2

n

=

vn

,2

+

(-1)n例

un

=收敛,¥\n=12n2

+

(-1)nunu=

an

,2[2

+

(-1)n

]2

+

(-1)n+1但

n+1

=62n

lim

anfi

¥22n+1nfi

¥=

1

,

lim

a

=

3

,nuunnfi

¥nfi

¥收敛,故lim

+1

=

lim

an

不存在，

但¥n=12n2

+

(-1)n解unnfi

¥(1)

lim

un+1¥\n=12nn

收敛.例5

判断下列级数的敛散性:n=12n¥

¥(1)

n

，

(2)

n=110n

n!

，2n2limn+1nnfi

¥n

+

1=lim

2n=nfi

¥n

+

1

12=<

1，(2)

lim

uun+1nfi

¥

nn

+

1nfi

¥10发散.¥\n=1n

n!

10lim(n

+

1)!

10n=n+1nfi

¥n!

=

lim

10

=

+¥

，ann!nn(a

>0，a

„e)的敛散性.¥(4)、判断级数n=1.1¥(3)

n=1

(2n

-1)

2nunnfi

¥=

1,比值审敛法失效,n2(3)

1

<

1

,2

1

收敛,¥n=1n收敛.(2n

-

1)

2n¥\n=1

1

2n

(2n

-

1)lim

un+1

=

lim(2n

-

1)

2nnfi

¥

(2n

+

1) (2n

+

2)(4)an

n!lim

nn+

1)!an+1

(n(n

+

1)n+1nfi

¥解：

r

=an)n改用比较审敛法1lim(1

+=nfi

¥ae=发散时，级数¥nn=1

a

n!nn当

>

1，即0

<

a

<

eae收敛¥nn=1

a

n!nn\

当

<

1，即e

<

a时，级数ae6.根值审敛法(柯西判别法)：¥n=1nnnnfi

¥设

u

是正项级数,如果limu

=r

则有,¥

¥n=1(1)当r

<1时，

un收敛；(2)当r

>1(或p

=+¥

)时，

un发散；n=1(3)当r

=1时，未定.例6.

判断下列级数的敛散性：，¥(1)n=12n

+

1.3(2)n

¥

n

n=1ln

n2n解(1)nnulimnfi

¥lim=nfi

¥

n

12n

+

1

2=<

1，收敛.¥

\n=1

2n

+

1

n

n(2)nnulimnfi

¥ln

nn3limnfi

¥=03

2

=

2

=

2

>

1，¥n=1

3\

ln

n发散.2n1.交错级数:记为:n¥n-1n其中u

>

0.二、交错级数及其审敛法(-1)

u

，或nn正、负项相间的级数称为交错级数.¥n=1

n=1(-1)

u

，2.莱布尼茨定理:若交错级数¥n=1n-1(-1)

un

(un

>0)满足:nfi

¥(1)

un

‡

un+1

(n

=

1，2，)，(2)

lim

un

=

0，¥n

1

n

n+1n-1(-1)

u

收敛，且其和s

£

u

，余项r

£

u

.则n=1证

un-1

-

un

‡

0,

s2n

=

(u1

-

u2

)

+

(u3

-

u4

)

+

+

(u2n-1

-

u2n

)nfi

¥

nfi

¥

nfi

¥

lim

u2n+1

=

0,

\

lim

s2n+1

=

lim(s2n

+

u2n+1

)=

s,1¥n=1n-1(-1)

un收敛于

s,

且s

£

u

.故n+2n+1n(u

-

u

+),余项

r

=

–+故

rn

£

un

1

.

{sn

}收敛.>s2(n-1)，

数列{s2n

}单调增加.\

s2

nnfi

¥又s2n

=u1

-(u2

-u3

)-

-(u2n-2

-u2n-1

)-u2n

£

u1，

数列{s2n

}有界

,

故{s2n

}收敛，

设lim

s2n

=

s，则s

£

u1

.(2)<

0 (

x

‡

2)，

函数xx

-

1\

un

>

un+1

,nnfi

¥

n

-

1nfi

¥又lim

un

=lim=

0.解(1)又lim

1

=0，nfi

¥

n收敛.¥\n=1(-1)n-1n¥(1)

n=1(-1)n-1n.，

(2)

¥n=2(-1)n

nn

-

1例7.

判断下列级数的敛散性：

1

<

1

,n

+

1

n2

x(

x

-

1)2单调递减,-(1

+

x)x

-

1(

x

)¢=收敛.¥\

n=2(-1)n

nn

-

1例8判别级数¥2n=1nsin

n的收敛性.¥

¥n=1

n=1若

un

收敛,则

un

收敛.证2令vn

=1

(un

+un

)(n

=1,2,),

显然vnn

n‡

0,

且

v

£

u

,\

vn收敛,¥¥

¥又

un

=(2vn

-un

),¥

¥n=1

n=1¥

¥

¥n=1

n=1

n=1三、绝对收敛与条件收敛2.条件收敛:若

un

发散,而

un

收敛,则称

un

为条件收敛.1.绝对收敛:若

un

收敛,则称

un

为绝对收敛;3.绝对收敛的性质:¥\

un收敛.n=1n=1例8判别级数¥2n=1nsin

nn=1

n=1的收敛性.解

sin

n

£

1

,

1

2收敛,又n2

n2

¥n=1n¥\

n=1sin

n

n2收敛,n2¥

¥

sin

n

绝对收敛,

n=1

n=1n2sin

n

收敛.例3

下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)2cos

nan¥；(2)22nn(n+1)

n10¥(-1)n=1；(3)¥n-1

p(-1) sin

2nn=1n=1解：n2实数a，级数收敛n21

收敛，故对于任意n2n=1(1)

因为

cos

na

£

1

，而级数

¥cos

na

收敛，因此级数n2¥n=1cos

na

绝对n2¥n=11210

nun(2)

因为lim

un+1n+1

10nfi

¥nfi

¥nfi

¥(1+

1

)10<1=

lim

(n

+1)

2

=

lim

n

=2

n

2112nlimnfi

¥sin

p(-1)n-1

sin

p2n

=

limnfi

¥2n

=

p绝对收敛2nn=11022nnn(n+1)n=1(-1)¥

10

¥故级数

n

收敛，因此级数(3)

因为n=1

n不是绝对收敛n=1nsin

p

也发散，因此已给级数2n而级数

1

发散，故¥

¥但是由于故由交错级数的莱布尼兹判别法知，级数nn2nn+1n